經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型課件

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型2022/9/30經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型2022/9/28經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型2. 參考書1. 宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析方法與模型, 劉起運(yùn) 主編,高教 2. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型, 洪毅 等 編著 華南理工大學(xué)3. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的分析方法, 高山晟(美) 著, 劉振亞 譯,中國人大4. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法與模型，安吉爾.德.拉.弗恩特 著, 朱保華 錢曉明 譯 上海財(cái)大5. 經(jīng)濟(jì)學(xué)的結(jié)構(gòu)-數(shù)量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著, 高峰 等譯, 清華經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型2. 參考書經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型第一部分經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的概念及建模方法經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型第一部分經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的概念及建模方法經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)

2、模型1.1數(shù)學(xué)模型和模型的建立一、模型和數(shù)學(xué)模型1. 模型：人們?yōu)榱松羁痰卣J(rèn)識和理解原型問題而對其所作的一種抽象和升華，其目的是通過對模型的分析、研究加深對原型問題的理解和認(rèn)識。2. 數(shù)學(xué)模型：通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行的一個(gè)近似的描述，以便于人們更加深入地認(rèn)識所研究的對象。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.1數(shù)學(xué)模型和模型的建立一、模型和數(shù)學(xué)模型1. 模型：人 對實(shí)際問題的分析、歸納，做出一些必要且合理的假設(shè)條件，將實(shí)際問題中的一些指標(biāo)進(jìn)行量化；(2) 給出描述問題的數(shù)學(xué)提法；(3) 利用數(shù)學(xué)理論和方法或計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析, 得出結(jié)論；(4) 利用現(xiàn)實(shí)問題驗(yàn)證結(jié)論的合理性，并作修正.3. 需要解決

3、幾個(gè)問題：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 對實(shí)際問題的分析、歸納，做出一些必要且合理的假設(shè)條件，4.數(shù)學(xué)模型建模的步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型改進(jìn)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型4.數(shù)學(xué)模型建模的步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分二、建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)實(shí)例1、問題的提出： 設(shè)市場上有n 種資產(chǎn)Si( i=1,2,n) 可供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 M 的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)人員對這 n 種資產(chǎn)進(jìn)行了評估，估計(jì)出在這一時(shí)期內(nèi)購買資產(chǎn) Si 的平均收益率為 ri, 且預(yù)測出購買資產(chǎn)Si 的風(fēng)險(xiǎn)損失為qi。 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型二、建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)實(shí)例1、問題的提出： 設(shè)

4、 考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小。公司決定在運(yùn)用這批資金購買若干資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用在資產(chǎn)Si中所投資產(chǎn)的最大風(fēng)險(xiǎn)來度量。 購買資產(chǎn)Si 的需要支付交易費(fèi)，其費(fèi)率為pi, 并且當(dāng)購買額不超過u i時(shí), 交易費(fèi)按購買額 ui 計(jì)算。設(shè)同期銀行存款利率是r0=5%, 且存取款時(shí)既無交易費(fèi)也無風(fēng)險(xiǎn)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小。公經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模2. 對問題的定位：最優(yōu)化問題 需要確定購買資產(chǎn)Si 的具體投資額 xi ,即建立投資組合，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)：(1) 凈收益最大化；(2) 整體風(fēng)險(xiǎn)最小化；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型2. 對問題的定位：最優(yōu)化問題 需要確定購3. 建模準(zhǔn)備：(1)決策變量： 資產(chǎn)Si

5、( i =0,1,n)的投入量xi , i =0,1, n, 其中S0 表示將資產(chǎn)存入銀行。(2)投資收益： 購買資產(chǎn)Si (i=0,1,2, n)的收益率為 ri, 因此投資 xi 的收益率為 rixi , 除去交易費(fèi)用ci(xi)，則投資 xi 的凈收益為 Ri=rixi - ci(xi)。從而，總投資的總收益為 R(x)=Ri(xi)。 用數(shù)學(xué)符號和公式表述決策變量、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型3. 建模準(zhǔn)備：(1)決策變量： 資產(chǎn)Si (3)投資風(fēng)險(xiǎn)： 購買資產(chǎn)Si ( i=0,1,2, n ) 的風(fēng)險(xiǎn)損失為qi , 因此投資xi 的收益率為qi xi, 其總體風(fēng)險(xiǎn)用Si的風(fēng)

6、險(xiǎn)，即 Qi(xi)= qi xi最大的一個(gè)來度量。從而總投資的風(fēng)險(xiǎn)損失為 Q (x)= maxQi(xi)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(3)投資風(fēng)險(xiǎn)： 購買資產(chǎn)Si ( i=0,1,(4) 約束條件：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(4) 約束條件：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型b. 記 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 1=(1, 1, 1, ,1)T, c=(c0, c1, c2, , cn)T, r=(r0, r1, r2, ,rn )T,總凈收益R(x), 整體風(fēng)險(xiǎn)Q(x)和總資金F(x)各為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型b. 記 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 4. 兩目標(biāo)優(yōu)化模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型4. 兩目標(biāo)優(yōu)化模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型

7、5. 單目標(biāo)優(yōu)化模型求解模型令模型1求最大化收益。給定風(fēng)險(xiǎn)水平給定風(fēng)險(xiǎn)水平經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型5. 單目標(biāo)優(yōu)化模型求解模型令模型1求最大化收益。給定風(fēng)險(xiǎn)水求解模型模型2求最小化風(fēng)險(xiǎn)。給定盈利水平令經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型求解模型模型2求最小化風(fēng)險(xiǎn)。給定盈利水平令經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型模型3 給定投資者對風(fēng)險(xiǎn)-收益的相對偏好參數(shù)0，求解模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型模型3 給定投資者對風(fēng)險(xiǎn)-收益的相對偏好經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型6. 簡化交易費(fèi)用下的模型uipiuixici0(1) 交易費(fèi)用函數(shù)為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型6. 簡化交易費(fèi)用下的模型uipiuixici0(1) 交 由于固定費(fèi)用pi ui 的存在在，使得前面的模型是非線性模型，很難求解模型。表示投資

8、于Si 的資金比例。在實(shí)際計(jì)算中，常假設(shè)M=1，則 當(dāng)M 很大而 ui 相對較小時(shí)，可略去 pi ui 的作用，即ci(xi)=pixi, 則資金約束條件變?yōu)椋航?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 由于固定費(fèi)用pi ui 的存在在，使得前面表示投資于(3) 簡化交易費(fèi)用下的模型：LP1：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(3) 簡化交易費(fèi)用下的模型：LP1：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型LP2：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型LP2：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型LP3：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型LP3：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.2 優(yōu)化模型的求解方法(1) 多元函數(shù)的無(有)條件極值；(2)* 線性(或非線性)規(guī)劃方法；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.2 優(yōu)化模型的求解方法(1) 多元函數(shù)的無(有)條件1.2.1 多元函數(shù)的極值

9、(一) 多元函數(shù)的極值 設(shè) n 元函數(shù) f (x1, x2, xn) 具有3 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.2.1 多元函數(shù)的極值 (一) 多元函數(shù)的極值經(jīng)濟(jì)數(shù)將函數(shù) f (x1, x2, xn)在點(diǎn) =(a1, a2, an)T處展開，有其中R 是余項(xiàng), 包含 (xi -ai) 的 3 次以上的項(xiàng)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型將函數(shù) f (x1, x2, xn)在點(diǎn) =(a1, 當(dāng)xi 在 ai 附近變化時(shí)，R是高階無窮小。若=(a1, a2, an)T 是極大值點(diǎn)時(shí)，有因此，有經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 當(dāng)xi 在 ai 附近變化時(shí)，R是高階無窮小。若=(a 由于 f (a1, a2, an) 是極大值,當(dāng)X 在 a

10、 附近變化時(shí)，省略高階無窮小R ，則有記經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 由于 f (a1, a2, an) 是極則(1.6)變?yōu)?由于yi = xi ai 在 0 附近變化時(shí)(1.7)式均成立，所以YTHY 0 對所有Y 均成立，即H是負(fù)定矩陣，或者說 H 是正定矩陣。注：矩陣H 的正定性的判斷方法(1)矩陣對應(yīng)的二次型大于0；(2) 矩陣H 的順序主子式全大于0；(3) 矩陣H 的特征值全大于0。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型則(1.6)變?yōu)?由于yi = xi ai (二) 多元函數(shù)極值的判斷定理1.1 設(shè)n元函數(shù) f (x1, x2, xn) 具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處鄰域內(nèi)有定義，|H|0

11、，則函數(shù) f (x1, x2, xn) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處達(dá)到極大值的充分必要條件是且是負(fù)定矩陣(海森矩陣)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(二) 多元函數(shù)極值的判斷定理1.1 設(shè)n元函數(shù) f 定理1.2 設(shè)n元函數(shù) f (x1, x2, xn) 具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)X = (a1, a2, an)T處鄰域內(nèi)有定義，|H|0，則函數(shù) f (x1, x2, xn) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處達(dá)到極小值的充分必要條件是且是正定矩陣(海森矩陣)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型定理1.2 設(shè)n元函數(shù) f (x1, x2, xn)1.2.3 二次多項(xiàng)式函數(shù)的極值 函數(shù) f (x1, x2, xn)是二次多

12、項(xiàng)式時(shí)，設(shè)矩陣 AT=A，記注： 當(dāng)B = 0，且C = 0 時(shí)，f (X)即是線性代數(shù)中的二次型。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.2.3 二次多項(xiàng)式函數(shù)的極值 函數(shù) f推論1.1 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C 是一個(gè)二次多項(xiàng)式，且 AT=A 。則函數(shù) f (X) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T 處達(dá)到極大值的充分必要條件是且矩陣A是負(fù)定矩陣。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型推論1.1 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C 是推論1.2 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C是一個(gè)二次多項(xiàng)式，且 AT=A 。則函數(shù) f (X) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處達(dá)到極小值的充分必要條件是且矩陣A是正定矩陣。經(jīng)濟(jì)

13、數(shù)學(xué)模型推論1.2 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C是一個(gè)1.2.2 多元函數(shù)條件極值 Lagrange multiplier經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.2.2 多元函數(shù)條件極值 Lagra在一定的約束條件下求解問題的最優(yōu)化解。 設(shè)n 元函數(shù) u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有m 個(gè)約束條件：(一)約束條件問題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型在一定的約束條件下求解問題的最優(yōu)化解。(一)約束條件問題經(jīng)濟(jì)(1) 函數(shù) u = f (x1, x2, xn) 的自變量的變化范圍受到限制，必須滿足m個(gè)約束條件。(2) 要求在這 m 個(gè)約束條件下求解函數(shù) u = f (x1, x2, xn) 的

14、極大值或極小值函數(shù) u 的條件極值。說明：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型說明：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(二) Lagrange multiplier 函數(shù) 引入 m 個(gè)拉格朗日乘數(shù) 1, 2, ,m , 構(gòu)造新的函數(shù) 拉格朗日乘子函數(shù)：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(二) Lagrange multiplier 函數(shù) (三) 條件極值存在的必要條件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(三) 條件極值存在的必要條件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(四)應(yīng)用實(shí)例(一) 一束光線由空氣中A點(diǎn)經(jīng)過水面折射后到達(dá)水中B點(diǎn)(如圖示)。已知光在空氣和水中傳播的速度分別是v1 和v2 , 光線在介質(zhì)中總是沿著耗時(shí)最少的路徑傳播, 試確定光線的路徑。OQh2h1PAB12x空氣水經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(四)應(yīng)用

15、實(shí)例(一) 一束光線由空氣中A點(diǎn)經(jīng)過水面折射后到解：設(shè)點(diǎn) A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點(diǎn)B 到水面的垂直距離為BQ= h2, x 軸沿水面過點(diǎn)O、Q, OQ = l。 根據(jù)條件可知光線在同一種介質(zhì)中傳播時(shí)是按直線方式傳播的，因而光線從 A 點(diǎn)到B 點(diǎn)應(yīng)該經(jīng)過折射點(diǎn)P, 其路徑為折線 APB，所需時(shí)間為：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型解：設(shè)點(diǎn) A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點(diǎn)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 下面確定在 x何值時(shí)，T(x)在0, l上取得最小值。當(dāng) x0, l 時(shí)，由于經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 下面確定在 x何值時(shí)，T(x)在0, l上又T (x)在0, l上連續(xù)，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零點(diǎn)

16、 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )內(nèi)唯一的極小值點(diǎn)。設(shè) x0滿足 T (x)=0, 即 與 1 聯(lián)系與 2 聯(lián)系經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型又T (x)在0, l上連續(xù)，T (x)在 x(因此， 即當(dāng)點(diǎn) P 滿足上述條件時(shí)，APB即是光線的傳播途徑。記經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型因此， 即當(dāng)點(diǎn) P 滿足上述條件時(shí)，APB即是(四)應(yīng)用實(shí)例(二) 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺電視機(jī)的成本為c, 每臺電視機(jī)的銷售價(jià)格為 p, 銷售量為 x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài) ，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量。根據(jù)市場預(yù)測，銷售量 x與銷售價(jià)格 p 之間有如下關(guān)系： 其中M 為市場最大需求量，a 是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分

17、析，對每臺電視機(jī)的生產(chǎn)成本 c 有如下測算：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(四)應(yīng)用實(shí)例(二) 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺電視機(jī)的成本為c,其中c0 是只生產(chǎn)一臺電視機(jī)的成本，k 是規(guī)模系數(shù)。根據(jù)上述條件，應(yīng)該如何確定電視機(jī)的銷售價(jià)格 p, 才能使該廠獲得最大利潤？ 分析：在生產(chǎn)和銷售商品過程中，商品銷售量、生產(chǎn)成本與銷售價(jià)格 是相互影響的。廠商只有選擇合理的銷售價(jià)格最優(yōu)價(jià)格，才能獲得最大利潤。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型其中c0 是只生產(chǎn)一臺電視機(jī)的成本，k 是規(guī) 解：設(shè)廠家獲得的利潤為u, 每臺電視機(jī)的生產(chǎn)成本為c,銷售價(jià)格為p,銷售量為x, 則利潤函數(shù)為 u = (p - c) x (3)問題變化為在條件(1)(2)下求解利潤

18、函數(shù)的最大值。 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型解：設(shè)廠家獲得的利潤為u, 每臺電視機(jī)的生經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型令經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型令經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(10)(11)(12)及(5)，可得經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(1最優(yōu)銷售價(jià)格為說明：在最優(yōu)銷售價(jià)格p*的表達(dá)式中含有待定的規(guī)模參數(shù)k、價(jià)格系數(shù)a。為了確定電視機(jī)的最優(yōu)銷售價(jià)格，必須預(yù)先給出這些參數(shù)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型最優(yōu)銷售價(jià)格為說明：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)：微積分的相關(guān)內(nèi)容1. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法；2. 多元函數(shù)的無條件極值的求法；3. 多元函數(shù)的條件極值的求法；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型

19、復(fù)習(xí)：微積分的相關(guān)內(nèi)容1. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法；經(jīng)濟(jì)數(shù)1.2 優(yōu)化模型的求解方法(1) 一元函數(shù)的無(有)條件極值；(2) 多元函數(shù)的無(有)條件極值；(3)* 線性(或非線性)規(guī)劃方法；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.2 優(yōu)化模型的求解方法(1) 一元函數(shù)的無(有)條件定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1) “左正右負(fù)” ,(2) “左負(fù)右正” ,(1) 一元函數(shù)的極值與最大(小)值經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1) “定理2 (極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 .證: (1)存在由第一判別法知(2) 類似可證

20、.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型定理2 (極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且則 二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法:(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2) 最大值最小值經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí), 當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)例1. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB

21、,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為問D 點(diǎn)應(yīng)如何選取? 使貨物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,20km ,條公路, 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型例1. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C ( k 為某一常數(shù) )解: 設(shè)則令得 又所以 為唯一的極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .總運(yùn)費(fèi)從而為最小點(diǎn) ,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型( k 為某一常數(shù) )解: 設(shè)則令得 又所以 例2. 一束光線由空氣中A點(diǎn)經(jīng)過水面折射后到達(dá)水中B點(diǎn)(如圖示)。已知光在空氣和水中傳播的速度分別是v1 和v2 , 光線在介質(zhì)中總是沿著耗時(shí)最少的路徑傳播, 試確定光線的路徑。O

22、Qh2h1PAB12x空氣水經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 例2. 一束光線由空氣中A點(diǎn)經(jīng)過水面折射后到達(dá)水中B點(diǎn)(如解：設(shè)點(diǎn) A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點(diǎn)B 到水面的垂直距離為BQ= h2, x 軸沿水面過點(diǎn)O、Q, OQ = l。 根據(jù)條件可知光線在同一種介質(zhì)中傳播時(shí)是按直線方式傳播的，因而光線從 A 點(diǎn)到B 點(diǎn)應(yīng)該經(jīng)過折射點(diǎn)P, 其路徑為折線 APB，所需時(shí)間為：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型解：設(shè)點(diǎn) A 到水面的垂直距離為 AO= h1, 點(diǎn)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 下面確定在 x何值時(shí)，T(x)在0, l上取得最小值。當(dāng) x0, l 時(shí)，由于經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 下面確定在 x何值時(shí)，T(x)在0, l上又T (x)在0, l上

23、連續(xù)，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一的零點(diǎn) x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )內(nèi)唯一的極小值點(diǎn)。設(shè) x0滿足 T (x)=0, 即 與 1 聯(lián)系與 2 聯(lián)系經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型又T (x)在0, l上連續(xù)，T (x)在 x(因此， 即當(dāng)點(diǎn) P 滿足上述條件時(shí)，APB即是光線的傳播途徑。記經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型因此， 即當(dāng)點(diǎn) P 滿足上述條件時(shí)，APB即是 (二) 多元函數(shù)的極值 設(shè) n 元函數(shù) f (x1, x2, xn) 具有3 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 (二) 多元函數(shù)的極值經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型將函數(shù) f (x1, x2, xn)在點(diǎn) =(a1, a2, an)T處展開，有其中R 是余項(xiàng), 包

24、含 (xi -ai) 的 3 次以上的項(xiàng)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型將函數(shù) f (x1, x2, xn)在點(diǎn) =(a1, 當(dāng)xi 在 ai 附近變化時(shí)，R是高階無窮小。若=(a1, a2, an)T 是極大值點(diǎn)時(shí)，有因此，有經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 當(dāng)xi 在 ai 附近變化時(shí)，R是高階無窮小。若=(a 由于 f (a1, a2, an) 是極大值,當(dāng)X 在 a 附近變化時(shí)，省略高階無窮小R ，則有記經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 由于 f (a1, a2, an) 是極則(1.6)變?yōu)?由于yi = xi ai 在 0 附近變化時(shí)(1.7)式均成立，所以YTHY 0 對所有Y 均成立，即H是負(fù)定矩陣，或者說 H 是正定矩陣。矩陣H 的

25、正定性的判斷方法(1)矩陣對應(yīng)的二次型大于0；(2) 矩陣H 的順序主子式全大于0；(3) 矩陣H 的特征值全大于0。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型則(1.6)變?yōu)?由于yi = xi ai 多元函數(shù)極值的判斷定理1.1 設(shè)n元函數(shù) f (x1, x2, xn) 具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處鄰域內(nèi)有定義，|H|0,則函數(shù) f (x1, x2, xn) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處達(dá)到極大值的充分必要條件是且是負(fù)定矩陣(海森矩陣)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型多元函數(shù)極值的判斷定理1.1 設(shè)n元函數(shù) f (x1, 矩陣H 的正定性的判斷方法(1)矩陣對應(yīng)的二次型大于0；(2) 矩陣H 的順序

26、主子式全大于0；(3) 矩陣H 的特征值全大于0。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型矩陣H 的正定性的判斷方法(1)矩陣對應(yīng)的二次型大于0；(2定理1.2 設(shè)n元函數(shù) f (x1, x2, xn) 具有3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且在點(diǎn)X = (a1, a2, an)T處鄰域內(nèi)有定義, |H|0,則函數(shù) f (x1, x2, xn) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處達(dá)到極小值的充分必要條件是且是正定矩陣(海森矩陣)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型定理1.2 設(shè)n元函數(shù) f (x1, x2, xn)1.2.3 二次多項(xiàng)式函數(shù)的極值 函數(shù) f (x1, x2, xn)是二次多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)矩陣 AT=A，記注： 當(dāng)B = 0，且C = 0 時(shí)，f

27、 (X)即是線性代數(shù)中的二次型。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型1.2.3 二次多項(xiàng)式函數(shù)的極值 函數(shù) f推論1.1 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C 是一個(gè)二次多項(xiàng)式，且 AT=A 。則函數(shù) f (X) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T 處達(dá)到極大值的充分必要條件是且矩陣A是負(fù)定矩陣。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型推論1.1 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C 是推論1.2 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C是一個(gè)二次多項(xiàng)式, 且AT=A。則函數(shù) f (X) 在點(diǎn)X=(a1, a2, an)T處達(dá)到極小值的充分必要條件是且矩陣A是正定矩陣。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型推論1.2 設(shè)函數(shù) f (X)=XTAX+BX+C是一個(gè)多元函數(shù)條件極值 Lagrange multiplier經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型多元函數(shù)條件極值 Lagrange mult 在一定的約束條件下求解問題的最優(yōu)化解。 設(shè)n 元函數(shù) u = f (x1, x2, , xn ) 具有3 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且有m 個(gè)約束條件：(一)約束條件問題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 在一定的約束條件下求解問題的最優(yōu)化解。(一)約束條件問題經(jīng)(1) 函數(shù) u = f (x1, x2, xn) 的自變量的變化范圍受到限制，必須滿足m個(gè)約束條件。(2) 要求在這 m 個(gè)約束條件下求解函數(shù) u = f (x1, x2, xn) 的極大值或極小值函數(shù) u 的條件