試談自動化車床管理的數(shù)學模型

1、第6組 組員員自動化車床管理理的數(shù)學模型型摘要本文解決的是自自動化車床管管理問題。用用自動化車床床連續(xù)加工某某種零件時，由由于各種原因因會導致生產(chǎn)產(chǎn)工序發(fā)生故故障，而當生生產(chǎn)工序故障障時，生產(chǎn)的的零件大多為為不合格產(chǎn)品品，這樣會給給生產(chǎn)帶來巨巨大損失。為為解決該問題題，我們對工工序設計了三三種最優(yōu)的檢檢查間隔和刀刀具更換策略略模型：對于問題一：我我們建立了模模型一，即單單目標期望值值模型。我們們將一個周期期內(nèi)單個零件件的平均生產(chǎn)產(chǎn)費用，作為為衡量檢查間間隔和刀具更更換策略優(yōu)劣劣的標準。因因為檢查間隔隔和定期更換換刀具都與刀刀具的壽命有有密切聯(lián)系，所所以我們利用用6SQ統(tǒng)計計軟件對附錄錄一中的1

2、000次刀具故故障記錄進行行卡方擬合優(yōu)優(yōu)度檢驗得知知：刀具的壽壽命服從正態(tài)態(tài)分布。根據(jù)據(jù)工序出現(xiàn)故故障的隨機性性，為了簡化化計算，又假假設在一個周周期內(nèi)出現(xiàn)刀具損壞故障的概率服從均勻分分布，這樣我我們便很容易易地列出每個個零件的平均均生產(chǎn)費用，即即：模型一的的目標函數(shù)，再再用計算機窮窮舉法對此進行了求求解，得出每每生產(chǎn)14個個零件檢查一一次，4200個零件更換換一次刀具，每每個零件的平平均生產(chǎn)費用用為3.888元為最優(yōu)解。對于問題二：我我們建立了模模型二，我們們延用問題一一的指標，并并對變化了的的因素做出了了考慮。與問題一不同同的是，工序序正常時產(chǎn)出出的零件不全全是合格品，有有2%為不合合格品

3、；而工工序故障時產(chǎn)產(chǎn)出的零件也也不全是不合合格品，有440%的合格格品。相對于于模型一，模模型二較為復復雜得多，但但整體的解題題思想與模型型一雷同。分分情況分階段段對各類費用用進行了細算算，最終得到到的結果為：每生產(chǎn)9個個零件檢查一一次，3788個零件更換換一次刀具，每每個零件的平平均生產(chǎn)費用用為8.522元為最優(yōu)解解。對于問題三：我我們建立了模模型三，考慮慮到刀具工作作初期產(chǎn)生不不合格零件的的概率相對較較小，采取了了變間隔檢查查的辦法，并并構造了一遞遞減等差數(shù)列列作為我們的的檢查間隔，沿沿用問題一的的指標，建立立了模型。關鍵詞：單目標標期望值模型型 6SQ統(tǒng)統(tǒng)計軟件 卡方擬合優(yōu)優(yōu)度檢驗 計算

4、機窮舉舉法 最優(yōu)解 等差差數(shù)列1問題重述問題背景：一道道工序用自動化車床床連續(xù)加工某某種零件，由由于刀具損壞壞等原因該工工序會出現(xiàn)故故障，其中刀刀具損壞故障障占95%, 其它故障障僅占5%，工序出現(xiàn)故故障是完全隨隨機的，工作作人員通過檢檢查零件來確確定工序是否否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)現(xiàn)計劃在刀具具加工一定件件數(shù)后定期更更換新刀具。 在本文文，我們需要要建立自動化化車床管理的的數(shù)學模型來來解決以下問問題。由于工工序出現(xiàn)故障障是完全隨機機的，因此每每一次故障時時完成的零件件數(shù)均不相同同。附錄一中中給出1000次刀具故障障記錄及故障障出現(xiàn)時該刀刀具完成的零零件數(shù)。本文需要解決的的問題：問題一：假定工工序故障時

5、產(chǎn)產(chǎn)出的零件均均為不合格品品，正常時產(chǎn)產(chǎn)出的零件均均為合格品, 試對該工工序設計效益益最好的檢查查間隔（生產(chǎn)產(chǎn)多少零件檢檢查一次）和和刀具更換策策略。問題二：如果該該工序正常時時產(chǎn)出的零件件不全是合格格品，有2%為不合格品品；而工序故故障時產(chǎn)出的的零件有400%為合格品品，60%為為不合格品。工工序正常而誤誤認有故障停停機產(chǎn)生的損損失費用為11500元/次。對該工工序設計效益益最好的檢查查間隔和刀具具更換策略。問題三：在問題題二的情況下下，可否改進進檢查方式獲獲得更高的利利益。 2.模型假設和和符號說明2.1模型的假假設假設1: 不考考慮5%的其其他故障；假設2：在生產(chǎn)產(chǎn)任一零件時時工序出現(xiàn)故

6、故障的機會均均相等；假設3：每次只只檢查一個零零件，且檢查查時間很小，可可忽略不計；假設4：工作人人員檢查到有有不合格產(chǎn)品品時，就判斷斷工序發(fā)生故故障；假設5：附錄一一中100次次刀具故障記記錄在誤差范范圍內(nèi)是準確確的。2.2符號說明明符號符號說明每生產(chǎn)個零件檢檢查一次檢查第次時更換換新刀具工序發(fā)生故障時時每次的檢查費費用工序發(fā)生故障時時產(chǎn)出的零件件損失費用，單單位：元/件件工序發(fā)現(xiàn)故障進進行調(diào)節(jié)使恢恢復正常的平平均費用（包包括刀具費），單單位：元工序未發(fā)現(xiàn)故障障時更新一把把新刀具的費費用，單位:元/次工序正常而誤認認為有故障停停機產(chǎn)生的損損失費用更換刀具的周期期，即：定期期更換刀具時時已生產(chǎn)

7、的零零件總數(shù)，一個周期內(nèi)零件件生產(chǎn)的總費用一個周期內(nèi)單個個零件的平均均生產(chǎn)費用第一次刀具故障障時完成的零件數(shù)數(shù)工序正常時生產(chǎn)產(chǎn)的零件的不不合格率工序正常時生產(chǎn)產(chǎn)的零件的合合格率工序故障時生產(chǎn)產(chǎn)的零件的不不合格率工序故障時生產(chǎn)產(chǎn)得零件的合合格率3.問題分析此題研究的是自自動化車床的的合理性管理理的數(shù)學模型型問題。要對對車床進行合合理性的管理理，就要有合合理的管理措措施，這樣才才能使工序效效益最好。本本文主要考慮慮的是由刀具具損壞故障和和非刀具故障障導致的一系系列問題，在在生產(chǎn)過程中中，工序出現(xiàn)現(xiàn)故障是完全全隨機的，即即在生產(chǎn)任一一零件時都有有可能出現(xiàn)故故障，其中刀刀具損壞故障障占95%，其其它故

8、障占55%。由于工作人人員在檢查零零件時，一旦旦發(fā)現(xiàn)零件不不合格，只能能判斷該工序序出現(xiàn)故障，但但不能判斷故故障是由刀具具損傷引起的的還是其它故故障引起的，我我們暫且不考考慮5%的其其他故障（其其他故障的比比例較小，可可忽略不計）。當檢查員檢查到到不合格零件件時，就認為為自動化車床床出現(xiàn)故障，應應該進行調(diào)整使其其恢復正常。由由于廠家計劃劃在刀具加工工一定零件數(shù)數(shù)之后要定期期更換新刀具具，這就涉及及到零件的檢檢查間隔和刀刀具的更換周周期。如果檢檢查間隔太長長，故障不能能及時發(fā)現(xiàn)，就就會生產(chǎn)出更更多的不合格格產(chǎn)品，給生生產(chǎn)帶來損失失；如果檢查查間隔太短，那么檢檢查次數(shù)就會會增加，這樣樣會增加檢查查

9、費用。綜上上所述，我們應應該設計出合合理的檢查間間隔，使得在在每次更換新新刀具時，每每個零件的平平均費用最低低。針對問題一：我我們首先假設設自動化車床床每生產(chǎn)件產(chǎn)產(chǎn)品時對其進進行一次檢查查，第次檢查查以后更換新新的刀具，這樣，工序序更換刀具的的周期為，即即：自動化車車床每生產(chǎn)個個零件時更換換一次刀具。由由于更換刀具具是定期的，更換刀具時，可能已經(jīng)出現(xiàn)故障，也可能還沒有出現(xiàn)故障。因此，我們分為兩種情況討論。第一種情況：第次檢查時零件合格，則更換刀具時刀具還未出現(xiàn)故障；第二種情況：在這次檢查中，第次檢查時就發(fā)現(xiàn)是不合格品，那么我們認為在第次檢查完以后生產(chǎn)的第個零件時刀具損壞，在這之后生產(chǎn)出的零件全

10、部為不合格品，即故障出現(xiàn)在一個周期的第個零件。由此，我們根據(jù)可能出現(xiàn)的兩種情況，分別計算出一個周期內(nèi)每個零件的平均費用。針對問題二：考考慮到情況比比較復雜，我我們將問題分分為四種情況況，在換刀周周期內(nèi)，工序序正常情況下下沒有檢查出出不合格的零零件，工序正正常時檢查出出了不合格的的零件，工序序故障時未檢檢查出了不合合格零件，工工序故障時檢檢查出不合格格零件。計算算這四種情況況下的費用，取取單個零件生生產(chǎn)費用最低低的情況下得得檢查間隔和和換刀周期為為最優(yōu)解。針對問題三：考考慮到刀具工工作初期產(chǎn)生生不合格零件件的概率相對對較小，采取取了變間隔檢檢查的辦法，并并構造了一遞遞減等差數(shù)列列作為我們的的檢查

11、間隔，分分情況分概率率計算出單個個零件生產(chǎn)費費用的期望。4.數(shù)據(jù)分析定義：刀具的壽壽命是指從換換新刀具到該該刀具損壞故故障這一段時時間按內(nèi)工序序完成的零件件數(shù)4.1刀具的壽壽命服從正態(tài)態(tài)分布根據(jù)附錄一給出出的數(shù)據(jù)，我我們利用6SSQ統(tǒng)計軟件件對其進行卡卡方擬合優(yōu)度度檢驗，得到到如下結果（結結果見表4.1）：表4.1刀具的的壽命服從正正態(tài)分布的卡卡方擬合優(yōu)度度檢驗結果假設檢驗零假設服從正態(tài)分布自由度9卡方統(tǒng)計量2.52183397p值0.98029904顯著性水平0.05結果接受零假設根據(jù)以上假設檢檢驗的結果可可知：刀具的的壽命服從正正態(tài)分布。4.2刀具壽命命的統(tǒng)計 由附錄錄一中給出的的100個

12、統(tǒng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我我們利用6SSQ統(tǒng)計軟件件對其進行統(tǒng)統(tǒng)計，統(tǒng)計結結果如下（見見表4.2）： 表4.2刀具的的壽命服從正正態(tài)分布的統(tǒng)統(tǒng)計量統(tǒng)計量數(shù)據(jù)個數(shù)100平均值600標準偏差196.62991695最小值84最大值1153小數(shù)位數(shù)0區(qū)間個數(shù)16區(qū)間寬度66.875根據(jù)以上的統(tǒng)計計表可以得到到：刀具壽命命的期望值，標標準差.則該正態(tài)分分布的密度函函數(shù)為：正態(tài)分布函數(shù)為為：4.3刀具壽命命的正態(tài)概率分布布 我們將附錄一中中的100個個數(shù)據(jù)分成116個區(qū)間，由由刀具損壞故故障的隨機性性大致可以了了解刀具壽命命的概率分布布，結果見下下表：表4.3刀具的的壽命服從正正態(tài)分布的概概率分布由該正態(tài)分布的的概

13、率分布圖圖可以看出：數(shù)學期望在在600左右右，波動范圍圍從116.9到11220，說明標標準差較大，即即：刀具壽命命的隨機性較較強。5.問題一的解解答本文研究的是自自動化車床管管理的數(shù)學模模型。管理方方案設計的優(yōu)優(yōu)劣我們不能能主觀臆斷，而而要確定合理理的評價指標標進行判斷。為此，我我們確定以下下評價指標：5.1評價指標標：單個零件的的平均費用一個周期內(nèi)的單單位零件的生生產(chǎn)費用，即即：一個周期期內(nèi)生產(chǎn)零件件的總費用除除以周期長，數(shù)數(shù)學表達式為為：該指標越小，說說明設計方案案越好。針對問題一我們們建立了模型型一。5.2模型一的的建立5.2.1確定定目標函數(shù)該模型是設計出出效益最好的的檢查間隔和和刀

14、具更換策策略，使單個個零件的平均均費用最小。由于在定期換刀時，故障可能出現(xiàn)也可能未出現(xiàn)，所以我們分為以下兩種情況進行討論：一個周期內(nèi)未發(fā)發(fā)現(xiàn)不合格品品，即：第次檢檢查時零件全全部合格，則則一個周期內(nèi)零件件的總費用為為：，其中這里表示刀具的的壽命，所以以服從正態(tài)分分布，即，是指刀具的壽命命大于更換刀刀具的周期，也也就是說，換換刀具時工序序還未出現(xiàn)故故障。第次檢查時零件件不合格，故故障出現(xiàn)在第第次與第次檢查查之間，即生生產(chǎn)第個零件件時刀具損壞壞，則一個周周期內(nèi)零件的的總費用為： 這里同樣樣服從上述正正態(tài)分布，表表示刀具的壽壽命在第次和和第次之間，即即：更換刀具具時工序已經(jīng)經(jīng)出現(xiàn)故障。綜上兩種情況，

15、我我們得到：一一個周期內(nèi)生生產(chǎn)的零件的的總費用為：我們建立問題一一的目標函數(shù)數(shù)為：5.3模型一的的求解及結果果分析根據(jù)上述目標函函數(shù)，用maatlab軟軟件編程以后后得到以結果果（結果見表表5.1）：表5.1檢查間間隔與平均費費用分布表檢查次數(shù)檢查間隔平均費用14025.7143324013.178223409.09014407.14975406.10566405.54787395.29558355.13249324.996110304.879111284.777512264.688413254.609014244.539915224.474116214.415217214.361018204

16、.308019194.260120184.219821184.175122174.137723174.099024174.066425164.029126164.001527153.966728153.935529153.911130143.8800由于該分布表涉涉及到的數(shù)據(jù)據(jù)比較多，我我們在觀察檢檢查間隔和平平均費用變化化的時候很困困難，為此，我我們制作出如如圖5.2的的折線圖，便便于觀察每個個零件的平均均費用的變化化趨勢。表5.2檢查間間隔與平均費費用的折線圖圖由以上的折線圖圖，我們可以以很直觀的看看出單個零件件的平均費用用隨著檢查次次數(shù)和檢查間間隔的細微變變化。當檢查查間隔在300左右時

17、，平平均費用的變變化很小，這這時我們基本本可以認為每每個零件的檢檢查費用已經(jīng)經(jīng)趨于穩(wěn)定，且且每個零件的的平均費用穩(wěn)穩(wěn)定在4元左左右，也就是是說每生產(chǎn)4420個零件件就要換刀一一次，依照附附錄一可知：我們的結果果是比較合理理的。6.問題二的解解答6.1評價指標標：單個零件的的平均費用我們依舊沿用模模型一，一個個周期內(nèi)的單單位零件的生生產(chǎn)費用，即即：一個周期期內(nèi)生產(chǎn)零件件的總費用除除以周期長，數(shù)數(shù)學表達式為為：該指標越小，說說明設計方案案越好。針對問題二我們們建立了模型型二。6.2模型二的的建立6.2.1確定定目標函數(shù)該模型是設計出出效益最好的的檢查間隔和和刀具更換策策略，使單個個零件的平均均費用

18、最小。由由于在定期換換刀時，故障障可能出現(xiàn)也也可能未出現(xiàn)現(xiàn)，所以我們們分為以下三三種情況進行行討論：工序正常的概率率為：；次檢查有次發(fā)發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)產(chǎn) 品品，其概率為： 此種條件件下的誤判費費為： 零件不合合格損失費為為： 檢查費為為： 換刀費為為： 總費用為為：故障發(fā)生在第個個零件的概率率為： 直至第次檢查查零件不合格格才換刀 此種條件件下的誤判費費為：為故障前的誤判判次數(shù)，為換換刀后的誤判判次數(shù)。零件不合格損失失費為：檢查費為：換刀費為：調(diào)節(jié)費為：總費用為：其中：3.工序出現(xiàn)故故障，故障發(fā)發(fā)生在第個零零件的概率為為，但一直未未查出故障。此種條件下的誤誤判費為：不合格損失費為為：檢查費為：換刀

19、費為：總費用為：其中綜上所述，我們們建立模型二二的目標函數(shù)數(shù)為：6.3模型二的的解答以及結結果分析由于模型二建立立的過于復雜雜，我們得到到的目標函數(shù)數(shù)太過冗長，以以至于在編程程時難度大大大增加。我們們初步估計得得到的結果較粗略，檢查間隔為為9，換刀周周期為3788，平均費用用為8.522元。7問題三的解解答7.1評價指標標：單個零件的的平均費用我們依舊沿用模模型一，一個個換刀周期內(nèi)的的單位零件的的生產(chǎn)費用，即即：一個換刀刀周期內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)零件的總費費用除以周期期長，數(shù)學表表達式為：該指標越小，說說明設計方案案越好。針對問題三我們們建立了模型型三。7.2模型三的的建立7.2.1目標標函數(shù)的確定定我們

20、按遞減等差差數(shù)列設計檢檢查間隔，每每生產(chǎn)個零件件檢查一次，檢檢查次之后進進行換刀，換換刀周期為，分為以下兩種情情況討論：故障發(fā)生在第個個零件的概率率為：（1）直到第jj次才檢查到到故障的概率率為：該種條件按下的的零件損失費費為： 誤判費： 檢查費：調(diào)整費： 總費用：平均費用：（2）直到必須須換刀還未發(fā)發(fā)現(xiàn)工序故障障的概率為： 該種條件下下的零件損失失費為：誤判費：檢查費：換刀費：總費用:平均費用：工序沒有出現(xiàn)故故障的概率為為：該種條件下的零零件損失費：誤判費：檢查費：換刀費：總費用：平均費用：綜上，目標函數(shù)數(shù)為：7.3問題的解解答及結果分分析對于問題三，實實際上就是對對問題二的優(yōu)優(yōu)化，我們將將

21、問題二中的的等距檢查改改進為不等間間隔檢查，以以減少檢查次次數(shù)從而使得得生產(chǎn)工序的的費用期望達達到更小。鑒鑒于故障時刀刀具完成的零零件數(shù)服從正正態(tài)分布，再再由正態(tài)分布布圖形的特征征，知道在開開始檢查的時時候，工序出出現(xiàn)故障的可可能性較小。最最后，我們初初步估計計算出工工序的檢查間間隔：第一次次檢查間隔為為156，第第二次和第三三次檢查間隔隔為104，第第四次檢查間間隔為52，第第五次為444而刀具的的更換周期不不變?yōu)?788。8.模型的評價價、改進及推推廣8.1模型的評評價優(yōu)點：(1)刀具是否否出故障具有有隨機性，我我們通過已給給的數(shù)據(jù)分析析知出故障時時刀具生產(chǎn)零零件數(shù)服從正正態(tài)分布，為為此我

22、們建立立了隨機分布布模型，求得得的結果與正正態(tài)分布的特特征吻合。(2)對于三個個問題，我們們確立了一個個評價指標，即即刀具生產(chǎn)單單位數(shù)量的平平均費用指標標，一方面我我們求得生產(chǎn)產(chǎn)費用少，另另一方面要求求刀具的壽命命長。 (3)根據(jù)我我們建立的模模型及評價指指標，可以很很好的確立檢檢查間隔和刀刀具更換周期期，以獲取更更高的經(jīng)濟效效益。缺點：對于問題題一，我們并并沒有過多的的考慮其他故故障所產(chǎn)生的的生產(chǎn)費用，導導致所得的結結果不是很精精確。對于問問題二，我們們設計的模型型過于復雜，雖雖然與實際問問題比較接近近，但是加大大了編程的難難度。8.2模型的改改進(1)對于問題題一，我們在在建立模型求求解時

23、，沒有有考慮其他故故障引起的損損失費用，為為此在模型改改進過程中，可可以將其考慮慮進去深入研研究；(2)對于問題題二，我們可可根據(jù)正態(tài)分分布的圖像特特征，可以設設計等差式檢檢查間隔，這這樣可以減少少檢查費用，使使得效益更高高；(3) 我們可可以確立一個個更加優(yōu)化的的評價指標，即即刀具生產(chǎn)單單位數(shù)量合格格品的平均費費用，這比單單一求生產(chǎn)費費用最小所得得的生產(chǎn)效益益更高，一方方面我們求得得生產(chǎn)費用少少，另一方面面要求刀具的的壽命長(即即生產(chǎn)的合格格品的數(shù)量多多)。8.3模型的推推廣我們建的模型不不僅可用于自自動化車床管管理問題，也也可用于其它它資源的安排排，比如定崗崗定編、進貨貨等類型。9.誤差分析由于刀具的壽命命服從正態(tài)分分布,即：，根根據(jù)我們對附附錄一中1000次刀具故故障記錄的統(tǒng)統(tǒng)計得出，?？梢钥吹皆撛摻y(tǒng)計數(shù)據(jù)的的波動范圍較較廣，根據(jù)的的分布函數(shù)求得的故障概率率誤差較大。參考文獻1概率論論與數(shù)理統(tǒng)計計袁蔭棠 編，中國人人民大學出版版社 19