高考數(shù)學(xué)二輪課件：專題8不等式

1、專題八 不等式目 錄CONTENTS 考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)與基本不等式1考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用2考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式必備知識(shí) 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力必備知識(shí) 全面把握考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式1實(shí)數(shù)的有關(guān)基本性質(zhì) (1)正數(shù)大于零，零大于一切負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小于正數(shù)即 a是正數(shù) a0； a是負(fù)數(shù) a0； ab. (2)正數(shù)中，絕對(duì)值較大的數(shù)較大；負(fù)數(shù)中，絕對(duì)值較大的數(shù)較小即 當(dāng)a0，b0時(shí)，|a|b|ab； 當(dāng)a0，b0時(shí)，|a|b|ab. (3)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)即 a0 a0； a0 a0.(4)兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的定義兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小

2、的幾何形式的定義：在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的代數(shù)形式的定義：對(duì)于任意的a，bR，有ab0 ab；ab0 ab；ab0 ab.(5)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)的和仍是負(fù)數(shù)即a0，b0 ab0；a0，b0 ab0.考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式6考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式(6)兩數(shù)積為正，則兩數(shù)同號(hào)；兩數(shù)積為負(fù)，則兩數(shù)異號(hào)，其逆亦真即ab0 a0，b0或a0，b0；ab0 a0，b0或a0，b0.(7)除0外的任何數(shù)與它的倒數(shù)同號(hào)即a與 同號(hào)(a0)(8)一個(gè)正數(shù)與另外任意一個(gè)實(shí)數(shù)的積、商，都與另外那個(gè)數(shù)同號(hào)即當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)b(b0)，則ab

3、，與b同號(hào)考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式2不等式的性質(zhì)(包括“單向性”和“雙向性”兩個(gè)方面)(1)單向性：傳遞性：ab，bc ac.同向相加：ab，cd acbd.乘法單調(diào)性：ab，c0 acbc；ab，c0 acbc.正同向相乘：ab0，cd0acbd.考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式乘方性：ab0anan(nN，且n1)開方性：ab0 (nN，且n1)(2)雙向性：對(duì)稱性：ab ba.加法單調(diào)性：ab acbc.考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式3重要結(jié)論考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式 應(yīng)注意的幾個(gè)問題：要注意不等式性質(zhì)成立的條件，不要“隨心所欲”地弱化或強(qiáng)化條件例，在應(yīng)用“ab，ab0

4、 ”時(shí)，易弱化成“ab ”或強(qiáng)化成“ab0 ”要注意條件的放寬和加強(qiáng)及條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系. 例，乘法法則：ab0，cd0acbd.把這一條件放寬為ab，cd，a，b，c，d中有三個(gè)正數(shù)時(shí)，acbd仍成立類似這樣性質(zhì)的研究能加深對(duì)不等式性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，才能深刻理解不等式的性質(zhì)的“可靠性”，性質(zhì)應(yīng)用的“廣泛性”和性質(zhì)的“局限性”單向性主要應(yīng)用于證明不等式；雙向性是解不等式的基礎(chǔ)考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式4一些常用的性質(zhì)考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式5基本不等式考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式6

5、基本不等式與最值設(shè)x，y是正數(shù)，則有(1)若 （和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值 ；(2)若 （積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和x+y取得最小值 .結(jié)論可簡(jiǎn)記為“和定積最大，積定和最小”，即兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，則可求其積的最大值；積為定值時(shí)，可求其和的最小值考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式 (1)a2b22ab與2(ab) 成立的條件是不一樣的，前者a，b可以是任意實(shí)數(shù)，后者a，b只能是正數(shù)兩者中等號(hào)成立的條件均為ab.(2)要適當(dāng)注意鏈?zhǔn)讲坏仁剑?(其中a，b(0，)，即調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)，且等號(hào)成立的條件都是ab.方法1 不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用 1、不等式的性質(zhì)是后

6、面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有透徹理解不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論，才能找到正確、合理地答案. 2判斷有關(guān)不等式命題真假的方法：(1)直接運(yùn)用不等式的性質(zhì)：把要判斷的命題與不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，運(yùn)用與命題相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行推理、判斷核心方法 重點(diǎn)突破考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式3. 比較實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小的方法(1)作差法(2)作商法(3)構(gòu)造函數(shù)法(4)中間值法、特殊值驗(yàn)證法(2)利用函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)直接運(yùn)用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可運(yùn)用函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的單調(diào)性進(jìn)行判斷(3)特殊值驗(yàn)證法：對(duì)所要判斷的幾個(gè)式子中涉及的變量先賦值再比較、判斷考點(diǎn)一 不等式的

7、性質(zhì)與基本不等式【解析】方法一：ab0，ab0，a0，a(ab)0.將 兩邊同乘a(ab)，可得aab.b0，這與已知條件矛盾，故選B.考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式方法二：(排除法)由ab0知ab0，于是有 ，A成立；由ab0知ab0，|a|b|，C成立；由ab0知ab0，于是(a)2(b)2，即a2b2，D成立故選B.或者由 0得 ，故B不成立故選B.方法三：(特殊值法)令a2，b1，代入A，B，C，D中，可知選B.【答案】B考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式例3 已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上是單調(diào)遞減的，R，且0，0，0

8、，試說明f()f()f()的值與0的關(guān)系【解】0，.又函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上是單調(diào)遞減的，f()f()又函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上是奇函數(shù)，f()f()f()f()同理：由0f()f()，0f()f()將左右兩邊分別相加，得f()f()f()f()f()f()2f()f()f()0，即f()f()f()0.考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式例4 已知二次函數(shù)yf(x)的圖像過原點(diǎn)且1f(1)1，3f(1)5，求f(2)的取值范圍【分析】用待定系數(shù)法或解方程組思想，由f(1), f(1)求出f(2)的取值范圍考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式例4 已知二次函數(shù)yf(x)的圖像過原點(diǎn)且1f(1)1

9、，3f(1)5，求f(2)的取值范圍考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式方法2 基本不等式及其應(yīng)用1、基本不等式有常用的變形公式，應(yīng)注意各個(gè)公式的適用范圍.2、基本不等式的應(yīng)用是求最值，需要注意：一正、二定、三相等積定和最小，和定積最大.3、解法技巧：(1)已知恒等式，求最值問題，注意給出目標(biāo)式子與恒等式的關(guān)系若目標(biāo)式子是恒等式的一部分，則直接應(yīng)用基本不等式求解；否則，可以嘗試“1”的代換、“減元”等方法的應(yīng)用(2)構(gòu)造利用基本不等式的形式，再對(duì)照基本不等式的使用條件，“一正”不滿足時(shí)要乘1變?yōu)檎龜?shù)，“二定”不滿足時(shí)要湊定值，“三相等”不滿足時(shí)要改用函數(shù)的圖像或單調(diào)性求最值考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基

10、本不等式28考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式【答案】B 29考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式30考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式例7 某食品廠定期購(gòu)買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元(1)求該廠多少天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次性購(gòu)買面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%)，問該廠是否應(yīng)考慮接受此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說明理由31考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式【解】(1)設(shè)該廠應(yīng)每x天購(gòu)買一次面粉，其購(gòu)買量為6x噸，由題意知，面粉

11、的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)62619x(x1)元設(shè)每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則所以該廠每10天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少32考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考法例析 成就能力考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考法例析 成就能力 本考點(diǎn)是高考的熱點(diǎn)，常以不等式為載體與函數(shù)相結(jié)合考查，注意不等式的等價(jià)變形；一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度不大考法1 不等式性質(zhì)的應(yīng)用高考中對(duì)不等式性質(zhì)的考查常與函數(shù)的單調(diào)性、命題、充要條件等結(jié)合，多為判斷不等式是否成立，實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小的排序，命題真假判斷或充要條件的判斷34例1 課標(biāo)全國(guó)201812設(shè)alog0.20.3，blog

12、20.3，則 () Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0log0.210，blog20.3log210，ab0. log0.30.2log0.32log0.30.4(0，1)，即0 1.又ab0，abab0.故選B.考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式35考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式例2 課標(biāo)全國(guó)20168若ab1，0c1，則()Aacbc BabcbacCalogacblogac Dlogaclogbc 【答案】C 36考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考法2 基本不等式的應(yīng)用 高考中基本不等式的應(yīng)用多為求代數(shù)式的最值，或與函數(shù)、平面向量、三角形等結(jié)合求代數(shù)式的最值，或在實(shí)際生活中

13、的應(yīng)用37考點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)與基本不等式考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用必備知識(shí) 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力必備知識(shí) 全面把握考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用解不等式是求函數(shù)定義域、值域，參數(shù)的取值范圍時(shí)的重要手段，是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一解不等式的過程是不等式的同解變形不等式的同解變形是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在不等式中的具體體現(xiàn)主要理論依據(jù)是不等式的同解變形和函數(shù)的單調(diào)性40考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用1不等式的同解變形原理(1)不等式f(x)g(x)與不等式f(x)F(x)g(x)F(x)同解(F(x)為整式)(2)若m0，則不等式f(x)g(x)與不等式mf(x)mg(x)同解；若m0，則不

14、等式f(x)g(x)與不等式mf(x)mg(x)同解41考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用2常見不等式解法(1)一元一次不等式一元一次不等式axb的解集情況：42考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用(2)一元二次不等式設(shè)a0，x1，x2是方程ax2bxc0的兩根，且x1x2，則一元二次不等式的解集如下表所示：考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用要準(zhǔn)確、熟練地掌握一元二次不等式的解法，這是解其他不等式的基礎(chǔ)一元二次不等式解集的確定可以借助二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的關(guān)系來(lái)進(jìn)行，注意a的正負(fù)(3)一元高次不等式常用“數(shù)軸標(biāo)根法”一般地，設(shè)多項(xiàng)式f(x)a(xa1)(xa2)(xan)(a0)，它的n個(gè)實(shí)根的大小順序?yàn)?/p>

15、a1a2an，把數(shù)軸分成n1個(gè)區(qū)間：(，a1)，(a1，a2)，(an1，an)，(an，)自右至左給這些區(qū)間編上順序號(hào)，則當(dāng)a0時(shí)，有：在奇數(shù)區(qū)間內(nèi)，f(x)0；在偶數(shù)區(qū)間內(nèi)，f(x)0.考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用“數(shù)軸標(biāo)根法”解一元高次不等式的步驟：將f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積；將每一個(gè)一次因式對(duì)應(yīng)方程的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次穿過每一個(gè)根點(diǎn)畫曲線；根據(jù)曲線顯現(xiàn)出f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集45考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用要注意掌握規(guī)律：最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；右上走線，“奇”穿“偶”切(4)分式不等式分式不等式的等價(jià)變形：46考點(diǎn)二 不等

16、式的解法及應(yīng)用解分式不等式為避免討論，可采取“移項(xiàng)、通分、轉(zhuǎn)化為整式不等式”的做法(5)含有絕對(duì)值的不等式兩個(gè)基本定理定理1：|a|b|ab|a|b|(a，bR)定理2：|a|b|ab|a|b|(a，bR)47考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用絕對(duì)值不等式適用范圍較廣，向量、距離等定義都涉及絕對(duì)值不等式；應(yīng)理解其含義，掌握證明思路以及“”成立的條件解絕對(duì)值不等式的一般方法：()根據(jù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的意義，即48考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用()兩邊平方：|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.()零點(diǎn)分段法(6)含參數(shù)不等式對(duì)于解含參數(shù)不等式，要充分利用不等式的性質(zhì)，對(duì)參數(shù)的討論要注意分類，做到不“重復(fù)”不

17、“遺漏”49考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用3不等式解法的補(bǔ)充(1)指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法：利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí)，必須注意它們的“底”及它們的定義域 (2)無(wú)理不等式的解法：無(wú)理不等式解法的基本思路是將其等價(jià)地轉(zhuǎn)化為整式不等式組求解，應(yīng)注意討論.核心方法 重點(diǎn)突破考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用解不等式需要注意下面幾個(gè)問題：(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法；(2)掌握用數(shù)軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法；(3)在解不等式的過程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式；(4)對(duì)于含字母的不等式，要能按照

18、正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論方法1 常見不等式的解法 51考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用52考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用53考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用例3 設(shè)函數(shù)f(x) ax.(1)解不等式f(x)1；(2)求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上是單調(diào)函數(shù)54考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用方法2 不等式恒成立或有解的解法1、一元二次不等式在R上的恒成立或有解問題：考慮相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開口方向、判別式2、不等式在給定區(qū)間上的恒成立或有解問題(不含等號(hào))，首先考慮分離參數(shù)，若不能分離參數(shù)，則利用函數(shù)的最值或圖像求解通過分離參數(shù)，恒成立問題可轉(zhuǎn)化為

19、af(x)，xD恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為af(x)max，xD.若函數(shù)的最值取不到(即無(wú)限趨近于某個(gè)值)，則需添加等號(hào)有解問題可轉(zhuǎn)化為af(x)，xD有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為af(x)min，xD.若函數(shù)的最值取不到(即無(wú)限趨近于某個(gè)值)，則不需添加等號(hào)55考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用例4 已知函數(shù)f(x)x ，若存在x1，2，使得f(x)2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_56考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用例5 已知函數(shù)f(x)x2mx1.(1)若對(duì)于任意的xm，m1，都有f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍58考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用【解】(1)由題意得4a24(a2)0，即a2a20，解得2a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范

20、圍是2，1（2)因?yàn)閷?duì)于x1，1，f(x)0恒成立，所以f(x)min0，x1，1函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸方程為xa.當(dāng)a1，即a1時(shí)，f(x)在區(qū)間1，1上單調(diào)遞增，則f(x)minf(1)33a.解33a0得a1，所以a1.當(dāng)1a1，即1a1時(shí)，f(x)minf(a)a2a2.解a2a20得2a1，所以1a1.當(dāng)a1，即a1時(shí)，f(x)在區(qū)間1，1上單調(diào)遞減，則f(x)minf(1)a3.解a30得a3，所以3a1.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，159考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用 (3) 存在x1，1，f(x)0成立，則f(x)max0，x1，1函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸方程為xa.當(dāng)a0，

21、即a0時(shí)， f(x)maxf(1)a3.解a30得a3，所以a0.當(dāng)a0，即a0時(shí)，f(x)maxf(1)33a.解33a0得a1，所以a0，令g(a)(2x1)ax22，則g(a)0在1，1上恒成立，所以 解得x1，故實(shí)數(shù)x的取值范圍是x|x160方法3 不等式的應(yīng)用考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用1不等式與函數(shù)的綜合不等式在理論方面的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：把不等式作為一種工具應(yīng)用于其他問題之中，表現(xiàn)形式是不等式的解法的應(yīng)用如：求函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間，討論一元二次方程的實(shí)根的分布規(guī)律等運(yùn)用不等式求函數(shù)的最大(小)值(1)不等式在函數(shù)中的應(yīng)用由于函數(shù)yf(x)與不等式f(x)0，f(x)0

22、和方程f(x)0的關(guān)系可表示為(x，y)|yf(x)(x，y)|yf(x)0(x，y)|yf(x)0(x，y)|yf(x)0由此可知，討論函數(shù)的部分性質(zhì)可以通過對(duì)不等式、方程的研究去實(shí)現(xiàn)，這就是局部與整體，等量關(guān)系與不等量關(guān)系的辯證統(tǒng)一61考點(diǎn)二 不等式的解法及應(yīng)用(2)不等式在函數(shù)“單調(diào)性”問題中的應(yīng)用不等式在函數(shù)“單調(diào)性”問題中的應(yīng)用，主要表現(xiàn)形式：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉具體的或抽象的函數(shù)關(guān)系符號(hào)，使兩個(gè)函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)復(fù)合自變量的不等關(guān)系如：已知lg(x21)lg(x2x)，則必有x21x2x.這樣就去掉了函數(shù)ylg x的關(guān)系符號(hào)“l(fā)g”；又如，已知f(x)是R上的減函數(shù)，且f(2a)f