函數(shù)中存在與恒成立問題

1、 解集為f|x10g3=匚j,(2)由/(x)K6得3十幾3一6,即3+6,令f=3eL9,原問題等價(jià)于對止1,9恒成立，亦即2J7/(.r)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】=1;(口。.【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)致判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=/(x)在工=0處的切線的斜率人=/=1,再求出函數(shù)函數(shù)y=g(x)在工=。處的切線的斜率幻=:,根據(jù)題意列出等式，解出a的值;第二問，先將X-八五一(X)轉(zhuǎn)化為7。一如，構(gòu)造函數(shù)/?(x)=x-G

2、,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而得到m的取值范圍.試題解析：(D因?yàn)?(#=,所以函數(shù))=/(x)在x=0處的切線的斜率人=e0=l,又因?yàn)間W=!，X所以函數(shù)丁=8。)在x=處的切線的斜率k,=L-a所以，由=1,得。=1；a(2)x？J7/(x)可化為？0,所以1因?yàn)閤0,所以1亦十i=(2y-+故力(X)0,所以h(x)在(0,xo)上是減函數(shù)，因此h(x)0，不等式/(X)(1卜2+61的恒成立,求整數(shù)a的最小值.【答案】Qy)；(2)2.【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)教求函數(shù)的極值和最值等基附知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題

3、的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,對求導(dǎo),利用/(x)=f-嗎-加2-1,將任意的x0,不等R乙/(兀)+q-1的恒成立,轉(zhuǎn)化為gG)MQ恒成立，對冢力求導(dǎo)，討論a的正負(fù)，判斷函數(shù)千(On*Q)的最小值是否小于等于0.試題解析：(I)解：(I)fx)=-2x+l=2V+V+1(x0),XX由廣(X”。,得2丁x10,又x0,所以xl.所以/W的/*)的單調(diào)減區(qū)間為(L“。).(II)令g(X)=/(A)-(-l)X2+6L-1=111X-ax2+-a)x+，所以/(x)=l-nx+(l-n)=-+l.XX當(dāng)。忘0時(shí),因?yàn)楣?,所以8(刈0.所以g(x)在(0,+s)上是遞增函數(shù)，13又因?yàn)間

4、(l)=lni4X+(1-4)+1=一一+20,2所以關(guān)于文的不等式l)/+ax-l不能恒成立.當(dāng)0時(shí)，-。爐+(1-3+1小一(X+1),g=TOC o 1-5 h zXX令g(x)=0,得x=La所以當(dāng)Xe(0-)時(shí),g(x)0;當(dāng)XEd,+8)時(shí),g(X)0,(2)=：-11120,又因?yàn)??伍)在。(0.+8)是減函數(shù)24所以當(dāng)a、2時(shí),(a)o,g(x)遞增；xe-，+oo,gx)O,g(x)遞減kI。7(x)(x)max=/-1=lii!-+1=-hin1時(shí),g(x)o；g(x)在(L+S)區(qū)間內(nèi)恒成立.IQ21【解析】（1）由/XX）=+-a-lnE得/（x=2h-=（x0）.X

5、X當(dāng)口0時(shí)J（力。時(shí)，由得X=鼻2=,V2a2a則/則/（X）在（Q甯）上為激函數(shù),在（嚕,z。）上為增函數(shù)一綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)0時(shí)，門力在3好上為混函數(shù)，在（嚕，欣）上為增函教.TOC o 1-5 h z1p1ppx（2）證明：要證g（x）O（xl）,即0,即證一二，也就是證一6.xexexPXPX(Y1)令h(x)=Mhx)=，:h(x)在(1,+cq)上單調(diào)遞增，則/?(x)1nm=h(l)=e,x廠即當(dāng)xl時(shí),(x)e,，當(dāng)xl時(shí),g(x)0；(3)由/(x)g(x),得or2。-Inx+ex0.xTt(x)=ax2-a-nx-+elx0,由題意知,f(x)0在Q,s)內(nèi)恒成立.XTOC

6、 o 1-5 h z111_r:/=0,有/x)=2ax-+-ex=2ax+-20在(1,+qo)內(nèi)恒成立.xr廠i_y1?x-2令(x)=2ax+,則x)=2a+-+=2ci+ex,r22Y+6令公尸，如人丁，函數(shù)在口,2）上單調(diào)遞增.小山一.又2。N1,一0.lvx0.綜上所述,x1，,X）0,在區(qū)間（1,8。）單調(diào)遞增，t。）八20,即t（x）在區(qū)間（1,+8）單調(diào)遞增,。1.217.巳知函數(shù)a）=a（x+1）+lnx（其中a,leR）.x(I)當(dāng)=-4時(shí)，若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍；(D)當(dāng)。=-1時(shí),是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)xee,時(shí),不等式x)0恒成立，如果存在,

7、求人的取值范圍，如果不存在，說明理由(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828).【解析】(I)由題x0J(x)=4(x3)41nx,Q(x)=儀1+?)1=一一4f+4,.XXTXX當(dāng)。0時(shí)，知f(x)0時(shí)，只有對于X0,不等式/-4X+4.20恒成立才能使/(X)為單調(diào)函數(shù)，只需A=(4了16后,0，解之得aWT物1,此時(shí)421.綜上所述的取值范圍是(9,0UU,M).(H)/a)=lnx7,其中X八，,/、/?Ib-v2+bx+bTOC o 1-5 h zx0/(x)=l+r=；.X廠廠(1)當(dāng)0時(shí),ra)o,于是在(。，+8)上為減函數(shù)，則在e上也為減函數(shù)，知/(x)nm=/(e)=

8、一2=(1-%-e0時(shí)，由ee小4列表得X(o十步+如)2b+4b2+4b2(+正+4/)2;(X)+0/(V)/極大值若笆亙we,即Y白，則/在e門上單調(diào)遞減,TOC o 1-5 h z知皿=/=-e-2=(i_3b-e,而(l-Jg-eWQ31一e=E0,eeeee+1e+1于是/(x)皿J,則/(M在,/，+)+)上為增函數(shù)，在(/)+加+4，”)上為減函數(shù)，22,/(e)0,要使在e,e-恒有/(刈0恒成立，則必有，:;、A.b.e-eb-e0,b=-r由于d一百一(2e2-l)=e由于d一百一(2e2-l)=es-3e2+l0,/?!一.e-2e2-l一=/=丁所以-1e3-e-2e

9、-1e-118.巳知函數(shù)/(x)=(x-l)e-gar2(aeR)(I)當(dāng)。時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)x(0,+co)時(shí),y=fx)的圖象恒在y=33+V-(。一l)x的圖象上方，求。的取值范圍.【解析】(I)fx)=xex-ax=x(ex-a)當(dāng)4Ko時(shí),e-。0 x(yo,0)時(shí)J(x)0J(x)單調(diào)遞增當(dāng)0v4K1時(shí)，令fx)=0得x=0或r=Ina.(i)當(dāng)01時(shí),山。0J(x)單調(diào)遞增，x(lna,0)時(shí),/(x)0J(x)單調(diào)遞增；(ii)當(dāng)。=1時(shí),Ina=0,廣(x)=xe-at=x(e-1)A0恒成立，/*)在(口,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；綜上，當(dāng)。0時(shí)J(x)的單

10、調(diào)增區(qū)間是(0,一),單調(diào)減區(qū)間是(8,0)；當(dāng)04ax5+x2-(a-l)x對xw(0,+oo)恒成立即e-ar2-x-l0對(0,十8)恒成立記g(x)=ex-ax1-x-l(x0)/.g(x)=ex-2ca-l=h(x)：.hx)=ex-2a當(dāng)。K；時(shí),/?(x)=-20恒成立,g(x)在(0,-hx)上單調(diào)遞增，/.g(x)g(O)=O,.g(#在(。,內(nèi))上單調(diào)遞增.g(x)g(0)=0,符合題意；(ii)當(dāng)a時(shí)，令=0得x=ln(2a)2/.Xw(0,ln(2。)時(shí),/71(A)0,g(x)在(0,ln(2。)上單調(diào)遞減xg(0,ln(2),gx)g(0)=0/.g(x)在(0,ln(2a)上單調(diào)遞減,二.xg(0,ln(2)Bt,g(x)0【解析】試題分析：由題意函數(shù)/(X)無最小值,/=學(xué)二孚=,令=/則(x+0)(x+a)x+ax+a,工67q)=_2混+匕。=0時(shí)屈數(shù)為=心符合題意,口工0時(shí),36即口心綜上有。的取值范圍是“AO.1f1V一7.若關(guān)于x的不等式x?+x-K)對任意nN在x(-8閃上恒成立屬實(shí)常數(shù)人212,的取值范圍是.【答案】【解析】1f1Y(i試題分析：不等式可化為x*12+-X；，由nWN:得；;2解得X2；或XW1,又XW(8,入，故實(shí)常數(shù)人的取值范圍是(-8,-1.【名師點(diǎn)睛】不等