分解因式全部方法

1、分解因式全部方法分解因式全部方法因式分解沒有寬泛的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項(xiàng)式輪換對稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換兀法，長除法，除法等。注意三原則分解要完好最后結(jié)果只有小括號最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正(好似：-3x2+x=-x(3x-1)編寫本段基本方法提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。若是一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，能夠把這個(gè)公因式提出來，進(jìn)而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這類分解因式的方法叫做提公因式法。詳細(xì)方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式

2、的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大條約數(shù)；字母取各項(xiàng)的同樣的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取同樣的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。若是多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)負(fù)的，一般要提出-”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出-”號時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號?？谠E：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號，變形看奇偶。好似：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2aA2+1/2變成2(aA2+1/4)不叫提公因式公式法若是把乘法公式反過來，就能夠把某些多項(xiàng)式分解因式，這類方法叫公式法。平方差公式：aA2-b

3、A2=(a+b)(a-b)；完好平方公式：aA22ab+匕八2=(a)八2；注意：能運(yùn)用完好平方公式分解因式的多項(xiàng)式必定是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。立方和公式：立方差公式：aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)；aA3-bA3=(a-b)(aA2+ab+bA2)；完好立方公式：aA33aA2b+3abA2bA3=(a3)八3.公式：aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ca)好似：aA2+4ab+4bA2=(a+2b)A2。(3)分解因式技巧分解因式與整式乘法是互為

4、逆變形。分解因式技巧掌握：等式左邊必定是多項(xiàng)式；分解因式的結(jié)果必定是以乘積的形式表示；每個(gè)因式必定是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必定低于原來多項(xiàng)式的次數(shù)；分解因式必定分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能夠再分解為止。注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。提公因式法基本步驟：(1)找出公因式；(2)提公因式并確定另一個(gè)因式：第一步找公因式可依照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除掉原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后，另一因

5、式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)同樣。編寫本段競賽用到的方法分組分解法分組分解是解方程的一種簡短的方法，我們來學(xué)習(xí)這個(gè)知識。能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比方：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分派律，兩兩相當(dāng)，立刻消除了困難。同樣，這道題也能夠這樣做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：1.5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說明：系數(shù)不同樣樣同樣能夠做分組分解

6、，和上面同樣，把5ax和5bx當(dāng)作整體，把3ay和3by當(dāng)作一個(gè)整體，利用乘法分派律輕松解出。2.xA3-xA2+x-1解法：=(xA3-xA2)+(x-1)=xA2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出x2，爾后相合輕松解決。3.x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)a2-b2=(a+b)(a-b)，爾后相合解決利用二二分法，再利用公式法十字相乘法這類方法有兩種情況。xA2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1;常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是

7、常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。所以，能夠直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：xA2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).kxA2+mx+n型的式子的因式分解女口果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kxA2+mx+n=(ax+b)(cx+d)圖示以下：xcd好似：因?yàn)?-3x72-3X=-21，1X2=2，且2-21=-19，所以7xA2-19x-6=(7x+2)(x-3).十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中拆項(xiàng)、添項(xiàng)法這類方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)翻開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式合適于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必定在與原多項(xiàng)

8、式相等的原則下進(jìn)行變形。好似：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).配方法關(guān)于某些不能夠利用公式法的多項(xiàng)式，能夠?qū)⑵渑涑梢粋€(gè)完好平方式，爾后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這類方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特別情況。也要注意必定在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。好

9、似：x2+3x-40=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5).應(yīng)用因式定理關(guān)于多項(xiàng)式f(x)=0，若是f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.好似：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上,x2+5x+6=(x+2)(x+3).)注意：1、關(guān)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，若X=q/p(p,q為互質(zhì)整數(shù)時(shí))該多項(xiàng)式值為零，則q為常數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)；2、關(guān)于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，則有a為c/b約數(shù)換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，能夠選擇多項(xiàng)式中的同樣的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，爾后進(jìn)行因式分解，最后再變換

10、回來，這類方法叫做換元法。注意:換兀后勿忘還兀.好似在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時(shí)，能夠令y=x2+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1).也能夠參看右圖。求根法令多項(xiàng)式f(x)=O,求出其根為x1,x2,x3,xn，則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).(x-xn).好似在分解2xA4+7xA3-2xA2-13x+6時(shí)，令2xA4+7xA3-2xA2-13x+6=0則經(jīng)過綜合除法可知，該方程的根為0.5，-3，-2，

11、1.所以2xA4+7xA3-2xA2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).圖象法令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1,x2,x3,.xn，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).(x-xn).與方法對照，能避開解方程的繁瑣，可是不夠正確。好似在分解xA3+2xA2-5x-6時(shí)，能夠令y=xA3;+2乂八2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2則xA3+2xA2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)主元法先選定一個(gè)字母為主元，爾后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。特別值法

12、將2或10代入的每一個(gè)因數(shù)寫成x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)合適的組合，并將組合后或10的和與差的形式，將2或10復(fù)原成x，即得因式分解式。2好似在分解xA3+9xA2+23x+15時(shí)，令x=2，則xA3+9xA2+23x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3X5X7.注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為值，1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的則xA3+9xA2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，考證后確實(shí)這樣。待定系數(shù)法第一判斷出分解因式的形式，爾后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù),進(jìn)而把多項(xiàng)式因式分解。

13、好似在分解xA4-xA3-5xA2-6x-4時(shí)，由剖析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式,所以只能分解為兩個(gè)二次因式。于是設(shè)xA4-xA3-5xA2-6x-4=(xA2+ax+b)(xA2+cx+d)=xA4+(a+c)xA3+(ac+b+d)xA2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.則xA4-xA3-5xA2-6x-4=(xA2+x+1)(xA2-2x-4)也能夠參看右圖。)雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類，近似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式，啟始的式子以下：axA2+bxy

14、+cyA2+dx+ey+fx、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來說明怎樣使用。例：分解因式：xA2+5xy+6yA2+8x+18y+12.剖析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解：圖以下，把全部的數(shù)字交叉相連即可x2y2x3y6?原式=(x+2y+2)(x+3y+6).雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖中xA2+5xy+6yA2=(x+2y)(x+3y);先依一個(gè)字母(如y)的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6);再按另一個(gè)字母(如x)的一次系數(shù)進(jìn)行查驗(yàn)，如十字相乘圖，這一步不能省，否則簡單犯錯(cuò)。編

15、寫本段多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：若是多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；若是各項(xiàng)沒有公因式，那么可試一試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；若是用上述方法不能夠分解，那么能夠試一試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解；分解因式，必定進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能夠再分解為止。也能夠用一句話來歸納：試，分組分解要合適?！毕瓤从袩o公因式，再看可否套公式。十字相乘試一幾道例題1?分解因式(1+y)A2-2xA2(1+yA2)+xA4(1-y)A2.解：原式=(1+y)A2+2(1+y)xA2(1-y)+xA4(1-yF2-2(1+y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2)=(1+y)+xA2(1-y)F2-2(1+

16、y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2)(完好平方)(補(bǔ)項(xiàng))=(1+y)+xA2(1-y)F2-(2x)A2=(1+y)+xA2(1-y)+2x(1+y)+xA2(1-y)-2x=(xA2-xA2y+2x+y+1)(xA2-xA2y-2x+y+1)=(x+1)A2-y(xA2-1)(x-1)A2-y(xA2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2?求證：關(guān)于任何實(shí)數(shù)x,y，下式的值都不會為33:xA5+3xA4y-5xA3yA2-15xA2yA3+4xyA4+12yA5解：原式=(xA5+3xA4y)-(5xA3yA2+15xA2yA3)+(4xyA4+12y

17、A5)=xA4(x+3y)-5xA2yA2(x+3y)+4yA4(x+3y)=(x+3y)(xA4-5xA2yA2+4yA4)=(x+3y)(xA2-4yA2)(xA2-yA2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)(當(dāng)分解因式的過程也能夠參看右圖。y=0時(shí)，原式=xA5不等于33;當(dāng))y不等于0時(shí)，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不同樣，而33不能夠分紅四個(gè)以上不同樣因數(shù)的積，所以原命題建立。3.ABC的三邊a、b、c有以下關(guān)系式：-cA2+aA2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。剖析：本題實(shí)質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證

18、明：T-cA2+aA2+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0?(a-c)(a+2b+c)=0.va、b、c是厶?a+2b+cABC0.的三條邊，?-即aacc，0，ABC為等腰三角形。4.把-12xA2nXyAn+18xA(n+2)yA(n+1)-6xAnXyA(n-1)分解因式。解：-12xA2nXyAn+18xA(n+2)yA(n+1)-6xAn呼(n-1)=-6xAn約八(n-1)(2xAn學(xué)-3乂八2八2+1)編寫本段因式分解四個(gè)注意：因式分解中的四個(gè)注意，可用四句話歸納以下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有公”先提公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號里面分終究”?，F(xiàn)舉下例例1把a(bǔ)2b2+2ab+4分解因式?？晒﹨⒄战猓阂贿@里的a