新高考數學第3講 三角函數與解三角形（2021-2022年高考真題）（解析版）

1、第3講 三角函數與解三角形 一、單選題1（2022全國高考真題（理）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且，則C的離心率為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，可判斷在雙曲線的右支，設，即可求出，在中由求出，再由正弦定理求出，最后根據雙曲線的定義得到，即可得解；【詳解】解：依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，所以，因為，所以在雙曲線的右支，所以，設，由，即，則，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C2（2022全國高考真題）若，則（）ABCD【答案】C

2、【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數的商數關系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C3（2022全國高考真題）記函數的最小正周期為T若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A1BCD3【答案】A【解析】【分析】由三角函數的圖象與性質可求得參數，進而可得函數解析式，代入即可得解.【詳解】由函數的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，所以.故選：A4（2022全國高考真題（理）設函數在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數的性質得到不等式組

3、，解得即可【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即故選：C5（2022全國高考真題（理）沈括的夢溪筆談是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點，D在上，“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：當時，（）ABCD【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.6（2022全國高考真題（理）函數在區(qū)間的圖象大致為（）ABCD【答案】A【

4、解析】【分析】由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數，排除BD；又當時，所以，排除C.故選：A.7（2022全國高考真題（文）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.8（2021全國高考真題（文）函數的最小正周期和最大值分別是（）A和B和2C和D和2【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結合三角函數周期性和值域求得函數的最小

5、正周期和最大值.【詳解】由題，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C9（2021全國高考真題（文）（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.10（2021全國高考真題（理）把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（）ABCD【答案】B【解析】【分析】解法一：從函數的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數出發(fā)，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數圖象上所有點的橫坐

6、標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，根據已知得到了函數的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.11（2021全國高考真題（理）魏晉時劉徽撰寫的海島算經是有關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高如圖，點，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A表高B表高C表距D表距【答案】A【解

7、析】【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出【詳解】如圖所示：由平面相似可知，而 ，所以，而 ，即 故選：A.【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉化即可解出12（2021全國高考真題（文）在中，已知，則（）A1BCD3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形13（2021全國高考

8、真題（文）若，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】，解得，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.14（2021全國高考真題（理）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（）A346B

9、373C446D473【答案】B【解析】【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以所以因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以故選：B【點睛】本題關鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉化為15（2021全國高考真題）下列區(qū)間中，函數單調遞增的區(qū)間是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數的單調遞增區(qū)間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區(qū)間為，則，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數的一個單調遞增區(qū)間為，且，CD選項均

10、不滿足條件.故選：A.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數的單調區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數16（2021全國高考真題）若，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果【詳解】將式子進行齊次化處理得：故選：C【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論二、多選題17（2022全國高考真題）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（）A在區(qū)間單調遞減B在區(qū)間有兩個極

11、值點C直線是曲線的對稱軸D直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據三角函數的性質逐個判斷各選項，即可解出【詳解】由題意得：，所以，即，又，所以時，故對A，當時，由正弦函數圖象知在上是單調遞減；對B，當時，由正弦函數圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數的唯一極值點；對C，當時，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數在點處的切線斜率為，切線方程為：即故選：AD18（2021全國高考真題）已知為坐標原點，點，則（）ABCD【答案】AC【解析】【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據向量的坐標，應用向量數量積的坐標表示及兩角和差公式化簡

12、，即可判斷正誤.【詳解】A：，所以，故，正確；B：，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，正確；D：由題意得：，故一般來說故錯誤；故選：AC三、填空題19（2022全國高考真題（理）記函數的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】首先表示出，根據求出，再根據為函數的零點，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解： 因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時；故答案為：20（2022全國高考真題（理）已知中，點D在邊BC上，當取得最小值時，_【答案】#【解析】【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.【

13、詳解】設，則在中，在中，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.21（2021全國高考真題（文）已知函數的部分圖像如圖所示，則_.【答案】【解析】【分析】首先確定函數的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當時，令可得：，據此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)Acos(x)(A0，0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令x00(或x0)，即可求出.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解

14、析式，再結合圖形解出和，若對A，的符號或對的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.22（2021全國高考真題（理）已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為_【答案】2【解析】【分析】先根據圖象求出函數的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數或驗證數值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數為2.方法二：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數為2.故答案為：2.【點睛】關鍵點睛：根據圖象求解函數的解析式是本題

15、求解的關鍵，根據周期求解，根據特殊點求解.23（2021全國高考真題（理）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.四、解答題24（2022全國高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知(1)求的面積；(2)若，求b【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，

16、整理得，則，又，則，則；(2)由正弦定理得：，則，則，.25（2022全國高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；（2）由（1）知，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，所以，而，所以，即有所以當且僅當時取等號，所以的最小值為26（2022全國高考真題（文）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】【分析】

17、（1）根據題意可得，再結合三角形內角和定理即可解出； （2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據正弦定理，余弦定理化簡即可證出(1)由，可得，而，所以，即有，而，顯然，所以，而，所以(2)由可得，再由正弦定理可得，然后根據余弦定理可知，化簡得：，故原等式成立27（2022全國高考真題（理）記的內角的對邊分別為，已知(1)證明：；(2)若，求的周長【答案】(1)見解析(2)14【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)解：因為，由（

18、1）得，由余弦定理可得， 則，所以，故，所以，所以的周長為.28（2021全國高考真題）在中，角、所對的邊長分別為、，.（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出，結合已知條件求出的值，進一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數的基本關系求出，再利用三角形的面積公式可求得結果；（2）分析可知，角為鈍角，由結合三角形三邊關系可求得整數的值.【詳解】（1）因為，則，則，故，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，故.29（2021全國高考真題）記是內角，的對邊分別為，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即又因為，所以（2）方法一【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，在中，由得，整理得又因為，所以，解得或，當時，（舍去）當時，所以方法二：等面積法和三