導(dǎo)數(shù)專題(四)恒成立問題教師版

1、導(dǎo)數(shù)專題(四)恒成立問題(2014西城一模理)18(本小題滿分13分)(分段函數(shù))xlnx,xa,已知函數(shù)f(x)其中a0.fX22x3,xiln/.(對(duì)數(shù)運(yùn)算、用前問結(jié)論)1%(I)求曲線yfH在點(diǎn),fI0般的切線方程；(II)求證：當(dāng)，11時(shí)，f2:上:3(ni)設(shè)實(shí)數(shù)k使得fitk:%3!對(duì)，11恒成立，求k的最大值.318.解析(1)由題可知函數(shù)f電定義域是1,11則f,f.2,f.0,從而11%2曲線yf1在點(diǎn)，f處的切線方程為y2%.(2)構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式.設(shè)g*f嗎：則g1k0,g-1-2H%22%L,31%21%2當(dāng)%,叫g(shù)一,即g1在,1I上單調(diào)遞增，從而gg,即f2.

2、三i寸任意%1|恒成立.3I%3(3)構(gòu)造函數(shù)P11.lnHk.一.1又P.0,若p.0對(duì)%,1I恒成立，則%|3p0。，又Pit%*_2_kH%22*k*%4,即p2Bk0,得k2，又當(dāng)k2時(shí),1%21%2f2;蘭二寸%，1|恒成立，因此k的最大值為2.I3|(2015上學(xué)期期末東城文)(20)(本小題共14分)(雙參數(shù))已知函數(shù)f(%)aln%b%2,a,bP(I)若f(%)在%1處與直線y相切，求a,b的值;(II)在(I)的條件下，求f(x)在1,e上的最大值；e(III)若不等式f(x)x對(duì)所有的b(,0,x(e,e2都成立，求a的取值范圍aTOC o 1-5 h z解：(I)f(x

3、)2bxx|f.)0,.2b0,由函數(shù)f(x)在x1處與直線yBB1相切，得1即12薩B2.1,解得1b.14分(II)由(I)得f(x)lnx1x2,定義域?yàn)?0,).1x2此時(shí)f妣)x=上x-.令f耽)0，解得0 x1，令f(x)0，得x1.xx所以f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,e)上單調(diào)遞減，e8分所以f(x)在1,e上的最大值為f(1)18分e2(I)若不等式f(x)x對(duì)所有的b(,0,x(e,e2都成立，即alnxbx2x對(duì)所有的b(,0,x(e,e2都成立，即aInxBxbx2對(duì)所有的b(,0,x(e,e2都成立，即aInxx0對(duì)x(e,e2恒成立.11分x即a-一對(duì)x(

4、e,e2恒成立，lnx即a大于或等于4在區(qū)間(e,e2上的最大值.lnxxlnx1令h(x)-一，則h(x)=，當(dāng)x(e,e2時(shí)，h熟)0,h(x)單調(diào)遞增，lnx(lnx)2xe2e2lnx22所以h(x)-,x(e,e2的最大值為h(e2).即alnx22e2所以a的取值范圍是,).14分(2014海淀一模理)18.(本小題滿分13分)(雙參數(shù))已知曲線C:yeax.(I)若曲線C在點(diǎn)(0,1)處的切線為y2xm，求實(shí)數(shù)a和m的值；(II)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線l:yaxb的上方，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.18解TOC o 1-5 h z(I)yaea,2分xID因?yàn)榍€C在點(diǎn)(0,1)處

5、的切線為L：y2xm,所以120m且y2.4xID解得m1,a25分(II)法1：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線的yaxb的上方，等價(jià)于Vx,aR,都有eaxaxBb,即7x,ar,eaxBaxb0恒成立，6分令g(x)eaxaxb,7分若a=0,則g(x)1b,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是b1；8分若a0,g喙)a(eax),由g(x)0得x0,9分g(x),g(x)的情況如下：x(-0)x(-0)g(x)g(x)0()0+極小值11分所以g(x)的最小值為g(0)1Bb,12分所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是b1；綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是b1.13分法2：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線的yaxb的上方，等價(jià)于都有ea%a%b，即TOC o 1-5 h zV%,aR,bea%Max恒成立，6分令tmax，則等價(jià)于VtR,beti恒成立，令g(t)etHr，則g)et*,7分由g(t)0得t0,9分g(t),g(