萬有引力定律以及綜合應(yīng)用

1、關(guān)于萬有引力定律及綜合應(yīng)用第1頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第2頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四 為了解決生活中常見的日出日落、四季變換問題，人類對天體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究。 第一節(jié) 萬有引力定律第3頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四 在公年前4世紀(jì)，古希臘亞里士多德認(rèn)為：地球是宇宙的中心，靜止不動(dòng)，其它天體則以地球?yàn)橹行?，在不停地繞其運(yùn)動(dòng)。1.地心說：亞里士多德、托勒密 公元二世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家托勒密發(fā)展完善了“地心說”，描繪了一個(gè)復(fù)雜的天體運(yùn)動(dòng)圖象。天文學(xué)大成一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng)第4頁，共85頁，2022年，5月

2、20日，19點(diǎn)39分，星期四托勒密的“地心說”行星運(yùn)行圖一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng)第5頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四2.日心說：哥白尼(1473-1543)近代天文學(xué)的奠基人 到了16世紀(jì)波蘭天文學(xué)家哥白尼認(rèn)為：太陽不動(dòng)，處于宇宙的中心，地球和其它行星繞太陽轉(zhuǎn)，“日心說”。天體運(yùn)行論 代表人物：哥白尼、開普勒。一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng)第6頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng)哥白尼的“日心說”行星運(yùn)行圖第7頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng) 無論是“地心說”還是“日心說”所描繪

3、出行星運(yùn)動(dòng)的軌跡有什么共同特點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)性質(zhì)如何？完美的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（建立研究模型）真的是哪么完美的勻速圓周運(yùn)動(dòng)嗎？第8頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第 谷（丹麥）開普勒（德國）四年多的刻苦計(jì)算二十年的精心觀測否定19 種假設(shè)行星軌道為橢圓無論“地心說”還是“日心說”認(rèn)為天體運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)怎么回事呢火星運(yùn)行軌道有 8分的誤差 一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng)3.開普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律第9頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四開普勒第一定律(橢圓軌道定律)RFF地球太陽3.開普勒三大行星運(yùn)動(dòng)定律開普勒所有的行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上

4、。 注：1、不同行星橢圓軌道不同。2、多數(shù)大行星的軌道十分接近圓。一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng)第10頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四了解行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律之前，我們先來了解一下“橢圓”橢圓是平面上到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)形成的軌跡。兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距為焦距，橢圓有兩條對稱軸，長的對稱軸叫長軸，短的對稱軸叫短軸，長軸的一半叫半長軸RFF地球太陽第11頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四橢圓偏心率是橢圓的焦距與長軸的比值。這個(gè)比值介于0和1之間，越小越圓，越大越扁。圓可以看作是橢圓的一種極限情況，這時(shí)它的偏心率可以看作是0。第12頁，共85頁，202

5、2年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四太陽系八大行星的軌道偏心率 如下： 行星偏心率 水星0.205627 金星0.006811 地球0.016675 火星0.093334 木星0.048912 土星0.053927 天王星0.043154 海王星0.01125 注：偏心率越大，橢圓越扁。 由上面數(shù)據(jù)可知，大部分行星軌道的偏心率很小，可近似看做圓。 第13頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四開普勒第二定律（面積定律）：太陽和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。S1S2S1S2=問：在近日點(diǎn)的速度快？還是遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度快？第14頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)

6、39分，星期四行星軌道的半長軸的立方和行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方成正比。 開普勒第三定律(周期定律、調(diào)和定律)比值k與行星無關(guān),與中心天體有關(guān)，不同的中心天體k 一般不同。半長軸RFF地球太陽第15頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四一.天體究竟做怎樣的運(yùn)動(dòng)回顧人類對天體運(yùn)動(dòng)的探索歷程:漫長、艱辛、曲折事實(shí)矛盾第 谷（丹麥）日心說哥白尼（波蘭）地心說托勒密（古希臘）圓周模型托勒密/哥白尼開普勒(德國）修正模型開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大規(guī)律開普勒(德國）第16頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第五章 萬有引力定律第17頁，共85頁，2022年，5月20日，19

7、點(diǎn)39分，星期四什么原因使行星在各自的軌道上運(yùn)動(dòng)？二.萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)提出問題第18頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四二.萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)猜想假設(shè)第19頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四把行星繞太陽運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)近似化Rr第20頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四牛頓第三定律開普勒第三定律太陽對行星引力行星對太陽引力牛頓第二定律m1m2rTF返回第21頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四寫成等式：F引= GMm/r2 牛頓根據(jù)牛頓第三定律大膽的猜想：既然太陽對行星的引力與行星的質(zhì)量成正比，也應(yīng)

8、該與太陽的質(zhì)量成正比。 行星繞太陽運(yùn)動(dòng)遵守這個(gè)規(guī)律，那么在其他物體之間是否適用這個(gè)規(guī)律呢？ F引 Mm/r2 牛頓在研究了許多物體間遵循規(guī)律的引力之后，進(jìn)一步把這個(gè)規(guī)律推廣到自然界中任何兩個(gè)物體之間，于1687年正式發(fā)表了萬有引力定律：第22頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四卡文迪許實(shí)驗(yàn)1.內(nèi)容：宇宙間任意兩個(gè)有質(zhì)量的物體間都存在相互吸引力，其大小與兩物體的質(zhì)量乘積成正比，與它們間距離的平方成反比。2.表達(dá)式：3.引力常數(shù)：4.適用條件： 適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力大小計(jì)算； 適用于質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力大小計(jì)算。引力常數(shù)的測定：兩個(gè)物體中心之間的距離二.萬有引

9、力定律的發(fā)現(xiàn)得出結(jié)論第23頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的意義1.第一次揭示了自然界中的一種基本相互作用規(guī)律2.使人們建立了信心：人們有能力理解天地間各種事物第24頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四四、引力常量的測量扭秤實(shí)驗(yàn)【思考】對于一個(gè)十分微小的物理量該采用什么方法測量？（1）實(shí)驗(yàn)原理： 科學(xué)方法放大法卡文迪許卡文迪許實(shí)驗(yàn)室第25頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四卡文迪許實(shí)驗(yàn)第26頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四卡文迪許實(shí)驗(yàn)第27頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)

10、39分，星期四（2）卡文迪許扭稱實(shí)驗(yàn)的意義證明了萬有引力的存在，使萬有引力定律進(jìn)入了真正實(shí)用的時(shí)代；開創(chuàng)了微小量測量的先河，使科學(xué)放大思想得到推廣；第28頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四1.關(guān)于萬有引力，下列說法中正確得是：( )A. 萬有引力只有在天體之間才體現(xiàn)出來B.一個(gè)蘋果由于其質(zhì)量很小，它受到地球的萬有引力幾乎可以忽略C. 地球?qū)θ嗽煨l(wèi)星的萬有引力遠(yuǎn)大于衛(wèi)星對地球的萬有力D.地球表面的大氣層是因?yàn)槿f有引力的約束而存在于地球表面附近課堂練習(xí)D第29頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四2. 要使兩物體間的萬有引力減小到原來的1/4，下列辦法可

11、采用的是（ ） A. 使兩個(gè)物體質(zhì)量各減小一半，距離不變 B. 使其中一個(gè)物體的質(zhì)量減小到原來的1/4，距離不變 C. 使兩物體的距離增為原來的2倍，質(zhì)量不變 D. 距離和兩物體質(zhì)量都減小為原來的1/4課堂練習(xí)ABC第30頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四3. 地球的半徑為R，地球表面處物體所受的重力為mg，近似等于物體所受的萬有引力。關(guān)于物體在下列位置所受萬有引力大小的說法中，正確的是（ ） A.離地面高度 R 處為4mg B.離地面高度 R 處為 C.離地面高度 2R 處為 D.離地面高度 處為4mg 課堂練習(xí)C第31頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39

12、分，星期四實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)：(“月-地”檢驗(yàn)) 已知月球繞地球的公轉(zhuǎn)周期為27.3天，地球半徑為6.37106m.軌道半徑為地球半徑的60倍。月球繞地球的向心加速度 ？（1）根據(jù)向心加速度公式：a=42r/T2=2.7110-3m/s2（2）根據(jù)F引= GMm/r2 =ma因?yàn)椋?F引 Mm/r2 ， a1/r2a=g/602=2.7210-3m/s2第32頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬有引力定律的應(yīng)用（一）重力與萬有引力的關(guān)系第33頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬有引力和重力的關(guān)系分力:Fn分力:mgF合=由于地球自轉(zhuǎn)， 隨緯度的增加，物體所

13、需的向心力F1減小 所以隨緯度的增加，物體的重力mg不斷增大。 重力與緯度的關(guān)系赤道：兩極：其他位置：萬有引力的效果第34頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四重力和高度的關(guān)系上空h處：地球表面處：第35頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬有引力定律的應(yīng)用（二）求中心天體的質(zhì)量和密度第36頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四應(yīng)用一：計(jì)算天體質(zhì)量例1.登月密封艙在離月球表面h處的空中沿圓形軌道運(yùn)行,周期是T,已知月球的半徑是R,萬有引力常數(shù)是G,據(jù)此試計(jì)算月球的質(zhì)量.變式訓(xùn)練1.登月密封艙在離月球表面h處的空中沿圓形軌道運(yùn)行,線速

14、度為V,已知月球的半徑是R,萬有引力常數(shù)是G,據(jù)此試計(jì)算月球的質(zhì)量.第37頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四應(yīng)用一：計(jì)算天體質(zhì)量變式訓(xùn)練2.登月密封艙在離月球表面h處的空中沿圓形軌道運(yùn)行,角速度為w,已知月球的半徑是R,萬有引力常數(shù)是G,據(jù)此試計(jì)算月球的質(zhì)量.變式訓(xùn)練3.登月密封艙繞月球沿圓形軌道運(yùn)行,角速度為w,線速度為V，已知萬有引力常數(shù)是G,據(jù)此試計(jì)算月球的質(zhì)量.第38頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四例2.在某行星上.宇航員用彈簧測力計(jì)稱得質(zhì)量為m的砝碼重力為F,乘宇宙飛船在靠近該星球的表面空間飛行時(shí),測的其環(huán)繞周期為T,萬有引力常量為G

15、,根據(jù)這些數(shù)據(jù)求星球的質(zhì)量重力加速度g也有可能通過以下方式給出：1.自由落體運(yùn)動(dòng)2.豎直方向的拋體運(yùn)動(dòng)3.平拋運(yùn)動(dòng)應(yīng)用一：計(jì)算天體質(zhì)量第39頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四應(yīng)用二：計(jì)算天體密度例1.登月密封艙在離月球表面h處的空中沿圓形軌道運(yùn)行,周期是T,已知月球的半徑是R,萬有引力常數(shù)是G,據(jù)此試計(jì)算月球的質(zhì)量.例2.在某行星上.宇航員用彈簧測力計(jì)稱得質(zhì)量為m的砝碼重力為F, 測得該星球的半徑為R,萬有引力常量為G,根據(jù)這些數(shù)據(jù)求星球的質(zhì)量注意區(qū)分天體半徑與軌道半徑第40頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四應(yīng)用三：發(fā)現(xiàn)未知天體背景：1781年由

16、英國物理學(xué)家威廉赫歇爾發(fā)現(xiàn)了天王星，但人們觀測到的天王星的運(yùn)行軌跡與萬有引力定律推測的結(jié)果有一些誤差 1845年英國人亞當(dāng)斯和法國天文學(xué)家勒維耶各自獨(dú)立用萬有引力定律計(jì)算發(fā)現(xiàn)了“海王星”（第8個(gè)行星）。第41頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四作業(yè)：1.用宇宙飛船把宇航員送到月球上，如果他已知月球的半徑為R，一鐵球從h高出自由落下，宇航員測得落地時(shí)間為t，試求月球的質(zhì)量和密度？(已知引力常量為G）2. 1798年英國物理學(xué)家卡文迪許測出萬有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質(zhì)量的人，若已知萬有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)

17、間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間T2（地球公轉(zhuǎn)的周期），地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽中心的距離為L2，試求地球的質(zhì)量和密度？第42頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬有引力定律的應(yīng)用（三）人造衛(wèi)星與宇宙速度第43頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四嫦娥奔月外國人的飛天夢古人的夢想第44頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬戶飛天第45頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四300年前牛頓的猜想牛頓的手稿思考討論1:物體初速度達(dá)到多大時(shí)就可以成為一顆人造衛(wèi)星呢?一、人造衛(wèi)星的發(fā)射原理第46頁

18、，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四齊奧爾科夫斯基“宇宙航行之父”前蘇聯(lián)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”中國第一顆人造地球衛(wèi)星第47頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第48頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四(A)通訊衛(wèi)星(B)氣象衛(wèi)星（C）地球資源衛(wèi)星（D）第三顆“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星第49頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四我國發(fā)射的人造衛(wèi)星類型第50頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四各種各樣的衛(wèi)星返回第51頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第52頁，共8

19、5頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四假設(shè)：人造衛(wèi)星質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，人造衛(wèi)星到地心的距離為r。第一宇宙速度理想模型勻速圓周運(yùn)動(dòng)rMm已知：G=6.6710-11Nm2/kg2,M=5.981024kg,RE=6.37106m。請問：靠近地面運(yùn)行的人造衛(wèi)星的飛行速度v是多少？= 7.9km/s解答：RE 這就是人造地球衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的最低發(fā)射速度，叫做第一宇宙速度。第53頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四發(fā)射速度與運(yùn)行速度第54頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第55頁，共85頁，2022年，5月2

20、0日，19點(diǎn)39分，星期四第一宇宙速度(環(huán)繞速度）：第二宇宙速度（脫離速度）：11.2km/s第三宇宙速度（逃逸速度）：16 .7km/s衛(wèi)星環(huán)繞地球飛行的最大速度（最大的環(huán)繞速度）地球上發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度衛(wèi)星擺脫地球的引力，不再繞地球飛行衛(wèi)星擺脫太陽的引力，飛出太陽系宇宙速度7.9km/s第56頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬有引力定律的應(yīng)用（四）同步衛(wèi)星第57頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四地球同步衛(wèi)星： 相對于地面靜止且與地球自轉(zhuǎn)周期相同的衛(wèi)星叫地球同步衛(wèi)星。同步衛(wèi)星第58頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四

21、1.對于繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,在下列給出的四個(gè)圖中(1)哪些可能是衛(wèi)星的軌道?(2)哪些可能是同步衛(wèi)星的軌道?【ABD】【D】ABCD第59頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四FF同步衛(wèi)星第60頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四FF同步衛(wèi)星第61頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四所有同步衛(wèi)星都具有如下特點(diǎn)：1.軌道：只能分布在一個(gè)確定的赤道上方軌道上。 離地面高度:h=36000km。 2.周期：與地球自轉(zhuǎn)的周期相同，即T24h。 角速度：與地球的自轉(zhuǎn)角速度相同。 線速度: v =3.1km/s。同步衛(wèi)星第62頁，共85頁

22、，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第63頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四例1. 在地球上空有許多同步衛(wèi)星,對于這些同步衛(wèi)星:A.一定位于赤道平面內(nèi),在赤道的正上方B.它們的質(zhì)量可能不同,高度、速率一定相同C.它們的速度大于7.9km/sD.它們的加速度一定小于9.8m/s2第64頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四例2. 已知一繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的軌道半徑為r，地球的質(zhì)量為M,萬有引力常量為G，試求：（1）線速度V；（2）角速度W；（3）周期T；（4）向心加速度a；第65頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四衛(wèi)

23、星的線速度v、角速度、周期T與軌道半徑r的關(guān)系第66頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四 如圖所示, A為赤道上的物體, B為環(huán)繞地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星, C為同步衛(wèi)星.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度分別為v1、v2、v3;角速度為1、 2、 3,加速度為a1、a2、a3.寫出它們的表達(dá)式,比較它們的大小.思考？第67頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四萬有引力定律的應(yīng)用（五）衛(wèi)星變軌問題的分析與計(jì)算第68頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四若F萬=F向，供求平衡-物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若F萬F向，供求不平衡-物體做向心運(yùn)動(dòng)。變軌的理論

24、基礎(chǔ)第69頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四第70頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四問題1：試比較V1A,V2A ,V2B,V3B的大小關(guān)系？v2BBAv3Bv1Av2A軌道1軌道2軌道3第71頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四問題2：試比較加速度a1A,a2A ,a2B,a3B的大小關(guān)系？v2BBAv3Bv1Av2A軌道1軌道2軌道3第72頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四問題3：試比較周期T1，T2，T3的大小關(guān)系？v2BBAv3Bv1Av2A軌道1軌道2軌道3第73頁，共85頁，2022年，5

25、月20日，19點(diǎn)39分，星期四問題4：試比較機(jī)械能E1，E2，E3的大小關(guān)系？v2BBAv3Bv1Av2A軌道1軌道2軌道3第74頁，共85頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)39分，星期四例1.發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖所示。則在衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是：A、衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率。B、衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度。C、衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度。D、衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度。第75頁，共85頁，20