定積分及其應(yīng)用

1、關(guān)于定積分及其應(yīng)用第1頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第一節(jié) 定積分的概念重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)難點(diǎn)：定積分概念的理解第2頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三abxyo實(shí)例1 （求曲邊梯形的面 積）一、兩個(gè)實(shí)例第3頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 在初等數(shù)學(xué)中，以矩形面積為基礎(chǔ)，解決了較復(fù)雜的直邊圖形的面積問題.現(xiàn)在的曲邊梯形有一條邊是曲線，所以其面積就不能按照初等數(shù)學(xué)的方法來計(jì)算.困難就在于曲邊梯形底邊（區(qū)間）上的高是變化的，而且這種變化規(guī)律不是線性的.但由于曲線是連續(xù)的，所以當(dāng)在上的變化很小時(shí)，相應(yīng)的高的變化也很小

2、.由于這個(gè)想法，可以用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，只要分割的充分細(xì)，每個(gè)小曲邊梯形就很窄，則其高的變化就很小， 第4頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第5頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三曲邊梯形如圖所示，第6頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為第7頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三實(shí)例二、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程思路：把整

3、段時(shí)間分割成若干個(gè)小段，每小段上速度看作不變。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值。第8頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第9頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三二、定積分的定義定義第10頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和第11頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三注意：第12頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三定理

4、1定理2三、存在定理第13頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三四、定積分的幾何意義第14頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三幾何意義：ab第15頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 例1、用定積分表示下列圖中陰影部分的面積第16頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第17頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三解：根據(jù)定積分的幾何意義，解題如下：第18頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第19頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:

5、說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小五 定積分的性質(zhì)第20頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三證性質(zhì)1第21頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三證性質(zhì)2第22頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三例 若（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3第23頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三證性質(zhì)4第24頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)5（定積分中值定理）積分中值公式第25頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期

6、三使即積分中值公式的幾何解釋：第26頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 第二節(jié) 微積分基本公式重點(diǎn)：牛頓萊布尼茲公式難點(diǎn)： 積分上限的函數(shù)第27頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為另一方面這段路程可表示為一、問題的提出第28頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第29頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三積分上限函數(shù)的性質(zhì)證第30頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三由積分中值定理得第

7、31頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第32頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第33頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第34頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 （2）第35頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第36頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三分母的導(dǎo)數(shù)為所以有第37頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三定理 3（微積分基本公式）證三、牛頓萊布尼茨公式第38頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三令令牛頓萊布尼茨

8、公式第39頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.第40頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三例計(jì)算下列定積分（1）(2)(3)(4)(5)第41頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第42頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第43頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第44頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 第三節(jié) 積分的換元法 重點(diǎn)與難點(diǎn)： 掌握定積分的換元積分公式 牛頓萊布尼茨公式把定積分的計(jì)算問轉(zhuǎn)化為求原函

9、數(shù)（不定積分）的問題，因而求不定積分的各種具體方法經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓?，都可用于求定積分，本節(jié)我們來學(xué)習(xí)定積分的換元法. 第45頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第46頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第47頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 解法2要比解法1簡(jiǎn)便些，因?yàn)樗∪チ俗兞炕卮@一步。 一般的，定積分的換元法可表述為：第48頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三定積分的換元法有兩個(gè)特點(diǎn)：換成新變量時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限.即所謂的“換元必?fù)Q限.”（）求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必象不定積分那

10、樣再把原變量回代，而直接代入新變量的上下限，然后相減就把原變量（1）用可以了。第49頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第50頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第51頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第52頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第53頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第54頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第55頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 第四節(jié) 定積分的分部積分法重點(diǎn)與難點(diǎn)： 熟練掌握定積分的分部積分公式第5

11、6頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三把不定積分的分部積分公式添加上積分限，就得到定積 分的分部積分公式：第57頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第58頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第59頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第60頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第61頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 例 求 解：由例4的結(jié)果知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第62頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第63頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，2

12、2點(diǎn)2分，星期三第64頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第65頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三令則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)代入到中得：第66頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 第五節(jié) 無窮區(qū)間上的廣義積分 重點(diǎn)與難點(diǎn)： 廣義積分的概念與計(jì)算第67頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第68頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第69頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三顯然，當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，曲邊體形的面積也隨著b的變化而變化 時(shí)，這個(gè)曲邊梯形面積的極限就應(yīng)該是“開口曲邊梯形”

13、的面積，即當(dāng)?shù)?0頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第71頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三二、 廣義積分的定義第72頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第73頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第74頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第75頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第76頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三為了書寫方便起見，我們規(guī)定：記為寫為第77頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第78頁(yè)，共113頁(yè)

14、，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第六節(jié) 定積分應(yīng)用舉例重點(diǎn)與難點(diǎn)：正確理解定積分的元素法；熟練掌握用元素法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積；會(huì)求平面曲線的弧長(zhǎng)、變力作功和函數(shù)的平均值。 第79頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 回顧曲邊梯形求面積的問題一、問題的提出abxyo第80頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三（3）求和 得A的近似值 面積表示為定積分的步驟是：第81頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三abxyo（4） 求極限 得A的精確值提示面積元素第82頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星

15、期三第83頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三微元法的一般步驟：第84頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三這個(gè)方法通常叫做微元法應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等第85頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三曲邊梯形的面積平面圖形的面積二、平面圖形的面積第86頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三解 兩曲線的交點(diǎn)為面積元素選 為積分變量第87頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第88頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第89頁(yè)，共

16、113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第90頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第91頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺(tái)三、旋轉(zhuǎn)體的體積第92頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為第93頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三解直線 方程為第94頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第95頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第96頁(yè)，共113頁(yè)，2

17、022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第97頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第98頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng) 四、平面曲線的弧長(zhǎng)第99頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三解所求弧長(zhǎng)為第100頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第101頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三如圖所示第102頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第103頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停解建立坐標(biāo)系如圖第104頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三這一薄層水的重力為功元素為(千焦)第105頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三第106頁(yè)，共113頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期三等份，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為由于連續(xù)，所以當(dāng)足夠大時(shí)，我們可把在區(qū)間上看作常數(shù)，先把區(qū)間用分點(diǎn)第107頁(yè)，共113頁(yè)，202