經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第講函數(shù)極限概念

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第講函數(shù)極限概念第1頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 函數(shù)的極限與連續(xù)性第一節(jié) 函數(shù)的極限與性質(zhì)三. 極限定義及定理小結(jié)四. 函數(shù)極限的基本性質(zhì)第2頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函數(shù), 所以, 可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中, 并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出: 如何描述它？第3頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 有問題沒有？ 好像沒有問題.第4頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二定義想想：如何從幾何的角度來表示該定義？第5頁，

2、共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二第6頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 將圖形對稱過去后, 你有什么想法? 將圖形對稱第7頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二定義第8頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形 , 你有什么想法?第9頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二你能否由此得出 一個極限的定義 和一個重要的定理. 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形 , 你有什么想法?第10頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二定義第11頁，共71頁，2022年，5月

3、20日，18點26分，星期二由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按絕對值無限增大時,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,第12頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二定理及極限的三個定義即可證明該定理.由絕對值關(guān)系式:第13頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二證成立. 由極限的定義可知:例1第14頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二解無限縮小, 可以小于任意小的正數(shù) . 因而應(yīng)該有下面證明我們的猜想:證明過程怎么寫？例2第15頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 這里想得通嗎？第16頁

4、，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二由圖容易看出：分析 需要證明之處 請同學(xué)們 自己先證一下.例3第17頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二證第18頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二證第19頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二例4證第20頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 x x0 時函數(shù)的極限, 是描述當(dāng) x 無限接近 x0 時, 函數(shù) f (x)的變化趨勢.第21頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 f ( x ) 在點 x0= 0 處有定義. 函數(shù) f (

5、 x ) 在點 x0= 1 處沒有定義.例5第22頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二第23頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二(第24頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二定義第25頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二注意為什麼要考慮空心鄰域？考慮空心鄰域，是什麼意思？ 考慮函數(shù)在一點的極限時，不考慮函數(shù)在該點處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。反例第26頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二證 這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例6第27頁，共71頁，2022年，5月20日

6、，18點26分，星期二證例7第28頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二證？如何處理它例8第29頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 這里 | x + 2 | 沒有直接的有界性可利用, 但又必須設(shè)法去掉它. 因為 x 1, 所以, 從某時候開始 x 應(yīng)充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 1分析結(jié)論第30頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二證證畢例8第31頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二觀察知證證畢例第32頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二在極限定義中：1) 與 和 x0

7、有關(guān), 即 = ( , x0). 一般說來, 值越小, 相應(yīng)的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 時也要對 x x0 以任何方式進(jìn)行都成立.3) 函數(shù) f (x) 以 a 為極限, 但函數(shù) f (x) 本身可以 不取其極限值 a.第33頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + 曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過第34頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二考慮兩個問題.第35頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二y = a y = a y = axOyx0

8、x0 + 函數(shù)在 x0 的左邊可以無定義想想這種情形下, 函數(shù)有極限嗎 ? 如何描述這種情形？第36頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二想想這種情形下, 函數(shù)有極限嗎 ?y = a y = a y = axOyx0 x0 函數(shù)在 x0 的右邊可無定義 如何描述這種情形？第37頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二3.函數(shù)的左、右極限定義第38頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二定義第39頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二(1) 左、右極限均存在, 且相等；(2) 左、右極限均存在, 但不相等；(3) 左、右

9、極限中至少有一個不存在.找找例題！ 函數(shù)在點 x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：第40頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二y = f (x)xOy11在 x = 1 處的左、右極限.解例9第41頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二y = a y = a y = axOyx0 x0 + y = a y = a y = aOyx0 x0 對此有什么想法沒有？ “左右重合”第42頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二定理 利用 | x x0 | x x0 0推不出極限A0.第60頁，共71頁，2022年，5月20日，18點2

10、6分，星期二性質(zhì)4: （函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）證明 必要性根據(jù)假設(shè)第61頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二第62頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二第63頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二性質(zhì)5第64頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系 該定理也稱為第一保號性定理第65頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論 作輔助函數(shù) F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的結(jié)論即可得證.第66頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二 函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系 該定理也稱為第二保號性定理第67頁，共71頁，2022年，5月20日，18點26分，星期二第二保號性定理成立.運用反證法, 設(shè) f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 時,有 a 0 ), 則由第一保號性定理將推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 該矛盾就證明了第68頁，共71頁，2022年，5月20日，