新高考復習作業(yè)17：恒成立與有解問題【解析】

1、高三年數學科-限時作業(yè)新高考復習作業(yè)17恒成立與有解問題班級:姓名： 實際用時:分鐘 得分:1.函數/(x)=mevx2.(1)假設 2=1,求曲線y=r)在(0,10)處的切線方程；(2)假設關于x的不等式x)2x(4根e，)在0,+8)上恒成立，求實數機的取值范圍.解：(1)當加=1 時，./U) = e%2,那么/ (x) = eA-2x.所以/0)=L且斜率=/ (0)=1.故所求切線方程為y1=居 即xy+l=0.(2)由加e1%2 2x(4一 機e)得 mev(x +1)+4x.(x4x 故問題轉化為當%20時，心屋I Jmax.g(x)=1(x+iy “I”/ (x+2X/+2x

2、-2)川 g W= (葉1)2爐，x-0，由 g (x) =。及 x0，得 1.當e(0,小一 1)時,gr (x)0, g(x)單調遞增；當不(/一1, +8)時，g，a)vo, g(x)單調遞減.所以當了=小一1時，g(X)max = g(S1) = 21%尸.所以 m2el yp.即實數機的取值范圍為QeL，5, +8).設函數/(x) = ln x+，(a為常數).(1)討論函數7U)的單調性;不等式在x(0,l上恒成立，求實數Q的取值范圍.zj 1 ya解：(1加處的定義域為(0, +), / (X)=-2+-=- /V/V 人當 qWO 時，又 x0, .x-a09 :(x)0,r

3、)在定義域(0, +8)上單調遞增；當。0時，假設，那么/ (x)0,JU)單調遞增；假設 0XQ,那么 fr (x)0時，)在區(qū)間(0,。)上單調遞減，在區(qū)間3，+8)上單調遞增.(2加工)三 1 + In x，1 臺In x+10a2 xln x+x 對任意 x (01恒成立.令 g(x)= xlnx+x, %G(0,l.貝I / (x)= In xx+1 = In xO, x(0, g(x)在(0上單調遞增，g(x)max = g( 1) = 1, ，心1,故。的取值范圍為1, +).函數,外處二%2一lnx.(1)當4=2時，試判斷函數/U)的單調性；(2)當。0時，假設對任意的x(9

4、, +8), x)九2_恒成立，求的取值范圍.2 2(x2 1)解：(1)當。=2 時，犬光)=f21nx(x0),因為/ (x) = 2x=-:：.X X所以令/ (x)0 得 X1;令/ (x)vo 得 0 x/一e+。即 e，(l+lnx),因為 %(9, +,所以 l+lnx0, 所以當。0時，對任意+ aTT一恒成立.e 71 +ln xe”(、e，(l+lnx-令 g(%)=+ln、+8)，貝g(#= (l+lnx)2 ，令/z(x)=l+lnx顯然7i(x)在(9, +8)上單調遞增，由于 /z(l)=l+ln 1 1 =0,所以當:xvl 時，/i(x)0, gf (x)l 時

5、，/z(x)0, / (x)0,所以函數g(X)在(，1)上單調遞減，在(1, +8)上單調遞增，所以 g(x)Ng(l)=e,所以 0tzl),設 g(x)=lInx(xl),解：(1).7(幻=/31),/(X)= (xl1)2111 設 g(x)=lInx(xl),1Inxxa尸(i)2 Q(1)=蘆一；=中。，g(x)在(1，+8)上為減函數，.ga1Inxxa尸(i)2 QX L(2)lnxvQ1)在(1,+8)上恒成立01nxa(x1)0,以劃為增函數，/i(x)/z(l)=O,顯然不滿足條件.假設21,那么 x(l, +8)時，今(%)=一一vO 恒成立, X/. /(%) =

6、In 犬一a(x 1)在(1, + 8)上為減函數，/. In %(x l)/z(l)=O 在(1, +8)上恒成立，.Inxa(x1)在(1,+8)上恒成立，滿足題意.假設 0a 假設 0a0,/z(x) = ln xa(x 1)在(晨 J)上為增函數，此時/z(x) = lnl)/z(l)=O,不能使Inxa(x1)在/z(x) = ln xa(x 1綜上，存在實數且5.q為實數，函數/(x) = Hn x+一4x.(1)假設1=3是函數次光)的一個極值點，求實數a的值；1 1(2)設g(x) = (a2)x,假設存在口 e，使得“r()Wg(xo)成立，求頭數。的取值范圍.解：(1)函數

7、人九)的定義域為(0, +8(W=+2xW=+2x4=W=+2x4=W=+2x4=2a24x+axVx=3是函數/(x)的一個極值點，(3)=0,解得。=6.經檢驗，當 =-6時，x=3是函數段)的一個極小值點，符合題意，故。=一6.由 /(X0)Wg(xo),得(M)In M)。焉一2x(),x 1記 F(x)=xIn x(x0),那么/(x) =(x0),當0X1時,F, (x)0, F(x)單調遞增.、xo2xo.6a)2F(i)=i。，.心言而記 記 G(x) =記 G(x) 記 G(x) =x2-2xxIn x那么Gf(x) =(2x2)(xIn x) (x2)(x 1)(x-In

8、那么Gf(x) =(x- l)(x21n x+2) (%In x)21 _Vx , e , A221nx=2(l Inx)0,.*.x21n x+20,.當11)時，G (x)0在元(0, e上恒成立；(2)假設以處=尊+乎+*是否存在實數。，使得g(x)在x(0, e的最小值是3,假設存在, 求。的值；假設不存在，請說明理由.Y解：證明：當 =1時,因為於)0等價于x2(x+l)ln%一夕0,又九(0, e,匕匕 21 In x . 1所以%In x一+小令/z(x)=xIn%, hf (x)=l, 0rl,所以當 0 xl 時，h (x) = 1 0,此時力(九) JCX單調遞減；當l0時，此時/(%)單調遞增.所以/iQ)的極小值人(1)=1.人 In x 1,1-In x令 F(x)=一F (%)= 丁一，所以當OaWe時，Fr (x)0, F(x)在(0, e上單調遞增.所以/(幻0 =尸上)=9+30在(0, e上恒成立.(2)因 為 於)=加一(1+ l)lnx宗 所以華=axln工一生一)，所以In x,假設存在實數m使得g(x)在x(0, e的最小值是3,因為g1 ax 1 (x)-a=V 7 X 因為g當aWO時，g (x)0,所以g(x)在x(0, e上單調遞減,4所以g(x)min=g(e) = ae1=3,解得。=公不