空間解析幾何與向量代數(shù)

1、第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算知識點(diǎn)、重點(diǎn)及難點(diǎn)知識點(diǎn)：向量的概念向量：既有大小，又有方向的量(又稱矢量).P向量的表示：以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段AB，或。.數(shù)學(xué)上只研究與起點(diǎn)無 關(guān)的自由向量.向量的模：向量的大小.向量a AB的模記作餌AB .B單位向量：模等于1的向量叫做單位向量.記作e .w零向量：模等于0的向量叫做零向量.記作0零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向可以看作是任意的.負(fù)向量：與向量a的模相同而方向相反的向量，即一a. p ww w向量相等：a與b大小相等，方向相同，記作a = b -pwp p p wp w向量平行：a與b方向相同或相反，記作a /

2、b .a與b平行，又稱a與b共線.向量的線性運(yùn)算向量的加法：平行四邊形法則，三角形法則w w w w 運(yùn)算規(guī)律：交換律a + b=b+aw w w w w w 結(jié)合彳聿(a + b) + c = a + (b + c)w w p w 向量的減法：a - b = a + (b)向量與數(shù)的乘法：實(shí)數(shù)人與向量?的乘積是一個(gè)向量，記作入片.其大小為0句=四|pl:當(dāng) 0時(shí)， a與月反向；當(dāng)=0方向當(dāng)備0時(shí)，&:當(dāng) 0時(shí)， a與月反向；當(dāng)=0P、八 w / C、w運(yùn)算規(guī)律：結(jié)合律 入(Ma) = Ma) = (Oap w. .w。zp w w. .p 分配律(人 + M)a = a + Ma; 人(a

3、+ b) = a + Mb .pea表示與a同方向的單位向量.P c p pp p若a。0則a/b o存在唯一的實(shí)數(shù)，使b=a（3）空間直角坐標(biāo)系：在空間取定一點(diǎn)。（原點(diǎn)）和過原點(diǎn)三個(gè)兩兩垂直的數(shù)軸，構(gòu)成一 個(gè)空間直角坐標(biāo)系.三個(gè)坐標(biāo)軸的正向符合右手法則，即以右手握住兀z軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向X軸以一角度轉(zhuǎn)向J軸時(shí)，大拇指 2的指向就是z軸的正向.三個(gè)坐標(biāo)面xOy面、yOz面、zOx面將空 間分成八個(gè)卦限，含有x軸、軸、z軸。正半軸的卦限叫第一卦限, 其他第二、第三、第四卦限在xOy面上方，按逆時(shí)針方向確定，第五至第八卦限在xOy面下方，第一卦限之下是第五卦限，按逆時(shí)針 方向確定其他卦限。

4、這八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、IV、V、 VI、VII、VIII 表示。設(shè)點(diǎn)M在空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（X, y, z）則向量P p p P . .,一，r = OM = xi + yj + zk 或表示為（X, y,z），MX, y,z）既是向量OM的坐標(biāo)，也是M的坐標(biāo)。向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)M (x y z ),M (x ,y ,z )則向量M M1111222212pP向量a = (a ,a ,a ),b = (b ,b ,b )則X y zX y zp pa + b = (a + b , a + b , a + b )X x y y z zP Pa - b = (a - b , a

5、 - b , a - b )pPpPppbbb若 a。0 則 a / b o 唯一3e R, b =a o = -y = a a a(5)向量的模、方向角、投影i)向量的模 Pip 若向量 r = (x, y, z )則 |r| = yx 2 + y2 + z2若 A(x , y ,z ),B(x , y , z )則 AB = ：(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 111222212121ii)方向角與方向余弦 p pp p作OA = a, OB = b ,稱 = /AOB,(0 V中V兀)為向量a與b的夾角，記作pppp方向角：尹=(%X) 0，r與三個(gè)坐標(biāo)

6、軸的夾角以,P,Y稱為向量r的方向角。cos axcos ax= -p =rx；x 2 + y 2 + z 2cos p =豐= rzcos y = -p =r.：x 2 + y 2 + z 2(cos以,cosP ,cos y) = (p,豐,條)=辛=p r r r r rCOS2 a + COS2 P + COS2 y = 1p ,p)向量的投影p ,pp_ I p p 、 p向量a在u軸上的投影：P. =|a|cos(a,u)或記作(r)p,R,R aa = aaa在x,y,z軸上的投影：P =|acosa =同=a x y zrjxa x,Q,p aP. = |a| cos p =|

7、a-p- = app aP z = |a cosy = |a| -p- = app p p(a + b) = (a) + (b)(人 )=人(a)uu重點(diǎn)：向量的概念，向量的線性運(yùn)算，向量的模，方向角，投影。難點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量的方向角，投影。主要題型與向量的概念，線性運(yùn)算有關(guān)的習(xí)題。綜合題型。典型例題解析例1設(shè)已知兩點(diǎn)、(4,巨,1)和M2(3,0,2)，計(jì)算向量MM2的模，方向余弦和方向角。解 M1M 2 = J(3 - 4)2 + (0 - 扼)2 + (2 -1)2 = 2M 1 M 2 = (3 - 4,0 -巨,2 -1) = (T,-)方向弦為cos 方向弦為co

8、s a=-,cos P =2*21,cosY =223 兀方向角分別為以=兀，P = 4兀，Y = yPP例2設(shè)向量,的模是4,它與軸的夾角是60。，求r在u軸上的投影。解已知 |月=4， P. = | - cos。= 4 - cos 60。= 4 x 2 = 2四同步自測練習(xí)題向量與x軸和y軸夾角相等，而與z軸組成的角是它們的二倍，那么這個(gè)向量的方向角 以，P，Y各為多少？參考答案與提示1以=三 P=Ey= 或a = 3兀P = 兀y = 3兀8，8，4一 8，8，4第二節(jié)數(shù)量積向量積混合積知識點(diǎn)、重點(diǎn)、及難點(diǎn)知識點(diǎn)：ppipP八八 pP _i 定義：i b = Id，b cos, = (a

9、,b)，運(yùn)算結(jié)果是一數(shù)。p p p pii性質(zhì)：交換律：a b = b ap, P、p_ p p, F p結(jié)合律：(a + b) * c = a * c + b * c數(shù)乘律：(、片)* b =(a * b),入為實(shí)數(shù)。=p 2pPiii 坐標(biāo)表示：a = (a ,a ,a ), b = (b ,b ,b )x y zx y zp pa - b = a b + a b + a bxx yy zzcos。= cos(, b)=a b + a bcos。= cos(, b)=x xy yz z a 2 + a 2 + a 2 ，b 2 + b 2 + b 2 x y z Y x y zp p p

10、pp p p pa b o a b = 0 o a b + a b + a b = 0 xx yy zz(2)向量積：(2)向量積：i定義：。x b = c ,|c| = |a|b|sinU, = (a, b) ；c的方向垂直于a與b決定的平面，cP P的指向按右手規(guī)則，從a轉(zhuǎn)向b來確定。PP PPii性質(zhì)：負(fù)交換律b x a = a x bP P P P P P P分配律 (a + b) x c = a x c + b x c數(shù)乘律 (a) x b = a x (、b) = (a x b),入為實(shí)數(shù)。Sx a=0? b o P b= 0P P P PP Paxb等于a與b為鄰邊的平行四邊形的

11、面積，或者說以a與bP Pa / b(3)混合積|pi定義：aPii性質(zhì)：a=(a,a , a)，xyzPPpijkP Pa / b(3)混合積|pi定義：aPii性質(zhì)：a=(a,a , a)，xyzPPpijk=aaaxyzbbbxyz)P 0Paa xbiii坐標(biāo)表示：aP bP bPPx b) c結(jié)果為一個(gè)數(shù)。四0 x b) c等于以P=(a b 一 a b )i + (a byaa=- = -b by zPP一 a b ) j + (a b 一 a b )kxzxy yxP P P一a b ,c為棱的平行六面體的體積。PPx b) c = 0aP=重點(diǎn)：向量的數(shù)量積、向量積、混合積的定

12、義與應(yīng)用。難點(diǎn)：數(shù)量積、向量積、混合積的應(yīng)用。主要題型與向量代數(shù)運(yùn)算(數(shù)量積、向量積、混合積)有關(guān)習(xí)題。綜合題型。典型例題解析解題注意事項(xiàng)：區(qū)分哪些是數(shù)量，哪些是向量；區(qū)分各個(gè)運(yùn)算的規(guī)律、特征；區(qū)分向量 平行、垂直、共面的充要條件。ppp pp p例 1. (1)設(shè)a = (3,6,1), b = (2,4, k)，若 a 上 b，則k =()，若 a / b，則 k 二()。pppppppp(2,一3,1), b = (1,2,3), c = (1,2,7), d 上 a , d 上 b , c -d =1,pp plp pp plp pa x b = 6，則 a , b =()(3)份=3

13、，b = 4，p p p p | p w貝u a + bx b + cc + a=(p p p p解：(1) a 1 b o a b = n 3 x 2 + 6 x 4 + k = 3 + k = n k = 3。p？ox /p=pn 3 = 6 = 1 k = 2 a / b o a x b = n = = n k =4 k 3 p設(shè)d = 3, y乙則由條件可得2 尤 一 3 y + z = 尤=7 p尤-2 y + 3z = ny = 5 n d = (7,5,1)、x + 2 y _ 7 z = 、z = 1P p ?？ p p 或者：由 d 1 a，d 1 b 知d / a x bp

14、pp、i j kp p而 a x b = 2 31 = (7,5,1) 2 3pd =人(7,5,1)pp又由 c d = 1知從7,5,1) (1,2,-7) = 1人=1 n 人=1pd = (7,5,1)片Xb 片Xb = aib|sin。npba x b63X4J3p p 1 ppn cos0 = - n a - b = |a|b cos6 = 673rp p p p 1 p p rp p p p p p ip p(4) (a + b) x (b + c)(c + a) = a X b) + (a X c) + (b X c)也 + a)ppp ppp ppp=(a x b) - c

15、+ (b x c) - a = 2(a x b) - c = 4。iQ ip 兀 p pp 1 p p例2.已知同=1, b = 2，0= - , 0為a與b的夾角，求a - -(a - b)解：p 1,p ?、_ 1 9p.?- 1，+?、？、- 1 Mp2F+4p ? a -(a -b) = 2a + b = -(2a + b)(2a + b)=-節(jié)4|a 2 + p2 + 4a b解：1 /12 =4 + 4 + 4 -1 - 2 -=23pPpppPpp p p例 3. (a + 3b) 1 (7a-5b),(a 4b)上(7a -2b)，求a 與b 的夾角0。解：(p+ 3$-(7么

16、5$ = 0 n7a2 +16pb-15|b|2 = 0解：0 =1n6 =123 /-4b)-(7a)-2b) = 07|p2 -30p0 =1n6 =123 向=bI，p b = p pp求|a| ; (3) a的方向余弦；p pp求|a| ; (3) a的方向余弦；(4)與a平行的單位向量。四同步自測練習(xí)題1.已知 |p = V2,|b| = 2, b = 2ppp.求同時(shí)垂直a = (2,-1，1)和b = (1,2,-1)的單位向量c0。qiR兀 p pp p 擇 p一.已知同=1, bl = 1,0 = 6 , 0為a與b的夾角，求以a + 2b和3a + b為邊的平行四邊形的面積

17、。ppppppp p p p p p p4.已知a、b、c均為單位向量，且滿足關(guān)系式a + b + c = 0,求a b + b c + c /。P5 .已知A(1,2,0),B(2,-1,3)求(1)向量a = AB在%軸，y軸，z軸上的投影；參考答案與提示1.22. % = 土-1,3,5)325. (1)1,一3,3 59 點(diǎn)蛆品(4) *3,3)第三節(jié)曲面及其方程.知識點(diǎn)、重點(diǎn)、及難點(diǎn)知識點(diǎn)：(1)曲面的方程：一般式F(x, y,z) = 0顯式 z = f (x, y), y = g (x, y), x = h(y, z)球面標(biāo)準(zhǔn)式 (x x )2 + (y - y )2 + (z

18、- z )2 = R2 000一般式 x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0旋轉(zhuǎn)曲面：以一條平面曲線(曲線)繞其平面上的一條直線(旋轉(zhuǎn)軸)旋轉(zhuǎn)一周所 成的曲面。i：母線為f(x, !： 0，繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為f (x,J y 2 +z 2 ) = 0L z = 0繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為f (土y 2 + z2,y) = 0ii：母線為V z)n ,繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為g(x，土Jy2 +z2) = 0L y = 0繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為g (土、注2 + y 2 ,z) = 0iii：母線為/(： =)0 0，繞y軸旋

19、轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為h(y，土；x2 +z2) = 0繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為f (土Ux2 + y2 ,z) = 0F (x, y, z) = 0iv：母線為曲線1，繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面：x2 + y2 = x2(z)+ y2(z)G(x, y, z) = 0 x = x( z)其中x(z),y(z)為空間曲線參數(shù)式方程 y = y(z)、z = z.柱面：平行于定直線并沿曲線C (準(zhǔn)線)移動(dòng)的直線L (母線)所成的軌跡。. F (x, y) = 0，表示以F (x, y) = 0為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面。G (x, z) = 0,表示以G (x, z) = 0為準(zhǔn)線，母線平行于

20、y軸的柱面。H (y, z) = 0,表示以H (y, z) = 0為準(zhǔn)線，母線平行于x軸的柱面。x 2 , y 2卜特殊柱面：橢圓柱面一 +廠=1;圓柱面x2 + y2 = R2a 2 b 2雙曲柱面5 一 土=1；拋物柱面y=ax 2IF (x, y, z) = 0宙.準(zhǔn)線為曲線C Ig(x,y,z) = 0，母線z軸的柱面方程求法：將上曲線方程組中消去變量z,即得所求柱面方程.IF (x, y, z) = 0/、iv.準(zhǔn)線為曲線C ，母線L的方向向量為(m,n,p)的柱面方程的求法：G (x, y, z) = 0,、x - x _y - y _z 一 z準(zhǔn)線上取一點(diǎn)(x0y0z 0，則過

21、該點(diǎn)的母線方程：寸=FF (x0, y 0, z 0) = 0消去方程組1G(x0,y0,z0) = 0的x0,y0,z0即得所求柱面方程.x - 2 , y 2 、z 2 x 2 + y 2 , z 2橢球面：云+ 7 + a = 2 , y 2 、z 2 x 2 + y 2 , z 2橢球面：云+ 7 + a =1 ；旋轉(zhuǎn)橢球面：一云一+ Ci =1、m n p注：柱面上任意一點(diǎn)處切平面的法向量與母線的方向向量垂直。二次曲面x 2 , y 2橢圓錐面：一 + = z2 ；圓錐面：x2 + y2 = az2或z = a、；x2 + y2 a 2b 2X 2, y 2z 2x 2+ y 2 z

22、 2單葉雙曲面：云+ b2-a = 1 ；旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：a2-a = 1X 2y 2z 2_X 2 y 2+ z 2_雙葉雙曲面：云一 7 一 *=1 ；旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面：云.2=1橢圓拋物面：土+土=z;旋轉(zhuǎn)拋物面：x 2+y 2=a 2 zX2 y2雙曲拋物面（馬鞍面）：3 - b=z重點(diǎn)：曲線方程，旋轉(zhuǎn)曲面，柱面方程，能用截痕法畫出常見曲面及投影區(qū)域。難點(diǎn)：根據(jù)條件確定所求的曲面方程及投影區(qū)域，曲面方程各式間的轉(zhuǎn)換。主要題型求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。求柱面方程。綜合題型。典型例題解析題型一求旋轉(zhuǎn)曲面的方程解題注意事項(xiàng)：不要帶錯(cuò)旋轉(zhuǎn)曲面的計(jì)算公式z = 3x例1.求曲線1 _八繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的

23、拋物面方程。L y = 0解 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的拋物面方程為y2 + z2 = 3XX 2 + y 2 + z 2 = 1例2.求曲線1繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程L z = y2解 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程X2 + y2 = 1 z2 z + z = 1 - z2題型二. 求柱面方程解題注意事項(xiàng)：不要帶錯(cuò)柱面的計(jì)算公式。2 X 2 + y 2 + z 2 = 16例2.求母線平行于x軸，準(zhǔn)線為1工 八的柱面方程。L X 2 y 2 + z 2 = 0解：將上曲線方程中消去變量X,得所求柱面方程為3y2 z2 = 16同步自測練習(xí)題。14 x 2 + 9 y 2 = 36求曲線1

24、 八繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)橢球面方程。I z = 0求直線X = 2 = 1繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程。3.求母線平行于z軸，準(zhǔn)線為3.求母線平行于z軸，準(zhǔn)線為5x2 + 20y 2 -16z2 = 80 x 一 2 z + 3 = 0的柱面方程。參考答案與提示1. 4x 2 + 9(y 2 + z 2) = 362 . x 2 + y 2 = 13 z 23. x2 + 20y2 - 24x -116 = 0第四節(jié)空間曲線及其方程知識點(diǎn)、重點(diǎn)、及難點(diǎn)知識點(diǎn)：、 F (x, y, z) = 0任)空間曲線的一般方程1廠/G (x, y, z) = 0 x = x(t)空間曲線的參數(shù)方程1

25、y = y(t)、z = z (t)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：F (x, y, z) = 01在xoy面上的投影柱面為：消去z, H(x, y)=。，投影曲線方程為G (x, y, z) = 0H (x, y) = 0z = 0F (x, y, z) = 01在yoz面上的投影柱面為：消去x, R(y,z)=。，投影曲線方程為G (x, y, z) = 0|R( y, z) = 0 x = 0F (x, y, z) = 01在xoz面上的投影柱面為：消去y, T(x,z)=。，投影曲線方程為G (x, y, z) = 0T 3, z) = 0J = 0重點(diǎn)：曲線方程，能用截痕法畫出常見曲線，曲

26、線在坐標(biāo)面上的投影。難點(diǎn)：根據(jù)條件確定所求的曲線方程，投影曲線方程，曲線方程各式間的轉(zhuǎn)換。主要題型求曲線的方程。求投影方程。綜合題型。典型例題解析題型一求投影方程解題注意事項(xiàng)：不要帶錯(cuò)投影的計(jì)算公式，區(qū)分投影曲線的投影區(qū)域曲線一般式與參數(shù)式之間相互轉(zhuǎn)換。例1求球面z =七4 - x2 - J2與錐面z = .JX2 + J2的交線在xoy坐標(biāo)面的投影及此交 線的參數(shù)方程和這兩個(gè)曲面圍城的區(qū)域在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域。解：將兩個(gè)方程聯(lián)立消去變量z,可得交線在xoy坐標(biāo)面的投影柱面，在與xoy面聯(lián)I X 2 + J 2 = 2立得投影方程：1八I z = 0-只x =寸2 cos t投影曲線參數(shù)方

27、程為1 J = 2 sint兩個(gè)曲面圍成的區(qū)域在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域?yàn)榻痪€在xoy坐標(biāo)面的投影方程圍 成的區(qū)域：x2 + J2 2X 2 + J 2 + z 2 = 4例2.將曲線|(x-1)2 + j2 =1的一般式轉(zhuǎn)化為參數(shù)式并寫出曲線在xoy坐標(biāo)面的投影曲 線方程。(X - 1)2 + J 2 = 1解：曲線在xoy坐標(biāo)面的投影曲線方程：(消去z)得1 _八I z = 0X = X = 1+ cos tX = 1+ cos t曲線參數(shù)方程為曲線參數(shù)方程為1.z 2j = sin tn 1 j = sin t=4 - x2 - j2 = 4 - 2(1+ cos t)z = 2sin -

28、I 2同步自測聯(lián)系題。求曲面乙=6-3+ y 2)與錐面z = .2+ y 2交線在xoy坐標(biāo)面的投影，交線的參數(shù) 方程和這兩個(gè)曲面圍城的區(qū)域在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域。I X 2 + y 2 + z 2 = 4 將曲線的一般式方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程并寫出曲線在xoy坐標(biāo)面的I z = 1投影曲線方程。參考答案與提示I x 2 + I x 2 + y 2 = 41.投影方程1 八I Z = 0；參數(shù)方程I y = 2sint ;投影區(qū)域：x2 + y 2 4z = 2x = J3cos t(,_ k . .1 x2 + y2 = 32.參數(shù)方程1 y =展磯 ；投影方程1 八z = 1 z = 0第

29、五節(jié)平面及其方程一、知識點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)1、知識點(diǎn)：平面的點(diǎn)的法式方程(向量點(diǎn)積德應(yīng)用)r平面n的法向量n:垂直于平面n的非零向量n。r給定平面上一個(gè)定點(diǎn)M(x 0，y0，z0 )平面的法向量n=(A,B,C)則平面方程為A(X- X0 )+B(Y-匕)+C(Z- Z )=0平面的一般式方程平面法向量n=(A,B,C)則平面一般方程為Ax+By+Cz=0若D=0 平面Ax+By+Cz=0過原點(diǎn)若A=0 平面Ax+By+Cz=0平行于x軸若A=D=0則平面By+Cz=0過x軸若B=0 平面Ax+By+Cz=0平行于y軸若B=D=0則平面By+Cz=0過y軸若C=0 平面Ax+By+Cz=0平行于z軸

30、若C=D=0則平面Ax+By=0過z軸若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0則平面Cz=0為xoy面若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0則平面Cz=0為xoy面若A=C=0平面By+D=0平行于xoz平面 若A=C=D=0則平面By=0為xoz面即平面方程Ax+By+Cz=0中缺少某個(gè)坐標(biāo)，則平面就平行于該坐標(biāo)軸，平面方程缺少某兩 個(gè)坐標(biāo)，則平面就平行于這兩個(gè)坐標(biāo)確定的平面，平面方程中缺少常數(shù)項(xiàng)，則該平面過坐標(biāo) 原點(diǎn)。平面得截距式方程平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別是a,b,c則平面方程為x + y+z=1 a b c平面的三點(diǎn)式方程(向量混合積的

31、應(yīng)用)平面上三點(diǎn)為MxyzMyzMxyz則平面方程為11112222333x 一 x 一 x1x 一 xX - xy 一 y1y2 y1y3 y1z 一 z1z2 - z1z3 _ 1（5）平面得位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)平面方程為Ax + B y + C z + D = 0法線向量n = (ABC )11121111(A2 B2C2)則兩平面的夾角。：兩平面法線向量的夾角（通常指銳角）cos 0 = cos (n , n )| = 勺刀2.1 2cos 0 = cos (n , n )| = 勺刀2.1 2州加2+ B2 + C2 ：A2 + B2 + C211*222兩平面平行A = 5 = C AB

32、CC二CC二C-不成立2AB兩平面相交了 -2A _B _C _D 兩平面重合可-b -,-可（6）點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)M（XZ0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距離公式為|Ax0 + By0 + Cz0 + D=A2 + B 2 + C 22重點(diǎn)平面與方程的我確定3難點(diǎn)：如何確定平面的方程使求解平面方程更簡單二主要題型1求平面方程2確定平面之間的位置關(guān)系3求點(diǎn)到平面間的距離4綜合題型三典型例題分析題型一求平面方曾（關(guān)鍵找一定點(diǎn)姬法線向量）解題思路（1）利用條件找到所求平面的法向量及其定點(diǎn)，使用點(diǎn)法式（2）設(shè)出平面的一班式，利用已知條件確定一般式中的待定常數(shù)（3）根據(jù)條件設(shè)出平面的特殊式，確

33、定其中的待定常數(shù)（4）若條件中出現(xiàn)平面通過已知的一直線，則可考慮使用平面式方程例一過已知兩點(diǎn) 與x軸平行（1，2,-1) (-5, 2, 7)的一個(gè)平面，使（1）與平面2x+y-z=0垂直解法1例一過已知兩點(diǎn) 與x軸平行（1，2,-1) (-5, 2, 7)的一個(gè)平面，使（1）與平面2x+y-z=0垂直解法1令M 1（1，21,-1)-1) M2 (-5， r取n =(-6, 0,r2, 7），則待求平面的法向量n垂直于M 1 M2同時(shí)也垂直于（2用點(diǎn)法式可得平面方程為4（x-1）-5（y-2）+3（z+1）=0即 4x-5y+3z+9=0解法2設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0A +

34、2 B C + D = 08) x (2，1，-1)=-2(4，-5，3)由題意知系數(shù)滿足j-5 A + 2 B + 7C + D = 02 A + B C = 03 A = 4C 3B = -5CD = 3C從而得平面方程為4x-5y+3z-9=0（2）從而得平面方程為4x-5y+3z-9=0（2）法1由題意知平面的法向量n同時(shí)垂直于（1, 0, 0）=-8（0, 1, 0）有點(diǎn)法式得平面方程為y-2=0法2設(shè)所求平面方程為By+Cz+D=0則|2B - C + D = 0 n |C = 012 B + 7C + D = 012 B = - D(-6r0，8），（1，0，0）取n =（-6,

35、 0，8）x由題意知（+227、_ 由題意知（+227、_ ,14 日 從而萬市為(x+y-+5z-1=0)3再土 (2x+3y-z+2)=0從而得平面方程為y-2=0例2求過兩平面x+y+5z=1與2x+3y-z+2=0得交線及點(diǎn)（3，2，1）的平面方程和和這兩個(gè) 平面平分面方程 解（1）設(shè)過兩平面交線的平面為人（x+y+5z-1）+日（2x+3y-z+2）=0將（3，2，1）帶入得9 =13 從而得平面方程為5x+14y-74z+31=0設(shè)過兩平面交線的平面為人（x+y+5z-1）+日（2x+3y-z+2）=0* +3 *,5 - *）與（1, 1, 5）（2, 3, -1）的夾角相等（或

36、者所求平面上任意一點(diǎn)到已知兩平面的距離相等）從而得平面方程題型2確定平面之間的位置關(guān)系解題注意事項(xiàng)：要記清平面之間位置關(guān)系的特點(diǎn) 例3當(dāng)a取何值時(shí)兩平面x+ay+3z=1與2x-4y+6z=5平行垂直相交 相交但不垂直并確定此時(shí)兩平面的夾角解平行-=土 = - na=2一4 6垂直相交 1.2+ （-4） a+3.6=0 na=5相交但不垂直a。-2且a。5cos 6 二-0 - 2|.10 + a 2 14題型3求點(diǎn)到平面的距離解題注意事項(xiàng)：要記清點(diǎn)到平面的距離公式 例4求點(diǎn)（1，2，-1）到平面x-3y-z=15的距離1971 - 3 x 2 Tx (-1) -15|197-2 + -2

37、+ 12四同步自測練習(xí)題1求平行于平面4x-y-+z+5=0且與三個(gè)坐標(biāo)面構(gòu)成的四面體的體積為9的平面2在過平面2x+y-3z+2=0與5x+5y-4z+3=0得交線的平面集中，求兩個(gè)相互垂直的平面， 其中一個(gè)平面過點(diǎn)（4，-3，1）3 求兩個(gè)平面 19x-4y+8z+21=0 與 19x-4y+8z+42=0 的距離參考答案與提示4x-y+z+6=0 或 4x-y+z-6=02過點(diǎn)（4，-3, 1）的平面3x+4y-z+1=0與它垂直的平面x-2y-5z+3=03.1第六節(jié)空間直線及其方程一知識點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)知識點(diǎn)：（1） 空間直線的點(diǎn)向式（對稱式標(biāo)準(zhǔn)式）方程（向量平行的應(yīng)用）rr r直線L的

38、方向向量S與直線L平行的非零向量S，S的方向余弦稱為直線L的方向余弦設(shè)直線L上定點(diǎn)為M（）直線L的方向向量S =（m,n,p）則直線方成為（2）空間直線的參數(shù)與方程S直線上定點(diǎn)M（七y0 z0）直線L的方向向量=（m,n,p）則直線的參數(shù)方成尤=尤+ mty:y：: rL z = z + pt 0（3）空間直線的一般方程直線 L 可以看做平面n 1 Ax + B y + C z + D = 0 與n2A x + B y + C z + D = 11122222的交線即直線L的方程為n = ABCi i, i, in2 =（A2 b2 c2）為n 1與的交線即直線L的方程為n = ABCi i,

39、 i, in2 =（A2 b2 c2）為n 1與n2的法線向量則直線l與ni, 2都垂直S為L的方向向量，則S=i x 2（4）空間直線的兩點(diǎn)式方程直線上的兩個(gè)點(diǎn)MyzMyz2則直線的兩點(diǎn)式方程為x xi = y yi = z Zix 一 xy 一 x z 一 z2 i 2 i 2 i(5)兩直線昂之間的位置關(guān)系r直線L1其上定點(diǎn)Mx y z方向向量s = m n p方程iii iii 11i i, i, iii, i, ix _ xi = y _ yi = z _ zim inipir直線L2其上定點(diǎn)M (xyz方向向量s = mn p222222 2 2x 一 x方程hm2則兩直線L1與L

40、2的夾角0 :兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）cos 0 =T- s i- .-rs2JL2r rs .smm + n n + ppi 2 i 2i2+ n2 + p2兩直線L1與L2平行：L1 m 2 + n 2 + p 2222m in=：pm2n2p2r sirr 兩直線L1與L2重合：M M2II * s2兩直線L1與L2垂直：L1 1L212兩直線L1與L2共面：M M .(s x s ) = 0即i 2 i 2rr兩直線L1與L2異面：M M .(s x s )。0即i 2 i 2minipim2n2p2_minipim2n2p2_ xy2yiz2-ziminipim2n2p2

41、A (xLi（6）直線與平面之間的位置關(guān)系直線L：* = 工 = （6）直線與平面之間的位置關(guān)系直線L：* = 工 = Jo，L上的定點(diǎn)M (xyz )方向向量S =(m,n,p)平面H m n po, o, orAx+By+Cz+D=0法向量n =（A,B,C）直線L與平面H的夾角9 :直線L和它在平面H上的 投影直線的夾角（通常指銳角）cos 9 =,r r S .n|Am + B n + Cp|A 2 + B 2 + C 2 %： m2 + n 2 + p 2直線L與平面H平行（不在平面上）:Am + Bn+Cp=0 Ax0 + B* + Cz + D。0直線L在平面H上：Am + Bn

42、+Cp=0Ax。+ By0 + Cz 0 + D = 0直線L與平面H垂直 直線L與平面H相交：Am + Bn+Cp豐0（7）過空間直線的平面集方程過直線 L : A x + B y + C z + D = 0的平面集方程為人(Ax + B y + C z + D) 1 I 1 1 I1 / /+ p, （ A x + B y + C z + D ） =0其中， 不全為零（8）點(diǎn)到空間直線的距離公式（x y z）到直線L: x-xi =一 =至一、的距離公式0, 0, 0m n pr件（氣七七）為直線L上的點(diǎn)s =（m,n,p）為L的方向向量 TOC o 1-5 h z rrxykrMM xS

43、Sx - xy- yz-rMM xSS1 m01n01p02重點(diǎn)：直線方程的確定及直線與平面的關(guān)系3難點(diǎn)：利用直線與平面關(guān)系確定所求解的問題二，主要題型1求直線方程2直線各方程之間的轉(zhuǎn)化3確定直線之間的位置關(guān)系4確定直線與平面之間的位置關(guān)系5求交點(diǎn)，投影問題6求點(diǎn)到直線之間的距離7綜合題型三，典型例題解析題型1求直線方程(關(guān)鍵找一定點(diǎn)及方向向量)解題思路：1，若求過一定點(diǎn)且與一直線平行的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知 直線的方向向量若求過一定點(diǎn)且與一平面垂直的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知 平面的法線向量若求過定點(diǎn)且與兩直線垂直的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知兩 直線的

44、方向向量的向量積若求過定點(diǎn)且與已知直線垂直，與一平面平行的直線方程，所求直線的方向向量就取為已知直線的方向向量與已知平面的法線向量的向量積也可設(shè)出所求直線的方向向量s =(m,n,p)利用所求直線與已知直線平面關(guān)系 來確定方向向量中的參數(shù)x y z ,例1求過點(diǎn)(-1，2, 3)平行于平面2x+3y+4z+7=0且垂直于直線3 = 4 = 5的直線方程 r解法 1取 s =(2,3,4) x (3,4,5)=(-1,2,1) TOC o 1-5 h z x +1 y 2 所求直線為一廠=土一1121rrr法 2 取 S =(m,n,p)則 S (2,3,4) s (3,4,5)2m + 3n

45、+ 4p = 0 I 2m = n 3m + 4n + 5 p = 0m = px +1 = y 2T 2x 1 y z + 2 例2求過點(diǎn)(2, -1，3平行于平面3叫+5=0且與直線亍=1 = 丁相交的直線方程上(3,-2,1 )即 3m-2n+p=0r上(3,-2,1 )即 3m-2n+p=0解法 1 設(shè)s =(m,n,p)所求直線與已知直線相交即共面，因此=0 n -4m-9n-p=0 nm=-11n,p=35nx 2 _ y +1 _ z 3所求直線為亓 r故所求直線為35故所求直線為法 2 設(shè)s =(m,n,p)貝|s 上(3,-2,1 )即 3m-2n + p=0 x = mt

46、+ 2所求直線與已知直線相交，故滿足所求直線的參數(shù)方程J = nt -1滿足已知直線方程 z = pt + 所求直線與已知直線相交，故滿足所求直線的參數(shù)方程mt+ 2 一 1 nt 一 1 pt+ 3 + 2 .即一-=(t 力 0)=-1111m=9tmt+ 2 一 1 nt 一 1 pt+ 3 + 2 .即一-=(t 力 0)=-1111m=9t-35pFx 2 j +1 z 3所求直線為=k11-1-35題型2直線各方程之間的轉(zhuǎn)化解題注意事項(xiàng)：記清直線各式之間關(guān)系2 z - 4 j + z -1 = 0 例3將直線的-般方程I x + 3 j + 5 = 0轉(zhuǎn)化為對稱式和參數(shù)式方程r解

47、s =(2,-4,1) x (1,3,5)=(-3,1,10)在直線上任取一點(diǎn)，令y=0則x=-5,z=11x + 5j z 一 11所求對稱式方程為一廠 =-3110 x = -3t 一 5參數(shù)式方程為1J=tz = 10t +11題型3確定直線之間的位置關(guān)系解題注意事項(xiàng)1記清直線之間位置關(guān)系的公式例4確定空間三直線之間的位置關(guān)系，三直線位置關(guān)系如下-5L2x = 3tI yM2I x + 2 j - z +1 = 0L3 Lx + J - z = 0LI:方向向量(-2,-5，3）定點(diǎn)為M1 =（-3，-4，0）L2: 方向向量rS2二(3,3，7）定點(diǎn)為M 2 =（0， -1， 2）L3

48、: 方向向量rS3 頊，1，（0，-1，1）rrss2 = -2 x 3 5 x 3 + 3 x 7 =-2-53337 = -45 豐 00 + 3-1 + 420L1與L2異面垂直3）L1 與 L2 : M M2 ( x 12)=L1 與 L3 L1 與 L3 : M 1M3（ x s2）=-210 + 3-5313 =-30 豐 0-1 + 4 -12-53._，2七=-2 - 5 + 3x 7。0且 1 豐豐 3 . L1 與 12異面3 7M M （s x S ） = 1 1 3 = 02 3 2 30 0 -3r r3 3 7.s2.s3 = 3 + 3 + 3x 7 = 27。0

49、且,= 豐 . L1 與 L2 共面相交 題型4確定直線與平面之間的位置關(guān)系解題注意事項(xiàng)1記清直線與平面之間位置關(guān)系的公式2復(fù)雜問題要巧妙使用過交線的平面 集方程可使問題簡化確定直線三J2 = 2+2 =三3與平面x+y+z=3的位置關(guān)系31-4r r， 八解s.n = (3,1,-4).(1,1,1)= 3 +1 -4 = 0 且有 2+(-2)+3=3所以直線在平面上x 1 y 2 z 3x + 2 y 1 z例6求過直線=土一= 一T且平行于直線一=亍的平面方程10-1211r r r 一八 、一分、去所求平面法線向量 n = s1 s2 = (1,0,-1)x (2,1,1) = (1,-3,1)且平面過點(diǎn)(1，2，3)故所求平面為x-3y+z+2=0 x + 4 y 5 z = 1例7求過直線6x + 8y + z = 24且與球面X2 +產(chǎn)*2 = 例7求過直線解過已知直線的平面集為 即，與已知平面相切，即球心(0，0，0)到該平面的距離為2，故有，= 2（3 人 + 6 四）2 = 2（3 人 + 6 四）2 +（ 4 人 + 8人）2 + （一5人 + jlx）2n 199人2 + 312人日一172日2 = 0 n人=-2日或199人=86目所求平面為 z=2 或 132x+176y-21z-