北師大版八年級(jí)下冊(cè)-43-公式法-平方差公式-公開課一等獎(jiǎng)優(yōu)秀課件

1、4.3 公式法北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第四章 因式分解第一課時(shí)4.3 公式法北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第四章 因式分解第一課1.理解平方差公式的意義。2.會(huì)用平方差公式因式分解。1.理解平方差公式的意義。2.會(huì)用平方差公式因式分解。1.知識(shí)回顧:把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式叫做因式分解.2.練一練 12xyz-9x2y2+3xy -2x2-12xy2+8xy3 已知a+b=6,ab=7,求a2b+ab2的值. ()xyy-+)yx x-=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y) =(x-y)2 (1)什么叫因式分解?=3xy(7z-3xy+1) =-(2x2+12xy2-8xy3)=-

2、2x(x+6y-4y2)解： a+b=6,ab=7 a2b+ab2 =ab(a+b)=76=421.知識(shí)回顧:把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式叫做因式分解3.平方差: 在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)氖阶?使等號(hào)成立: (1) (x+5)(x-5)=( ) (2) (a+b)(a-b)=( ) (3) x2-25=(x+5 )( ) (4) a2-b2=(a+b )( )x2-25a2-b2x-5a-b問題一:第(1)、(2)兩式從左到右是什么變形?問題二:第(3)、(4)兩式從左到右是什么變形?3.平方差:x2-25a2-b2x-5a-b問題一:第(1)平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)可以看出

3、,我們將多項(xiàng)式a2-b2寫成(a+b)(a-b)的形式,這種分解因式的方法稱為公式法.問題三:請(qǐng)說說平方差公式有什么特點(diǎn)?等式的左邊是多項(xiàng)式,有2項(xiàng),為兩個(gè)數(shù)的平方差.等式的右邊是兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的積.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)可以看出,我們將多平方差公式：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積a-b =(a+b)(a-b)因式分解平方差公式a-b=(a+b)(a-b)整式乘法平方差公式：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的a 如圖（1），在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（ab），把余下部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖（2），通過計(jì)算兩個(gè)圖形

4、（陰影部分）的面積，驗(yàn)證一個(gè)等式。abb你知道嗎？由圖可得： = .a-b(a+b)(a-b)bbaa 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 平方差公式的項(xiàng)、指數(shù)、符號(hào)的特點(diǎn)： 左邊是右邊是每項(xiàng)都是平方的形式兩項(xiàng)的符號(hào)相反一個(gè)因式是兩數(shù)的和另一個(gè)因式是這兩個(gè)數(shù)的差在乘法公式中，“平方差”是計(jì)算結(jié)果； 在因式分解中，“平方差”是要分解的多項(xiàng)式。二項(xiàng)式兩個(gè)多項(xiàng)式的積小結(jié)：用平方差公式分解因式時(shí)公式的項(xiàng)、指數(shù)、符號(hào)有什么特點(diǎn)？ 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 平方差公式的( ) ( ) x216（1）x2-16 解:(1)（2）9m2-4n2 xx( ) ( )a2b2aabb

5、( ) ( )x2 4242x2(2) 9m2-4n2 3m3m( ) ( )a2aabb (3m)2 (2n)2(2n)2(3m)2b22n2n引例： 對(duì)照平方差公式怎樣將下面的多項(xiàng)式分解因式( ) ( ) 填 空：39nc8xy2x5m6a0.7b快速熱身 填 空：39nc8xy2x5m6a0.7利用平方差公式把下列各式分解因式 口答快速熱身判斷（ ） （ ）利用平方差公式把下列各式分解因式 口答例1.把下列各式分解因式（1）16a- 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y 925116( 4 ) 9x + 4m2解：1）16a-1=(4a) - 1 =(4a+1)(4a-1

6、)解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x-mn)（5）x2y4-9原式=(xy2)2-32=(xy2+3)(xy2-3)解:3)原式=解: 4)原式=(2m+3x)(2m-3x)例1.把下列各式分解因式925116( 4 ) 9x 下列多項(xiàng)式可否用平方差公式分解因式，如果可以應(yīng)分解成什么式子？如果不可以請(qǐng)說明理由。 x2+1 x2+y2 0.9x2y2 916y2 4(x+y)2+(xy)2下列多項(xiàng)式可否用平方差公式分解因式，如果可以應(yīng)分解成什么式子例2. 把下列各式分解因式.(1) 9(a+b)2-4(a-b)2(2) x4-16例題精講解(1)原式=3(a

7、+b)2-2(a-b)2 3(a+b)-2(a-b)=(5a+b)(a+5b)=3(a+b)+2(a-b)整體的思想解:(2)原式= (x2)2 - 42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)因式分解:分解到不能分解為止.例2. 把下列各式分解因式.(1) 9(a+b)2-4(a(1)還原成平方差的形式.(2)運(yùn)用公式寫成兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的形式.(3)分別在括號(hào)內(nèi)合并同類項(xiàng).(4)各因式分解到不能再分解為止.運(yùn)用平方差公式因式分解的一般步驟：9(a+b)2-4(a-b)2解：原式=3(a+b)2-2(a-b)2 =3(a+b)+2(a-b)3(a+b)-2(a-b)

8、 =(5a+b)(a+5b)小結(jié)(1)還原成平方差的形式.(2)運(yùn)用公式寫成兩數(shù)和與兩數(shù)差的例3 分解因式:=2x(x+2)(x-2) 解：原式=2x(x2-4)當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時(shí),通常先提出這個(gè)公因式,然后進(jìn)行因式分解(1)分解要徹底！首先提取公因式，然后考慮用公式，最終必是連乘式。提示：例3 分解因式:=2x(x+2)(x-2) 解：原式=2x(例4.把下列各式因式分解( x + z )- ( y + z )4( a + b) - 25(a - c)4a - 4a(x + y + z) - (x y z )5)2x3 - 8x解：1.原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z)

9、 =(x+y+2z)(x-y)解：2.原式=2(a+b)-5(a-c) =2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b)- 5(a-c) =(7a+2b-5c)(2b-3a+5c)解：3.原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：4.原式=(x+y+z)+(x-y-z) (x+y+z)- (x-y-z) =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z )5)原式= =例4.把下列各式因式分解解：解：解：解：5)原式=公式歸納運(yùn)用平方差公式分解因式的特點(diǎn)： 左邊應(yīng)是一個(gè)二項(xiàng)（如： ） 二項(xiàng)式的每項(xiàng)（不含符號(hào)）都是一個(gè)平方的形式。二項(xiàng)是異號(hào)（ 如： ）符合上述特點(diǎn)的式子，可以用平方

10、差公式分解因式。公式歸納運(yùn)用平方差公式分解因式的特點(diǎn)： 左邊應(yīng)是一個(gè)二項(xiàng)（1.運(yùn)用平方差公式分解因式的關(guān)鍵是要把分解的多項(xiàng)式看成兩個(gè)數(shù)的平方差，尤其當(dāng)系數(shù)是分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，要正確化為兩數(shù)的平方差。2.公式 a - b = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，要注意“整體”“換元”思想的運(yùn)用。3.當(dāng)要分解的多項(xiàng)式是兩個(gè)多項(xiàng)式的平方時(shí)，分解成的兩個(gè)因式要進(jìn)行去括號(hào)化簡，若有同類項(xiàng)，要進(jìn)行合并，直至分解到不能再分解為止。注意點(diǎn)：1.運(yùn)用平方差公式分解因式的關(guān)鍵是要把分解的多項(xiàng)式看成兩個(gè)數(shù)4.運(yùn)用平方差分解因式，還給某些運(yùn)算帶來方便，故應(yīng)善于運(yùn)用此法，進(jìn)行簡便計(jì)算。

11、5.在因式分解時(shí)，若多項(xiàng)式中有公因式，應(yīng)先提取公因式，再考慮運(yùn)用平方差公式分解因式。一般地，如果一個(gè)多項(xiàng)可以轉(zhuǎn)化為a2-b2的形式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用平方差公式分解因式。如(1) 4( a + b) - 25(a - c)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2)如：4.運(yùn)用平方差分解因式，還給某些運(yùn)算帶來方便，故應(yīng)善于運(yùn)用此把下列各式分解因式.(1) 9(a+b)2-25(a-b)2(2) x5-81x精講解(1)原式=3(a+b)2-5(a-b)2 3(a+b)-5(a-b)=(8a-2b)(-2a+8b)=3(a+b)+5(a-b)(2)原式=x(x4 -81)因式分解

12、:分解到不能分解為止.=4(4a-b)(4b-a)=x(x2+9)(x2-9)=x(x2+9)(x+3)(x-3)=x(x2)2 -92或=-4(4a-b)(a-4b)把下列各式分解因式.(1) 9(a+b)2-25(a-b)2談?wù)勀愕氖斋@！這節(jié)課你又學(xué)到了什么知識(shí)？ 談?wù)勀愕氖斋@！這節(jié)課你又學(xué)到了什么知識(shí)？ 1.具有兩數(shù)（或兩式）平方差形式的多項(xiàng)式可運(yùn)用平方差公式分解因式。 2.公式a - b = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，要靈活運(yùn)用。 3.若多項(xiàng)式中有公因式，應(yīng)先提取公因式，然后再進(jìn)一步分解因式。 4.分解因式要徹底。要注意每一個(gè)因式的形式要

13、最簡，直到不能再分解為止。小結(jié)： 1.具有兩數(shù)（或兩式）平方差平方差公式的應(yīng)用題： 1、利用分解因式簡便計(jì)算 (1) 652-642 (2) 5.42-4.62(3) (4) 解:652-642=(65+64)(65-64)=1291=129 解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =8答案:5答案:28平方差公式的應(yīng)用題： 1、利用分解因式簡便計(jì)算 (1) 65鞏固練習(xí)：1.選擇題：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）4X+y B. 4 x-(-y) C. -4 X-y D. - X+ y-4a +1分解因式的結(jié)果應(yīng)是 （ ）-(4a+1)(4a

14、-1) B. -( 2a 1)(2a 1)-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)DD鞏固練習(xí)：1.選擇題：DD3.x2-64因式分解為( ).(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8).4. 64a8-b2因式分解為( ).(A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b);(C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b).DC2. 把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 1 1)原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b)

15、2)原式=(x+1)(x+1)(x-1)3.x2-64因式分解為( ).4. 64a練一練:1,把下列各式分解因式. (1)36-x2 (2)a2-9b2 (3)x2-16y2 (4)x2y2-z2 (5)(x+2)2-9 (6)(x+a)2-(y-b)2 (7)9a4-(b-c)2 (8)(x+y+z)2-(x+y-z)2 (9)4(a+2)2-9(a-1)2 (10)a4-81b4 練一練:2、如圖，求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積. 35m15m解： 352 -152 = (352-152) = (35+15)(35-15) = 5020 = 1000 (m2)這個(gè)綠化區(qū)的面積是1000 m2練一練

16、2、如圖，求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積. 35m15m解： 3523,知識(shí)的靈活運(yùn)用.(1),已知a+b=3,a-b=2,求a2-b2的值.(2),已知4m+n=90,2m-3n=10,求(m+2n)2-(3m-n)2的值.(3)利用因式分解簡便計(jì)算.5352-4652 91.22-161.423,知識(shí)的靈活運(yùn)用.(3)利用因式分解簡便計(jì)算.3、把下列各式分解因式(1) (2) 36-m2(3) -9y2+4x2 (4) 0.81a2-16b2(5) (2a+b)2-(a-2b)2 (6) x3-x(7) 4a2-(b+c)2 (8) -x4+16(9) (a+b-c)2-(a-b+c)2 (10)

17、16(a-b)2-9(a+b)2課后練習(xí)（一）3、把下列各式分解因式(1) (2) 36-m提高題： 2、已知 , ,求（a+b）2-(a-b)2的值。 解: (a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b) =2a2b =4ab當(dāng) ， 時(shí)，原式=4 =3、計(jì)算提高題： 2、已知 , ,求（若n是整數(shù),證明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍數(shù).創(chuàng)新與應(yīng)用已知, x+ y =7, x-y =5,求代數(shù)式 x 2- y2-2y+2x 的值.若n是整數(shù),證明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍數(shù).創(chuàng)用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算:38-37 2) 213-873) 229-171 4) 9189解：1） 38-37=（38+37）（38-37）=75213-87=(213+87)(213-87)=300126=37800解:3) 229-171=(229+171) (229-171)=40058=23200解:4) 9189 =(90+1)(90-1)