考試題庫-數(shù)學(xué)分析

1、第一套一，選題：（每題3分，共15分），已知，f(x)=()A：B：C：D：2,A：0B：1C：2D：3，f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則下列命題不成的是（A：f(x0+0)、f(x0-0)存在B：f(x)在x0點(diǎn)的極限存在C：f(x)在0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有D：f(x)在0點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)連續(xù)，(x)在a點(diǎn)連續(xù)，f(x)=|x-a(x)，f存在的條件是()。A：(a)=0B(a)=1C(a)=-1D(a)=a，f(x)=x+1)(x+2),則f(0)=()A：0B：2003?。?004！D：2005二，填空題3分共15分），數(shù)列an收斂的柯西準(zhǔn)則是：2，如果正方形的邊長加1cm，面積的微分dS=12cm，

2、方程ex=x2的根是個。x=x2的根是個。，則邊長為。三，計(jì)題5分，共20分）五，討論函數(shù)f(x)=的性態(tài)并作出其圖形。(14分)體積為V七，對函數(shù)（x）=ln(1+x)應(yīng)用拉格朗日定理證：（8分）八、f(x)在開區(qū)I上為凸函數(shù)，證：存在。第二套一，選（每3分，共15分），函數(shù)f(x)=ln(lnx)的定義域是（）A：x0B：x0：x1D：x12,A：奇B：偶：既奇又偶D：非奇非偶，f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分條件是（A：f(x0+0)、f(x0-0)存在B：f(x)在x0點(diǎn)的極限存在C：f-(x0)、+(x0)存在D：f在x0點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)連續(xù)，f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)是f(x)在(0,f(x0

3、)點(diǎn)有切線的()條件。A：充分B：必要：充分必要D：非充分亦非必要，設(shè)f(x)=x+1)(x+2),則f(0)=()A：0B：2002！：2003！D：2004二，填空3分共15分）0，設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某空心鄰域U(x0)內(nèi)有定義，則柯西收斂則是：3，如果正方體各棱長增1cm，體積的微分dV=12cm，則原棱長為。，函數(shù)y=x-sinx在（-22個。三，計(jì)每5分，共20分）五，討論函數(shù)f(x)=的性態(tài)并作出其圖。(14分)六，某窗戶上部為半圓，下部為長為15m，要使窗戶透光面積最，寬x應(yīng)為多少米（10分）fx（D上有界，證明：（8分）第三套一、單項(xiàng)選擇（每小題3分，共18分）1、已知函數(shù)

4、yf(x)的定義域是(0,1)，則yf(lnx)的定義域?yàn)椋ǎ?a)(,0)(b)(0,(c)(d)(0,)2、對常數(shù)函數(shù)y=C,下列說法中錯誤的是()(a)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)(b)既有上界又有下界(c)既單調(diào)遞增也單調(diào)遞減(d)沒有最小正周期的周期函數(shù)3、f(0是f(x)嚴(yán)格增加的()條件(a)充分(b)必要(c)充要(d)既非充分也非必要f(h)f(0)lim4、設(shè)f(x)tgx,則hh02()11(a)2(b)0(c)2(d)225、函數(shù)f()ln(的奇偶性是（）xxx(a)奇函數(shù)（b）偶函數(shù)（c）既奇又偶函數(shù)(d)非奇非偶函數(shù)n1S(6、點(diǎn)集n的聚點(diǎn)是（）（）0(b)1(c)1(d)

5、1和-1二、計(jì)算（每小題6分，共30分）1、lin1n)n2、11lim(xxe0 x)121colim33、0 xx、xsiny1xxcose,求ytxecostt5、yetsin,求2ddxy2三、做一無蓋圓柱形容器，給定體積為V。問底半徑與高的比如何取時最省材料？（8分）四、將函數(shù)f(x)cos(sinx)展開到4x項(xiàng)，并用之計(jì)算極限cos(sinx)cosxlim4x（8分）0 x五、敘述limf(x)x類型函數(shù)極限的歸結(jié)原則，并用之證明：若f(x)為周期函數(shù)，且limf(x)x=0，則f(x)0（8分）六、證明不等式：0 x2時，sinx2x（8分）七、證明Weierstrass聚點(diǎn)

6、定理：直線上的有界無限點(diǎn)集S至少有一個聚點(diǎn)。（8分）lnxy八、作函數(shù)x的圖像，并1、比較20032002與20022003的大小。2、求數(shù)列3nn12分）2,3,第四套五、單項(xiàng)選擇（每小題3分，共18分）1、已知函數(shù)yln(lnx)的定義域是（）(a)(,0)(b)(0,(c)(d)2、1、下列各組函數(shù)中相等的是()(a)y2與yx(b)xy與yx(x)2xy(c)x與y1（d）ysin(arcsinx)與yx3、函數(shù)yf(x)在xa可導(dǎo)是曲線yf(x)在點(diǎn)f(a)處存在切線的()條件(a)充分(b)必要(c)充要(d)既非充分也非必要4、設(shè)f(0)f(0)0f(h)lim則hh0()(a)

7、1-(b)0(c)1(d)不存在5、對常數(shù)函數(shù)y=C,下列說法中錯誤的是()(a)既有上界又有下界(b)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)(c)既單調(diào)遞增也單調(diào)遞減(d)沒有最小正周期的周期函數(shù)xsinxlim6、0 xx（）xsin（）1(b)0(c)1(d)不存在六、計(jì)算（每小題6分，共30分）1、3li)nnn2、11lim()x1x1lnx3、xlix04、yln(tgx),求yxytt23,求2ddxy25、4七、試將多項(xiàng)式2yx寫成(x1的升冪排列（8分）八、在半徑為R的半圓內(nèi)作一矩形，如何作其面積最大？（8分）五、用極限的定義證明：2lim(xx3x(8分)13xc六、明方程x30(c為常數(shù))

8、在（0，1）內(nèi)沒有兩個不同實(shí)根。（8分）七、已知f(a)存在，證明：f(af(ah)2f(a)limf(a)2h(8分)0hyx21x八、作函數(shù)的圖像（12分）第五套一、3分，共15分）1、若lnxx為f(x)的一個原函數(shù)，則xf(x)dx（A：lnxCxB：1lnxC2xC：1CxD：12lnxxxC2、設(shè)x02f(t)dtln5x，則f(x)（52x2xA：25xB：52xC：52xD：5x3、下列反常積分收斂的是（A：11dxxB：elnxdxxC：0cosxdxD：02xxedxln(n1)lnn2lnnn24、級數(shù)為（）級數(shù)。A：收斂B：絕對收斂：條件收斂D：發(fā)散n(x1)5、冪級數(shù)

9、1nn2n的收斂域?yàn)椋ˋ：(2,2)B：2,2)C：D：(1,3)二、填空題：（每題3分，共15分）1、設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為lnx，則xf(x)dx。xtytedt2、已知函數(shù)0，則y(0)。3、曲線2yx與x軸圍成的圖形的面積為。11n(5n4)(5n1)。4、15、函數(shù)f(x)ln(1的麥克勞林級數(shù)是。三、計(jì)算題：（每題4分，共20分）1、計(jì)算1xxdxee、計(jì)算023sinxsinxcosxdx3、求心臟線ra(1cos),(a0)的周長。x)x35xx354、已知：求：x)。5、已知：a02n1acosnxbsinnxxnn，x(,)求：a,bnn。四、設(shè)yf(x)為a,b上嚴(yán)格增

10、的y連續(xù)函數(shù)，證明：(a,b)，使得圖中兩陰影的面積相等。y=f(x)1112x1edx12e2e0五、證明不等式：0abxxf(x)n1n2x2在(,)上一致收斂。六、證明函數(shù)列七、求2f(x)ln1x的麥克勞林展開式。八、一個半徑為20米的半球形容器內(nèi)盛滿了水，求把水抽盡所作的功。第六套六、3分，共15分）1、若f(x)可導(dǎo)，則f(x)dx（A：f(x)B：f(x)CC：f(x)D：f(x)C2、設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為sinx，則20 xf(x)dx（A：0B：2C：12D：21baf(x)dx收斂是bafxdx2()2()3、瑕積分收斂的（）條件。A：充分B：必要C：充分必要D：非充分

11、亦非必要ln(n1)lnn2lnnn24、級數(shù)為（）級數(shù)。A：收斂B：絕對收斂：條件收斂D：發(fā)散nxn5、冪級數(shù)12nn的收斂域?yàn)椋ˋ：(2,2)B：2,2)C：(2,2D：2,2七、填空題：（每題3分，共15分）xxde6、。7、已知01kxedx5，則k。8、曲線2yx與12xy軸圍成的圖形的面積為。n(2n1)(2n1)。9、1x10、函數(shù)f(x)e的麥克勞林級數(shù)。八、計(jì)算題：（每題4分，共20分）11、計(jì)算1dxx2、計(jì)算20cosx21sinxdx3、求心橢圓22xy221ab所圍的面積。nx4、求：n5、求函數(shù)2n12n的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域。xf(x)，x(0,2)的傅里葉

12、展開式。2九、設(shè)yf(x)連續(xù)可微函數(shù)，求dx(xt)f(t)dtdx。a十、證明不等式：4lnxe3edx6ex六、證明：122ln1nxn在0,1上一致收斂。3七、求1f(x)3x的麥克勞林展開式。八、有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條底邊各長10米、6米，高為20米，計(jì)算當(dāng)水面與上底邊齊時閘門一側(cè)所受的靜壓力。第七套一、單項(xiàng)選擇（每小題3分，共15分）、已知F(x)f(x),則f(x)dx()；A、F(x)sinCB、CF()eC、x2FD、F(x)lnC(Cdf(x)、（A、f(x)B、f(x)C、f(x)CD、f(x)Climann0是級數(shù)an、收斂的（）條件；A、充分但不必要B、必要

13、但不充分C、充要D、既非充分也非必要nx、冪級數(shù)n的收斂域?yàn)?)；A、(-1,1)B、C、)D、(、下列廣義積分中，收斂的是（A、101dxx、11dxxC、11dxxD、101xdx二、填空：（每小題3分，共12分）12xdx1、_;2、n1n(n_；a1n1lim3、已知2nannan(x，則冪級數(shù)n1的收斂區(qū)間為_；1021xdx、_；三、計(jì)算不定積分或求定積分的值。（每小題6分，共24分）114x2xdxe2x1exxdx3ecos20、設(shè)f(2x1sinttdt，求10 xf(四、用定積分求極限limn(n111.2nn2nn2n22)。(9分)nx五、求冪級數(shù)n1n1的收斂域及和函

14、數(shù)S(x)10分）六、求曲線2xy2y、4x和y1所圍平面區(qū)域的面積。（10分）七、證明：（每小題10分，共20分）、設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：aaTfT0f、函數(shù)列f(x)n1xn2x2在,上一致收斂。第八套五、單項(xiàng)選擇（每小題3分，共15分）f(dxcosxC、已知,則f()；A、sinxB、sinxD、cosxdf(x)dx、（A、f(x)B、f(x)C、f(x)dxD、f(dx、連續(xù)是可積的（）條件；A、充分但不必要B、必要但不充分C、充要D、既非充分也非必要nx、冪級數(shù)的收斂域?yàn)?)；A、(-1,1)B、(,)C、D、(、下列廣義積分中，收斂的是（A、1dx12x、11

15、dxxC、11dxxD、101xdx六、填空：（每小題3分，共12分）、11dx012x_;、n1n1nx_；2nx3、冪級數(shù)1nn2的收斂半徑為_；、lnxdxx_。七、計(jì)算不定積分或求定積分的值。（每小題8分，共24分）101x(x1)dx22x(321dxxx1八、用定積分求極限111lim(.)nn1n2nn。(9分)五、求冪級數(shù)n1nnx的收斂域及和函數(shù)S(x)10分）六、求橢圓2x2ayb221繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。（10分）七、證明：（每小題10分，共20分）、設(shè)f(x)在a,a上連續(xù)，證明：當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，aaf2a0fa當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，0fax、函數(shù)項(xiàng)

16、級數(shù)421nx在,上一致收斂。第九套2y2一、確定集E(x,|0(x(2)1的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、聚點(diǎn)集和邊界。（8分）.f(x,y)xxy2y222,xy0,22二、考查函數(shù)0,0 xy在原點(diǎn)的可微性（8分）.三、用定義驗(yàn)證極限(22lim(xxyy)7x（8分）,y)(,1)zz四、z2vuv,uxcosy,vxsiny.求xu2和y（8分）F1(x,y)yxsiny20在點(diǎn)(0,0)滿足隱函數(shù)存在唯一性定理的條件,并求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（10分）.六、要做一個無蓋的圓柱形容器，其容量為V，問如何截取容器的高和底面半徑，所用材料最省？（10分）七、VV由曲面22,2zxyzz12分）八、S22(xy)d

17、S，其中S是立體221xyz的邊界曲面；（12分）九、L2222(xy)dx(xy)dy，L為以A(1,0),B(2,(1,1)頂點(diǎn)的正方形沿逆時針方向（12分）十、S333xdydzydzdxzdxdy，S為球面2222xyza12分）第十套一、確定集E(x,|xy0的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、聚點(diǎn)集和邊界（8分）.二、敘述limfx,yxx0yy0的定義（6分）xy三、已知f(x,2yx2.求f(2,1).（8分）x四、求極限(22xylim22x,y)(,0)0 xy8分）zz五、已知z,uxcosy,vxsiny.求xu2v2和y（10分）32六、將數(shù)12分成三個正數(shù)x,y,z之和，使得uxyz為最

18、大。y22lnxyarctg七、求方程x所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（12分）八、求球體2y2zR2222x被圓柱面xyRx所割下立體的體積（12分）.九、VV由曲面22,22(21zxyxyz12分）十、L22(xy)ds，其中L是以（0，00，1）為頂點(diǎn)的三角形（12第十一套一，選擇題：（每題3分，共15分）2,函數(shù)f(x,=的全微分為()。A：B：D：二，填空題：（每題3分共15分）3，z=f(x,y),x=rcost,y=rsint,則4，曲x=t-sint，y=1+cost，z=1-cost在點(diǎn)(0，2)的法平面方程。三，計(jì)算題：（每題5分，共計(jì)20分），求u=ln(x2+y)在(4,3)

19、點(diǎn)處的全微分。222、求曲面9x+y-z=9在點(diǎn)（1，1，）處的切平面方程。、計(jì)算二重分，D：0y，0 x。2+y2=1與拋物y=x2之間的最短距離。(10分)四、求(x-3)五、u=f(x2-y)，證明：（10分）(10分)第十二套一，選擇題：（每題4分，共20分）、設(shè)2fxyxyxy，則(,1)(,)(1)arccosfx()。xA：xB：2arcsinxyC：1D：y、函數(shù)4422fxyxyxy在(1,1)的全微分為()。(,)4A：2dx2dyB：4dx4dyC：4dx4dyD：2dx2dy、已知234210 xyxy，則dydx()。322xy12xy2212xy2yA：24xxyB

20、：63x6xyC：2212xy2y3xxyD：6226xyy3x3xy，設(shè)D22xf(x,y)dxdydxf(x,y)dy0 x，則交換積分次序后為()。A：2y42dyf(x,y)dxdyf(x,y)dxyy0222B：224ydyf(y)dxdyf(x,y)dxyy0222C：224ydyf(x,y)dxdyf(x,y)dx02y22yD：22y4ydyf(x,y)dxydyf(x,y)dx0222，錐面22zxy被柱面22zx所截部分的面積是()。A：2B：2C：22D：32二，填空題：（每題4分共20分）1、拋物柱面yx與平面y0,z0,xz2所圍成的空間幾何體在xoy平面上的投影是：

21、。、由方程22221xxyy所確定的隱函數(shù)的極小值是。2z、已知2zf(xy,y)，則2y。，曲線22txatybttzct在4sin,sincos,cos點(diǎn)切線方程為。dydx，設(shè)L是拋物線24yx從A(0,4)到B(2,0)的一段，則Lxy。三、計(jì)算題：(每題5分，共20分)(1)、設(shè)u222zxygrad|u222cab，求(,)abc。(2)、求函數(shù)22f(x,y)2xxyy6x3y5在(1,2)處的泰勒展式。(3)、求22f(x,y)xy在條件xy1下的極值。(4)、計(jì)算曲線積分L222yzds，其中L是2222xyza與xy相交的圓周。四、證明函數(shù)22fxyxy在(0,0)連續(xù)，但

22、偏導(dǎo)數(shù)不存在。(10分)(,)222五，證明平面曲線333(0)xyaa上任一點(diǎn)處的切線被坐標(biāo)軸所截的線段等長。(10分)22D(x,y):xyy,x0，請給出二重積分Df(x,y)dxdy六，設(shè)在極坐標(biāo)變換下的兩個累次積分。(10分)xyxy七，對于全微分式ee(xy2)ydxee(xy)1dy并求原函數(shù)u(x,y)。(10分)八、計(jì)算221xy，其中S是球面y的上半部分并取外側(cè)。1yzdzdxS0參考答案第一套一，選擇題：（每題3分，共15分），C；2，A；3，D；4，A；5，C。二，填空題：（每題3分共15分），a=1，b=-1；3，2f(a)；4，6；5，2。三，計(jì)算題：（每題5分，共

23、20分）解：解：解：證：，故結(jié)論成立。五，討論函數(shù)f(x)=的性態(tài)并作出其圖形。(14分)解：定義域：R；2f(x)=,令f(x)=0得：x=1；3)=，令f)=0得：x=2；列表：?x(-1)1(1，2)2(2，+)yyy極大拐點(diǎn)5，y=0為水平漸近線；6特殊點(diǎn)：(0，(1，1)，(2,2e-2)7y101x2體積為V解：設(shè)底面半徑為r，高為h，則目標(biāo)函數(shù)為：2S=2rh+r2，約束條件為：V=r代入目標(biāo)函數(shù)得：,令=得：,代入約束條件中得：所以當(dāng)高等于半徑時，窗容器表面積最小。七，對函數(shù)（x）=ln(1+x)應(yīng)用拉格朗日定理證明：（8分）證：由拉格朗日定理得：即八、設(shè)f(x)在開區(qū)間I上為

24、凸函數(shù)，證明：存在。證：作函數(shù)f(x)在開區(qū)間I上為凸函數(shù)，F(xiàn)(x)在x=0的右鄰域內(nèi)單調(diào)上升，而I是一開區(qū)間，所以I中能找到一點(diǎn)x0上有下界，由單調(diào)有界定理知：xx0存在，故存在，同理可證存在。第二套一，選擇題：（每題3分，共15分），C；2,A；3，C；，A；，C。二，填空題：（每題3分共15分），a=4；b=-12；，f(x)；，；5，。三，計(jì)算題：（每題5分，共20分）n解：u=x，v=(1-x)-1,(k)=n(n-1)(n-k+1)xn-k-1,(k)=n(n-1)(n-k+1)xn-k(k)=而v-k-1=k!(1-,由萊布尼茲公式得：五，討論f(x)=的性態(tài)并作出其圖。(14分

25、)解：xy3x(-,-1)-1(-1,1)(1,3)3(3,+)y+0-0+y-+y-2極大0極小43，0）、（0，-）；6x01六，某窗戶上部為半圓，下部為矩形，周長為15m，要使窗戶透光面積最大，問寬x應(yīng)為多少米？（10分）解：fx（xD上有界，證明：（8分）第三套一、1.c2.a3.a4.d5.a6.d二、1、原式=1lim0nn1n2、原式xe1xlim0 x=(xxexxe1e1limlimx0 xx0e1xxe1222xx222sin)122limlim333、原式=xxsinx0 x0 xx24、y1xcosex(cos1x1xsin1x)dysintcost5、dxttcoss

26、in,2dy(costsin2t)(sintcost2)22dxte(costsint3)te(costsint3)三、底半徑為R,高為kR,則3V,即kRR3Vk表面積k)12V2k233R2kR()2k)令1323Vk13V2k12Vk23S(k)0,k1四、cos(sinx)12sinx4sinxo(sin41(x3x224)44x)24x5x41o(x)22424x5x(1)cos(sinx)cosx224limlim4xx0 xx042x24x)24o(4x)16五、limf(x)Axn,limxn,xn都有l(wèi)imnf(xn)A證明：設(shè)周期為T。反證：若,()x0fx則令xxnT0n

27、0，但limf(xn)f(x0)n矛盾0 x六、2時，sinx2（8分）設(shè)f2(x)sinxf(cosx2當(dāng)20 xarccosf(0,f(,f(x)f(0)時，0,sinxx22arccosx當(dāng)2時，f(x)0,f(x),f(x)f()2sinxx2綜上，命題得證。七、見書219八、略第四套九、1.d2.a3.a4.c5.b6.b二、1、原式=n3(3)3lim(1)enn32、原式=limx1ln(xxxln1xlimx1ln1xx111xlimx11x12x12x121limx0 xlnxlimx0ln1xlimx0 x1limx0 xx0e13、x2x2secx2y4、tgxxsin2

28、2tdy3335、dx22t232dy322,dx22t4yx3yxyxy4)2(三、4,12,24,24yx4214(x6(x4(x(x234四、如圖：矩形的面積為2S令2RcosRsinRsin2,S2cos2045(090)O五、證明：限制x1即0 x2,20,0,x,0 x1,xx33xx12只需取mn2即可3六、反證：設(shè)f(x)x3xc,若x,(0,()()0則可由羅1xfxfx212爾中值定理，(0,f()0，12然而方程()330fxx在（0，1）內(nèi)無實(shí)根，故原命題成立。(8分)七、證明：f(ah)f(a)f(a)hf(a)2oh2h()f(ah)f(a)f(a)hf(a)2oh

29、2h()以上兩式相加得：f(af(ah)2f(a)f(a)2oh2h()所以limh0f(af(ah)2f(a)2hlimh0f2(a)h2ho(h2)f(a)八、略九、第五套十一、選擇題：（每題3分，共15分）、D：2、C；、D；、B；5、C。十二、填空題：（每題3分，共15分）11、lnxC；、1；3、43；4、15；5、11123n1nxxx(1)x23n十三、計(jì)算題：（每題4分，共20分）、計(jì)算1xxdxee2、計(jì)算203sinxsinxcosxdx解：1dxxtxee2解：作變換得：xe1xdxde2x2e11ex33sinxcosx22dxdx0sinxcosx0sinxcosxx

30、arctaneC所以3sinx122dx1sin2xdx0sinxcosx20 x4、求心臟線ra(1cos),(a0)、已知：的周長。求：S(x)。S(x)x35xx35解：222srrd0解：24S(x)1xx122(1cos)d201xcosd02所以x1S(x)dt201t11ln21xx、已知：a02n1acosnxbsinnxxnn，x(,)求：,abnn。解：1axcosnxdx0n12bxsinnxdxxsinnxdxn0yn1n12(1)22(1)cosnxdxnnn0十四、設(shè)yf(x)為a,b上嚴(yán)格增的y連續(xù)函數(shù)，證明：(a,b)，使得圖中兩陰影的面積相等。證：設(shè)tbF(t

31、)f(x)f(a)dxf(b)f(x)dxat0abxb則F(a)()()0fbfxdxab而，F(xiàn)(b)()()0fxfadxa，所以(a,b)，F(xiàn)()”即abf(x)f(a)dxf(b)f(x)dxt，故結(jié)論成立。十五、證明不等式：1112x1edx12e2e0證：212212xxxxedxedxedxedx001011122xx2xedxedx002112e21222xxxxedxedxedx1xedx0010112122xedx112e故結(jié)論成立。六、證明函數(shù)列f(x)n1xnx在(,)上一致收斂。22證：因?yàn)閒(x)nx12nx122221nx2n1nx2n而1lim0n2n所以f(x

32、)n1x22nx在(,)上一致收斂。七、求2fxx的麥克勞林展開式。()ln1解：因?yàn)?12f(x)ln1xln(1x)2而n1(1)nln(1xn1n，所以n1(1)22nln(1x)xn1n故n1(1)2nf(x2nx1,1n1八、一個半徑為20米的半球形容器內(nèi)盛滿了水，求把水抽盡所作的功。解：如圖建立坐標(biāo)系，在0,20中取微元dx，則體積微元222dV20 xdx，質(zhì)量微元222dMg20 xdx，微功222dWg20 xxdx，22022Wgxxdx020求積分得總功為：=76969.02(千焦).此即所求。202g400 xxdx00y第六套22y20 xx一、選擇題：（每題3分，共

33、15分）、A；2、D；3、D；、B；5、B。二、填空題：（每題3分，共15分）1、xxxeeC；、5；3、13；4、12；5、2nxxxe1x2!n!三、計(jì)算題：（每題4分，共20分）1、計(jì)算1dxx2、計(jì)算20cosx21sinxdx解：11dx1tx解：20co21sidx2ln1tC2011sin2xdsinx2x2ln1xC1011du2u4、求心橢圓22xy221ab所圍的面積。解：Vabnx、求：n2n12n的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域。解：R2，收斂區(qū)間、收斂域?yàn)椋?2，2、求函數(shù)xf(x)2，x(0,2)的傅里葉展開式。解：11x22af(x)dxdx0000211x22af(

34、x)cosnxdxcosnxdx0n002xsinnx11122xf(x)bf(x)sinnxdxsinnxdxn002n，12nn四、設(shè)yf(x)連續(xù)可微函數(shù)，求dx(xt)f(t)dtdx。a解：ddxxx(xt)f(t)dtxf(t)dttf(t)dtdxdxaaaxxftdtxfxxfxftdtf(x)f(a)()()()()aa五、證明不等式：e4lnx3edx6ex證：設(shè)f(x)lnxx，則f(x)2lnxxx，令f(x)0得：2xe2xe時f(lnxx上升，2xe,4e時f(x)lnxx下降，所以1lnx2ex，故ee4lnx3edx6ex六、證明：122ln1nxn在0,1上一

35、致收斂。3證：因?yàn)?22ln1nx3n關(guān)于x單調(diào)上升，所以111222ln1nxln1n332nnn而12n收斂，所以由優(yōu)級數(shù)判別法知：122ln1nx3n在0,1上一致收斂。七、求1f(x)3x的麥克勞林展開式。解：111f(x)2n1xxxxn1331x1(1)2n333332n1xxxn1(1)23n13333八、有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條底邊各長10米、6米，高為20米，計(jì)算當(dāng)水面與上底邊齊時閘門一側(cè)所受的靜壓力。y5x10在0，20中取微元dx，05解：腰的直線方程為：y20 x則面積微元xdS25dx10壓力微元xdP25xdx10所以壓力為：20 xP25xdx010=14

36、373.33(千牛)第七套九、單項(xiàng)選擇（每小題3分，共15分）、D2、C3、B4、C5、A十、填空：（每小題3分，共12分）、2、2、（1，3）4、4十一、計(jì)算不定積分或求定積分的值。（每小題6分，共24分）解：1143xx11x2221dx(x1)dxxlnC21x1x1x321xe1e1e2lnxdxlnxdxlnxdx(xxlnx)(xlnxx)11111eee112112eeexxxxx3ecos2xdxecos2x2esin2xdx12(esin2x2ecos2xdx)00000 xx14ecos2xdxecos2xdx0015f(x)2x1sinttdt，求1xf0(4、設(shè)sinx

37、x222x2sinxx2f(x),f010 xf10f(2x22x2f(x)10102x2f(10 xsin2xdx122101212四、用定積分求極限limn(111.2nn2nn2n2n2)。(9分)解：原式=limn1nnk111kn1011xdx21x10222nx五、求冪級數(shù)n1n1的收斂域及和函數(shù)x)。（10分）xnx解:1xn,1n1n1xxn10t1tdtxln1xnxln1xxxxn1nx1000an1limnan1收斂域?yàn)?,1)六、求曲線2x2yyx、4和y1所圍平面區(qū)域的面積。（10分）A1(0232xxx)dx441014七、證明：（每小題10分，共20分）、設(shè)f(x

38、)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：aaTfT0f證明：aaTf0afT0faTTf令txTaTTf(x)dxa0f(tT)dta0f(t)dtaaTf0afT0fa0fT0f、函數(shù)列fn(x)1xn2x2在,上一致收斂。證明：limfn(x)0f(x)n、x11N,nN,x(,),fn(x)f(x)(x22nx2n0)x=0時也成立。、所以函數(shù)列fn(x)1xn22x在,上一致收斂。第八套一、單項(xiàng)選擇（每小題3分，共15分）、C、C、A4、B5、A二、填空：（每小題3分，共12分）、22、12lnx2x)、2、2C三、計(jì)算不定積分或求定積分的值。（每小題8分，共24分）1、x(x10dx解：令t

39、x1,10dt(t1110t)dt12t1211t11C(x1212(x1111(tC原式=22、(xlnxdx解：原式3x3xlnx3x3x1xdx3x3xlnx2x31dx3x3xlnx3x9xC32dx、11xx2解：令txx1t,dx2tdt11022arctant,原式t)t02四、用定積分求極限111lim(.)n1n2nnn。(9分)解：原式=limnn111n0kk11n11dxxln(1x)10ln2五、求冪級數(shù)n1nnx的收斂域及和函數(shù)S(x)。（10分）1nx解：x1n,逐項(xiàng)求導(dǎo)得：0n0nnx11x)2，xnnnxnxnx)0n12an1limnan六、求橢圓1,收斂域

40、為(-1,1)22xy122ab繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。（10分）解：23axx4aa2222V2ydx2b(1)dx2b(x)ab0a30223a0七、證明：（每小題10分，共20分）、設(shè)f(x)在a,a上連續(xù)，證明：當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，aaf2a0fa當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，0faaaf(x)dx0af(x)dxa0f(x)dx令xt證明：0af(x)dx0af(t)dta0f(t)dt,當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時,f(t)f(t)aaf(x)dxa0f(t)dta0f(x)dx2a0f(x)dx當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時,f(t)f(t)aaf(x)dxa0f(t)dta0f(dx0 x2

41、、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)421nx在,上一致收斂。xx11證明：422221nxxn，（時也成立）2n收斂，x421nx在,上一致收斂。第九套2y2一、內(nèi)點(diǎn)集為E(x,y)|0(x)(2)1，2y2外點(diǎn)集為(x,y)|(x)(2)1222聚點(diǎn)集為(,)|()()1xyx1y22邊界為(x,y)|(x)(y2)1(,2)或點(diǎn)二、f(0,0)xf(0 x,0)limx0 xf(0,0)0同理，f(0,0)0y若fdy0而(x,y)在(0,0)處可微，則limx0ydylim02cossin12cossin(其中，(xcosydy220 x)(,)limysinx0,所以f(x,y)在(0,0)處不可微。三、證

42、明：0,min,0,當(dāng)0 x20y1時121x,0y2,(2xxy2y)7(x3)(x2)(yx)(y)x3x2yx1y16612四、zxzuuxzvvxuv2v2cosyu2uvsinyzyzuuyzvvy2uv2v2(xsiny)u2uv(xcosy)五、(1)1F(x,y)yxsin2y在點(diǎn)(0,0)的鄰域內(nèi)連續(xù)；(2)F(00)0；(3)1Fx(x,y),Fy(x,12在點(diǎn)(0,0)的鄰域內(nèi)連續(xù)；F(00)1y12120(4)；所以方程F(x,yx12siny0在點(diǎn)(0,0)的某鄰域內(nèi)確定了唯一的一個定義在(-,)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的隱yf(x)函數(shù)，F(xiàn)(x,y)dydxF(xx,yy)1

43、121cosy22六、設(shè)底面半徑為x,高為y,則2Vxy表面積為2S(x,y)x2xy222設(shè)L(x,)xxyxy)xVyx3L(x,x,xL(yy,y,)22xx2yx22xy00y3VL(y,)V2xy0令3V七、22zdxdydzzdzdxdyzzdz11VD73八、22222222(xy)dS(xy)1zzdxdy(xy)dxdyxySDD=(21)213drdr00122九、由格林公式，L212222(xy)dx(xy)dy(2x2y)dxdydx(2x2y)dy10D2(2x21D(1,1)C(2,1)十、由高斯公式，B(2,0)333222xdydzydzdxzdxdy(2x2y

44、2z)dxdydzSV52a2a8225dd2rrsindr2(cos)a000055第十套一、內(nèi)點(diǎn)集為E(x,y)|xy0，外點(diǎn)集為(x,y)|xy0聚點(diǎn)集為(x,y)|xy0邊界為(y)|x0或y0二、M0,(x,當(dāng)0 xx0,0yy0時，都有f(x,y)Mfx(x,x22y(xx2y)2y22x2x2y(2y2xxy2y)32三、3f(2,1)x所以55xrcos四、令sinyr，則(2242xyr(cos)limlim222x,y()0)r0r,0 xy(sin)20五、zxzuuxzvvx2ucy2vsy2xc2s2cy2xy2x2yzyzuuyzvvy2xsiny)2v(xcosy

45、)x2yx2y2x2sin2sin2sin2sin2sin2sin2y六、設(shè)x,z)3x2yz(xyz12)令LxLyLzL22yyzy32xx3x3x2yzz000120 xyz642七、設(shè)F(x,12ln(x22y)arctgyx,則y1F(x,y)xx2x2y12x2y2xx2xyy2,Fy(x,y)x2y2y1x2y2xy2xx2ydyF(x,y)xyxdxF(x,y)xyy八、。九、12zdxdydzzdzdxdyzdzdxdy01VDD12z1232zdzzz)dz011174126十、x1222(xydsxydsxdxxdxydy)LOAABOB02485519553333B(0

46、,1)y1x2O(0,0)A(2,0)第十一套一，選題：（每題3分，共15分）、A；2、C；3、A；、D；、C。二，填空題：（每題3分共15分）1、；2ysin2xy；3、4，x=，三，計(jì)算題：（每題5分，共計(jì)20分）1，求u=ln(x2+y)在(4,3)點(diǎn)處的全微分。解：du|（，3）=，此即所求。222、求曲面9x+y-z=9在點(diǎn)（，1，）處的切平面與法線方程。2+y2-z2-9，則解：（x，y，）=9xFx(1，1)=9，F(xiàn)y(1，1，1)=2，F(xiàn)z(3，1，1)=2。切平面方程為：9(x-1)+2(y-1)+2(z-1)解：、計(jì)算二重分，D：0y，0 x。解：+y2+y2=1與拋物線y=x2之間的最短距離。(10分)四、求(x-3)2+y2約束條件：y-x2=0作拉氏函數(shù)：L=(x-3)2解：目標(biāo)函數(shù)：d=(x-3)2+(-2)，2Lx=-6-2x；Ly=2y+L=y-x令Lx=Ly=L=0得：x=1，所以為所求。五、u=f(x2-y)，證明：（10分）證：，(10分)解：于是因?yàn)椋=b得：C=lnb，故解：設(shè)球冠面的方程為：x2+y2+z2=R2，zh，于是從而所以于是進(jìn)行極坐標(biāo)此即所求。解：所以積分與路徑無關(guān)，于是從而第十二套一