《衍生金融工具》(第二版)課件第十章二叉樹定價模型

1、第十章 二叉樹定價模型1111本章導(dǎo)讀對期權(quán)進行定價，一種有用并且很流行的方法是構(gòu)造二叉樹（binomial tree）。這里的二叉樹是指代表在期權(quán)期限內(nèi)可能會出現(xiàn)的股票價格變動路徑的圖形。這種方法假設(shè)股票價格服從隨機游動（random walk）。在樹形上的每一步，股票價格以某種概率向上移動一定的比率，同時以某種概率會向下移動一定的比率。在步長足夠小的極限狀態(tài)下，這種模型與布萊克-斯科爾斯-默頓模型是一致的。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)的歷史波動率模擬出其在整個存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并從每一路徑最后節(jié)點的期權(quán)價格往回推導(dǎo)計算各節(jié)點的期權(quán)價格，直到求出期權(quán)現(xiàn)價。本章解釋了

2、用來對期權(quán)定價的無套利假設(shè)的特點，介紹了常用于美式期權(quán)和其他衍生產(chǎn)品定價所用的二叉數(shù)值方法，并且引進了風(fēng)險中性定價原理。2本章導(dǎo)讀對期權(quán)進行定價，一種有用并且很流行的方法是構(gòu)造二知識結(jié)構(gòu)圖3二叉樹定價模型單步二叉樹定價模型期權(quán)價格與漲跌概率無關(guān)狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理狀態(tài)價格定價技術(shù)風(fēng)險中性定價狀態(tài)價格與風(fēng)險中性的內(nèi)在聯(lián)系風(fēng)險中性世界與現(xiàn)實世界的定價多步二叉樹定價模型Delta對沖二叉樹定價模型的拓展歐式期權(quán)美式期權(quán)確定參數(shù)u與d鞅二叉樹的Matlab實現(xiàn)三叉樹定價跳躍過程的對沖知識結(jié)構(gòu)圖3二叉樹定價模型單步二叉樹定價模型期權(quán)價格與漲第一節(jié) 單步二叉樹定價模型【例101】假定某標(biāo)的股票當(dāng)前價

3、格是1元，一個月后股價有兩種可能：上漲到2元，或者下跌到0.5元。如圖101所示。如果無風(fēng)險利率為每年6%，則在當(dāng)前時刻，購買一張一個月到期、執(zhí)行價格為1元的該股票看漲期權(quán)，期權(quán)價格應(yīng)該為多少?圖101 引例4第一節(jié) 單步二叉樹定價模型【例101】假定某標(biāo)的股55首先構(gòu)造股票和期權(quán)的證券組合，使得無論股票價格是上漲還是下跌，證券組合的價值都保持不變，設(shè)由一份期權(quán)c和份股票S構(gòu)成的證券組合是無風(fēng)險的，滿足：cu+Su=cd+Sd其中，下標(biāo)u和d分別表示股票上漲和下跌狀態(tài)。代入數(shù)值，上式變?yōu)?1+2=0+0.5可得=-2/3。因此構(gòu)造資產(chǎn)組合 ，即買入2份股票，賣出3份看漲期權(quán)，有 即資產(chǎn)組合的到

4、期價值是確定的1元。 由于該組合是無風(fēng)險組合，由無套利均衡定價原理：于是，當(dāng)前時刻期權(quán)的價格為c0=0.335元。第一節(jié) 單步二叉樹定價模型55首先構(gòu)造股票和期權(quán)的證券組合，使得無論股票價格是上漲還是6第一節(jié) 單步二叉樹定價模型假設(shè): (1)標(biāo)的資產(chǎn)可以細(xì)分成不同的份額來買賣; (2)借貸利率相同;(3)標(biāo)的資產(chǎn)的買價和賣價一樣;(4)標(biāo)的資產(chǎn)在下一時段的價格只有兩種可能。圖102 單步二叉樹6第一節(jié) 單步二叉樹定價模型假設(shè): 圖102 單步7先構(gòu)造待定比例的對沖組合，即要求由份標(biāo)的資產(chǎn)的空頭和1份期權(quán)多頭組成無風(fēng)險資產(chǎn)組合=c-S在期末的價值是確定的 。即在兩種狀態(tài)下，組合的價值相等: T=

5、u=cu-Su=d=cd -Sd (10.1) 解得: =(cu - cd)/(Su - Sd ) (10.2) 因為資產(chǎn)組合在期末的價值是確定的，因此根據(jù)無套利原理，組合的期初價值應(yīng)該為期末價值的無風(fēng)險利率的貼現(xiàn): 0=c-S0=（cu-Su）e-rT (10.3) 將式(10.2)代入式(10.3)，解得: c=(cu (1-de-rT )+ cd (ue-rT)-1)/(u-d) (10.4) 或c=e-rT pcu+(1-p)cd (10.5) 其中： p=(erT-d)/(u-d) (10.6)第一節(jié) 單步二叉樹定價模型7先構(gòu)造待定比例的對沖組合，即要求由份標(biāo)的資產(chǎn)的空頭和1份第二節(jié)

6、 股票價格漲跌概率不影響期權(quán)的定價8在例101和例102的單步二叉樹模型中，并沒有涉及標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲和下跌的概率。難道標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲和下跌的概率對期權(quán)的價格沒有影響嗎?進一步，期權(quán)價格是未來期望回報的貼現(xiàn)值嗎?比如：當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲和下跌的概率分別為（50%，50%）以及（90%，10%），期權(quán)的價格還是一樣的嗎？ 答案是肯定的，期權(quán)的價格仍然是一樣的。思考：第二節(jié) 股票價格漲跌概率不影響期權(quán)的定價8在例101和例第二節(jié) 股票價格漲跌概率不影響期權(quán)的定價9期權(quán)是零和博弈，當(dāng)市場上有足夠多的期權(quán)參與者，讓期權(quán)價格等于平均回報貌似是合理的，然而這與求出的期權(quán)的價格0.33元并不相等。進一步，

7、如果期權(quán)的價格是0.5元，那么在現(xiàn)在時刻構(gòu)造零成本投資組合:賣出兩份期權(quán)得1元，立即買入一份股票。到期時，若股票漲為2元，則股票盈利和期權(quán)虧損剛好抵消，組合價值仍然為0;若股票價格跌為0.5元，則期權(quán)價值為0，組合價值帶來了0.5元的盈利。相當(dāng)于市場免費提供了一份看跌期權(quán)，存在套利。再說，若股價上漲和下跌的概率都為50%，則股票未來的平均價格為(2+0.5)/2=1.25元，按照無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值為1.25元，也不等于股票現(xiàn)價1元。若未來股價上漲和下跌的概率為（90%，10%），則股票未來的平均價格按照無風(fēng)險利率的貼現(xiàn)值依然不等于現(xiàn)價1元。鑒于上述原因，我們在10.1中的期權(quán)定價過程中，回避

8、了股票上漲和下跌的概率以及對應(yīng)的貼現(xiàn)率，直接根據(jù)無套利原理按照標(biāo)的資產(chǎn)的價格來給期權(quán)進行定價。我們并不是在一個絕對條件下對期權(quán)進行定價，而是根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價格來計算期權(quán)的價格，如果市場是有效的，那么標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價格反映了未來上漲和下跌的概率以及風(fēng)險回報率，這些通過無套利原理反映到期權(quán)的定價過程中。因此在期權(quán)定價中，不用再考慮標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲和下跌的實際概率。第二節(jié) 股票價格漲跌概率不影響期權(quán)的定價9期權(quán)是零和博弈，第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理10以當(dāng)前t=0時刻的1元現(xiàn)金為例，到t=T時刻的價值，不僅和時間有關(guān)，而且和所處的狀態(tài)有關(guān)。通俗地講，對于前者，如果做無風(fēng)險投資可獲取r元的利息；

9、對于后者，在未來經(jīng)濟繁榮狀態(tài)和經(jīng)濟衰退狀態(tài)下，未來面值1元現(xiàn)金在當(dāng)前的價值是不一樣的。通常用狀態(tài)價格來表示在特定的狀態(tài)發(fā)生時回報為1，否則回報為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價格。如果未來時刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報狀況，我們就可以對該資產(chǎn)進行定價，這就是狀態(tài)價格定價技術(shù)。A是有風(fēng)險證券，其目前的價格是PA ，一年后其價格要么上升到uPA ，要么下降到dPA 基本證券1在證券市場上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場價格是u，基本證券2的價格是d。 圖10-4 兩種狀態(tài)下

10、的基本證券第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理10以當(dāng)前t=0時刻的1第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理11購買uPA 份基本證券1和dPA 份基本證券2組成一個假想的證券組合。該組合在T時刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流。所以有：PA =uuPA +ddPA 或1 =uu +dd由單位基本證券組成的組合u+d在T時刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報都是1元。這是無風(fēng)險的投資組合，其收益率應(yīng)該是無風(fēng)險收益率r，有：u +d = e-rT 解得：u=(1-de-rT)/(u-d)d=(ue-rT-1)/(u-d)決定基本證券價格的有三個因素?zé)o風(fēng)險利率r，價格上升的速度u與下降的速度d。只

11、要有具備上述性質(zhì)的一對基本證券存在，我們就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上的任何有價證券定價。第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理11購買uPA 份基本證第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理12第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理12第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理13方法二：用現(xiàn)實中的證券A和無風(fēng)險證券來復(fù)制證券B解：用份證券A和當(dāng)前市場價值為L的無風(fēng)險證券構(gòu)成市場價值為I的組合，其成本是：I=100+L。一年后，該組合無論市場價格上升還是下降，都必須與證券B的價格相同。于是有：Iu=107+Le0.02=103Id=98+Le0.02=98.5解得：=0.5L=48.52于是證券B現(xiàn)在的市場價值

12、是：I=100+L=1000.5+48.52=98.52兩種方法求得的證券B價格是一致的。狀態(tài)價格定價技術(shù)同樣也可用于對衍生證券的定價。第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理13方法二：用現(xiàn)實中的證第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理14【例104】 仍然討論例101。在當(dāng)前t=0時刻，股價為1元， 一個月后股價有兩種可能:以1/2的概率上漲到2元，或者以1/2的概率下跌到0.5元，不妨假定利率r=0。如何確定該股票的1個月到期的歐式平價看漲期權(quán)的價格? 解：歐式平價看漲期權(quán)在到期日如果股價上漲，其收益為1，如果股價下跌，收益為0。用份該股票和當(dāng)前市場價值為L的無風(fēng)險證券構(gòu)成市場價值為I的組合，其成

13、本是：I=1+L。到T時，該組合無論市場價格上升還是下降，都與看漲期權(quán)的價格相同。于是有：Iu=2+Le0/12=1Id=0.5+Le0/12=0 解得：=2/3 L=-1/3于是看漲期權(quán)現(xiàn)在的市場價值是：I=1+L=1/3第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理14【例104】 仍然15第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理15第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理16第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理風(fēng)險中性定價(risk-neutral valuation)是衍生產(chǎn)品定價中十分重要而且非常簡捷的方法。我們可以假設(shè)投資者是風(fēng)險中性(risk-neutral)的，這個假設(shè)是指面臨投資風(fēng)險時，投資者不需要額

14、外的風(fēng)險補償，也就是說消除了風(fēng)險溢價。所有投資者都是風(fēng)險中性的世界叫作風(fēng)險中性世界(risk-neutral world)。當(dāng)然，我們現(xiàn)實世界不是風(fēng)險中性的，投資人承受的風(fēng)險越大要求的收益就越高。但是，神奇的是，我們在風(fēng)險中性世界給出的衍生產(chǎn)品的價格，不僅在風(fēng)險中性世界是正確的，在現(xiàn)實世界也是正確的。這讓我們避開了投資者對風(fēng)險的厭惡程度這一無法明晰的主觀因素，大大簡化了定價過程。16第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理風(fēng)險中性定價(ris17風(fēng)險中性世界的特征可以簡化衍生產(chǎn)品的定價：1、標(biāo)的資產(chǎn)（如股票）的收益率期望等于無風(fēng)險利率；2、用于對衍生產(chǎn)品（如期權(quán)）的收益期望值貼現(xiàn)的利率等于無風(fēng)險利率

15、。第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理風(fēng)險中性定價具體過程如下：設(shè)q為風(fēng)險中性世界股票S上漲的概率，1-q為股票下跌的概率。由（1）有：qS0u+(1-q)S0d= S0erT得到：q=(erT-d)(u-d) (10.7)這就是風(fēng)險中性概率。由（2）有：衍生產(chǎn)品f的當(dāng)前價格為：f= qfu+(1-q)fde-rT17風(fēng)險中性世界的特征可以簡化衍生產(chǎn)品的定價：第三節(jié) 狀態(tài)18 狀態(tài)價格定價技術(shù)與風(fēng)險中性定價有著內(nèi)在聯(lián)系，它們在本質(zhì)上是一致的。 將未來分為上漲和下跌兩種狀態(tài)時，注意到上漲和下跌是互斥事件，它們的狀態(tài)價格之和為1，因此可以將上漲和下跌情形下的狀態(tài)價格定義為一種概率，此即是風(fēng)險中性概率

16、，因為消除了不同狀態(tài)（風(fēng)險）的影響，對應(yīng)為無風(fēng)險，貼現(xiàn)率為無風(fēng)險利率。 換句話說，因為市場是完全且無套利的，所以在這個過程中，無風(fēng)險的投資組合的收益率為無風(fēng)險收益率。因此，則在新定義的風(fēng)險中性概率下，證券價格等于未來期望回報的無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理18 狀態(tài)價格定價技術(shù)與風(fēng)險中性定價有著內(nèi)在聯(lián)系，它們在本19第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理以【例103】為例，可以驗算當(dāng)前t=0時刻的股價1元，剛好等于上漲行情下的回報2元乘以狀態(tài)價格（視為上漲的風(fēng)險中性概率）1/3，加上下跌行情下的回報0.5元乘以狀態(tài)價格（視為下跌的風(fēng)險中性概率）2/3，再按無風(fēng)險利率r=0進行貼

17、現(xiàn)。即：股票價格=(21/3+0.52/3)/(1+0)=1；同樣，對于期權(quán)，也有：期權(quán)價格= =(11/3+02/3)/(1+0)=1/3，如圖105所示。0.5;02;12/31/31;1/319第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理以【例103】為例20第三節(jié) 狀態(tài)價格與風(fēng)險中性定價原理對單步二叉樹來說，記q=(erT-d)(u-d)1-q=(u-erT)(u-d) (10.5)當(dāng)0derT ，10.152，也就是說，若股價到達(dá)該點則看跌期權(quán)需要提前執(zhí)行，最終計算得PA=0.08 。 美式平價看跌期權(quán)價格為0.08元，比相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價格0.06元高。29第六節(jié) 美式期權(quán)的二叉樹定價方法

18、【例104】如圖130第七節(jié) 參數(shù)u和d的選擇30第七節(jié) 參數(shù)u和d的選擇31第八節(jié) 鞅31第八節(jié) 鞅32第八節(jié) 鞅 32第八節(jié) 鞅 33第八節(jié) 鞅結(jié)論2 在風(fēng)險中性世界里，歐式期權(quán)的貼現(xiàn)價格是鞅。 在風(fēng)險中性世界里，不支付紅利的股票的貼現(xiàn)價格是一個鞅，股票和貨幣的任意投資組合的貼現(xiàn)價格都是鞅。因此，如果一個衍生證券可以通過股票和貨幣的組合來復(fù)制，則該衍生證券的貼現(xiàn)價格是鞅，利用鞅的性質(zhì)立刻可以得到衍生證券的風(fēng)險中性定價公式。例如，我們在10.4節(jié)利用股票和貨幣的組合復(fù)制了期權(quán)，式(10.20)表明了期權(quán)的貼現(xiàn)價格是鞅，其風(fēng)險中性定價公式為式(10.4)。 值得一提的是，美式期權(quán)與歐式期權(quán)不同

19、，在風(fēng)險中性世界中，美式期權(quán)的貼現(xiàn)價格不是鞅，而是上鞅。因為美式期權(quán)的持有人可能會錯過最佳的執(zhí)行時機，在此情形下，美式期權(quán)的貼現(xiàn)價格具有下降趨勢。不支付紅利的美式期權(quán)是鞅，因為提前實施是不明智的。33第八節(jié) 鞅34第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn)本節(jié)以市場上實際交易的期權(quán)，在Matlab軟件中利用二叉樹方法計算其價格，并與市場報價比較。 【例105】 表101是2012年6月10日觀察的2012年7月21日到期的美國SPDR S&P 500 ETF (SPY) 期權(quán)數(shù)據(jù)，執(zhí)行價格指數(shù)為133，美國紐約證券交易所(NYSE)顯示的標(biāo)的指數(shù)SPY為133.1，一年期LIBOR美元利率為1.070

20、20%，按折算因子換算成年無風(fēng)險利率為1.070 20%*365/360=1.085 1%，標(biāo)的指數(shù)的波動率采用VIX指數(shù)，為21.23%，S&P500過去12個月的紅利率為2.06%，市場給出的看漲期權(quán)買賣價分別為3.27和3.21美元。表101SPY看漲看跌期權(quán)價格表34第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn)本節(jié)以市場上實際交易的期35利用二叉樹方法在Matlab中計算相應(yīng)的期權(quán)價格，以及程序的耗時為: tic， call=LatticeEurCall(133.1，133，0.010851，1/12，0.2123，500，0.0206)，toc call = 3.2441 Elapsed tim

21、e is 0.032579 seconds.tic，put=LatticeEurPut(133.1，133 ，0.010851，1/12，0.2123，500，0.0206)，tocput =3.2522Elapsed time is 0.013202 seconds. tic，CallPrice， PutPrice= blsprice(133.1，133，0.010851，1/12，0.2123，0.0206)，tocCallPrice =3.2442PutPrice =3.2523Elapsed time is 0.017565 seconds. 第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn)35利用二

22、叉樹方法在Matlab中計算相應(yīng)的期權(quán)價格，以及程36 從計算結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn):即使是多達(dá)500步的二叉樹算法，在個人電腦上運行，耗時也非常短，只有千分之幾秒;期權(quán)的二叉樹定價結(jié)果和布萊克-斯科爾斯定價結(jié)果非常接近;歐式看漲期權(quán)二叉樹價格和布萊克-斯科爾斯價格與市場報價吻合得較好，落在買賣價格之間。 但是，以二叉樹和布萊克-斯科爾斯公式計算的看跌期權(quán)價格，比市場報價要低很多。這是否違反了無套利原理呢？并沒有。因為二叉樹和布萊克-斯科爾斯定價最基本的假設(shè)是標(biāo)的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布，其波動率為常數(shù)，而現(xiàn)有的研究表明標(biāo)的資產(chǎn)的實際價格并不服從對數(shù)正態(tài)分布，真實的尾部分布要厚得多，市場在下跌時的波動

23、率也更大。 一種普遍認(rèn)可的理論解釋是，看跌期權(quán)為市場提供了一種保險功能，所以投資者原意為此付出負(fù)的風(fēng)險溢酬，參見第14章。另外，理論上看跌看漲平價公式保證看漲看跌期權(quán)的隱含波動率相等，然而實際的金融市場中存在杠桿效應(yīng):當(dāng)資產(chǎn)價格上漲時，波動率減小;當(dāng)資產(chǎn)價格下跌時，波動率增大。由于波動率對期權(quán)價格的影響為正，因此實際中看跌期權(quán)的價格比理論計算的價格要高。 第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn)36 從計算結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn):即使是多達(dá)500步的二叉樹37第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn)美式期權(quán)2012年6月10日觀察,7月10日周五失效類型執(zhí)行價SymbolLastChgBidAskVolOpen In

24、tCall605.00OEX120721C0060500014.402.04 14.1016.9079271Put605.00OEX120721P0060500014.901.7013.0015.701232【例106】表102列出了2012年6月10日觀察到的2012年7月21日到期的OEX美式期權(quán)價格信息,標(biāo)的指數(shù)為605.62,利用Matlab軟件中的美式二叉樹函數(shù)程序計算得:Amcall=LatticeAmCall(605.62,605,0.010851,1/12,0.2123,500,0.0206)Amcall=14.8728Amput=LatticeAmPut(605.62,605

25、,0.010851,1/12,0.2123,500,0.0206)Amput=14.7155可以看出,美式平價期權(quán)二叉樹計算的價格和市場價格吻合得較好,即使是看跌期權(quán)。有興趣的讀者可以思考其中原因。表102OEX看漲看跌期權(quán)價格表37第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn)美式期權(quán)2012年6月138第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn) 自2015年2月9日起，我國上交所掛牌交易上證50ETF期權(quán)合約。上證50ETF期權(quán)的合約標(biāo)的為“上證50交易型開放式指數(shù)證券投資基金”。 這里運用二叉樹程序計算的價格和上述市場報價非常接近，但并沒有完全落在買賣報價之間，存在少量的誤差。原因可能在于，這里使用的波動率是上

26、交所測算的期權(quán)隱含波動率，它是從很多當(dāng)期期權(quán)價格提煉合成的，但對具體某一支期權(quán)而言，波動率存在誤差，一種替代方法是運用歷史波動率；其次，無風(fēng)險利率運用的是當(dāng)天的SHIBOR年利率3.712%，和真實市場中認(rèn)可的無風(fēng)險利率有誤差；紅利率運用的是最近一期的單位份額分紅數(shù)據(jù)推算出來的，1.82%；當(dāng)然，市場的流動性和成熟程度也對價格有一定的影響。讀者有興趣請自己動手計算一下模型價格和市場報價，便可明白這里面的差異?？偭拷灰谞顟B(tài)賣價買價漲幅%購沽漲幅%買價賣價總量30962連續(xù)0.10520.1048-19.412.500048.080.02580.02606675875951連續(xù)0.06780.0675-23.892.550036.310.04440.044586984150217連續(xù)0.04330.0431-27.112.600031.810.06990.0702101067表10-3 期權(quán)T型報價行情 2018年8月1日星期三14：00左右的盤中價格。38第九節(jié) 二叉樹的MATLAB實現(xiàn) 自2015年2月9日39 二叉樹