北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章《三角形的證明》復(fù)習(xí)課件

1、第一章 三角形的證明復(fù)習(xí)第一章 三角形的證明“原名” 知多少定義:對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述,作出明確的規(guī)定,也就是給出 它們的定義(definition) . 命題:判斷一件事情的句子,叫做命題(statement). 每個(gè)命題都由條件(condition)和結(jié)論(conclusion)兩部分組成.條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng). 正確的命題稱為真命題(true statement),不正確的的命題稱為假命題(false statement).公理:公認(rèn)的真命題稱為公理(axiom).證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí). 推理的過程稱為證明.定理:經(jīng)過證明的

2、真命題稱為定理(theorem).推論:由一個(gè)公理或定理直接推出的定理,叫做這個(gè)公理或定理的推論(corollary).推論可以當(dāng)作定理使用. 回顧 思考1“原名” 知多少定義:對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述,作出明確的作為證明基礎(chǔ)的幾條公理本套教材選用如下命題作為公理 :1、兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等, 那么這兩條直線平行;2、兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;3、兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;4、兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;5、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;6、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等. 回顧 思考2作為證明基礎(chǔ)的幾條公理本套教材選用如下命題作為公理

3、: 怎么證明幾何命題證明命題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);(2)根據(jù)題意,畫出圖形;(3)結(jié)合圖形,用符號(hào)語言寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導(dǎo)“果”,執(zhí)“果”索“因”.);(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證 明過程;(6)檢查表達(dá)過程是否正確,完善.提示: 要說明一個(gè)命題是假命題,通常可以舉出一個(gè)例子,使之具備命題的條件,而不具備命題的結(jié)論,這種例子稱為反例(counter example). 回顧 思考3怎么證明幾何命題證明命題的一般步驟:提示: 回顧 2.推論: 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底

4、邊上的高線互相重合(三線合一).（1）AB=AC, 1=2(已知).BD=CD,ADBC（等腰三角形三線合一）.（2）AB=AC, BD=CD (已知).1=2,ADBC（等腰三角形三線合一）（3）AB=AC, ADBC(已知).BD=CD, 1=2（等腰三角形三線合一） 輪換條件：1=2, ADBC,BD=CD,可得三線合一的三種不同形式的運(yùn)用.知識(shí)要點(diǎn)回顧1.定理: 等腰三角形的兩個(gè)底角相等簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角A CBD12 回顧 思考42.推論: 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上4.等邊三角形的判定：結(jié)論4: 等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角等于頂 角的一半.結(jié)論5:等腰三角形底

5、邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離 之和等于一腰上的高.3.等腰三角形有關(guān)知識(shí)要點(diǎn):結(jié)論1:等腰三角形兩底角的平分線相等.結(jié)論2:等腰三角形兩腰上的中線相等.結(jié)論3:等腰三角形兩腰上的高相等；(3).有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.(1).三條邊都相等的三角形是等邊三角形.(2).三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.4.等邊三角形的判定：結(jié)論4: 等腰三角形腰上的高線與底邊的5.定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于300,那么 這個(gè)銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半它的逆命題:ACB=900 , A=300 在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于300.ACB=

6、900, A=300ABC3005.定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于300,那么它的逆6.勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜 邊的平方.它的逆定理: 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.7.直角三角形全等的判定定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.(簡(jiǎn)稱“HL”)8.寫出命題：“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.6.勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜它的逆定理:定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等.9.線段的垂直平分線它的逆命題:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等 的點(diǎn),在這

7、條線段的垂直平分線上.MN垂直平分AB(MNAB,AC=BC或P在AB的垂直平分線上)PA=PBPA=PB(已知),點(diǎn)P在AB的垂直平分線上ACBPMN定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)9.線段的垂直平10.角平分線定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等. PDOA,PEOB , PD=PE 1=2(OP是角平分線或P在AOB的平分線上)逆定理: 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.1=2,PDOA,PEOBPD=PEOCB1A2PDE10.角平分線定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.11.定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且 這一點(diǎn)到

8、三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.12.定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且 這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.(這一點(diǎn)叫做三角形的外心)(這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心)ABCP11.定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且12.定在本章中你學(xué)到了什么角的平分線通過探索,猜想,計(jì)算和證明得到定理與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的結(jié)論與直角三角形有關(guān)的結(jié)論與一般的三角形有關(guān)的結(jié)論命題的逆命題及其真假尺規(guī)作圖線段的垂直平分線 回顧 思考5在本章中你學(xué)到了什么角的平分線通過探索,猜想,計(jì)算和證明得到與同伴交流講述一兩個(gè)命題的證明思路和證明方法.提示:能將證明的能力提升一個(gè)臺(tái)階的前提是:認(rèn)識(shí) 并掌握一定數(shù)量的基本圖形.如

9、：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離 相等. 回顧 思考6如：等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一 腰上的高.如：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一 點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.如： 我能行不只是字面意義與同伴交流講述一兩個(gè)命題的證明思路和證明方法.提示:能將證明互逆定理與互逆命題在什么情況下互逆的命題才是互逆的定理?你能說出一對(duì)互逆的命題嗎?一個(gè)命題的逆命題的真假性如何? 回顧 思考7一個(gè)定理的逆命題的真假性如何?它們的真假性如何?互逆定理與互逆命題在什么情況下互逆的命題才是互逆的定理?你能基本作圖作一條線段等于已知線段;已知三邊,兩邊夾角,兩角夾邊,斜邊直角邊作三角形.

10、作線段的垂直平分線;作已知角的平分線;作一個(gè)角等于已知角;作圖題的一般步驟: 已知,求作,分析,作法,證明,討論.做一做: 任意畫一個(gè)角,利用尺規(guī)將其二等分,四等分.作圖題的要求:能寫出規(guī)范的作圖步驟. 回顧 思考8基本作圖作一條線段等于已知線段;已知三邊,兩邊夾角,兩角夾邊例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB 求證:DCAC21ACEF證明:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DEDA=DB,AE=BEDEAB(等腰三角形三線合一)AB=2AC,E為AB的中點(diǎn)AE=AC在AED和ACD中,AE=AC,1=2,AD=ADAEDACD(SAS)AED=ACD=900即ACDC或用延長(zhǎng)法:延長(zhǎng)AC至

11、F使CF=AC,連結(jié)DFDB21C 小試牛刀例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB21例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB 求證:DCAC證明:延長(zhǎng)AC至F使CF=AC,連結(jié)DFAB=2AC,AC=CFAB=AF1=2,AD=ADADBADF(SAS)DB=BFDA=DBDA=DFAC=CFDCAF(等腰三角形三線合一) 即DCAC思路探究:除了截短法和延長(zhǎng)法外,在等腰三角形中,我們通常作底邊的中線或高或頂角平分線,以便使用等腰三角形的性質(zhì)(三線合一). 小試牛刀21ACFDB21C例1:在ABC中,AB=2AC,1=2,DA=DB證明 在ABC中,C=900,B=3

12、00,AD是BAC的平分線,已知 ,求AD的長(zhǎng). ABCD解: C=900,B=300, CAB=600 AD是角平分線 CAD=300設(shè)CD=x,那么AD=2x，在RtACD中，AD2=CD2+AC2解得：x=2 AD=4思路探究：本題綜合運(yùn)用了勾股定理，含300角的直角三角形性 質(zhì).它們都與直角有關(guān),所以當(dāng)問題中出現(xiàn)直角條件時(shí), 要善于聯(lián)想到這些性質(zhì). 我能行初露鋒芒 在ABC中,C=900,B=300,AD是作業(yè)、基礎(chǔ)作業(yè)： 課本33頁(yè)復(fù)習(xí)題 第1、2、3、4題2、預(yù)習(xí)作業(yè)： 課本P33頁(yè)“回顧與思考”作業(yè)、基礎(chǔ)作業(yè)：提高證明能力的源泉1、已知:如圖,D,E,F分別是BC,CA,AB上的

13、點(diǎn), DEBA,DFCA. 求證:FDE=A.ABCDEF 作業(yè)分析1提高證明能力的源泉1、已知:如圖,D,E,F分別是BC,CA2、已知:如圖,ADCB,AD=CB. 求證:ABCCDA.ABCD提高證明能力的源泉 作業(yè)分析22、已知:如圖,ADCB,AD=CB.ABCD提高證明能力3、已知:如圖,AB=AC, ABD=ACE. 求證:(1)OB=OC; (2)BE=CD.ABCEDO提高證明能力的源泉 作業(yè)分析33、已知:如圖,AB=AC, ABD=ACE. ABCE4、已知:如圖,BD,CE是ABC的高,且BD=CE. 求證:ABC是等腰三角形.提高證明能力的源泉 作業(yè)分析44、已知:如圖,BD,CE是ABC的高,且BD=CE.提高5、已知:如圖,在ABC中, A,B,C的 度數(shù)之比是123 , . 求:AC的長(zhǎng).提高證明能力的源泉 作業(yè)分析55、已知:如圖,在ABC中, A,B,C的提高證明能6、已知:如圖,ANOB,BMOA,垂足分別為 N,M,且OM=ON. 求證:PM=PN.提高證明能力的源泉 作業(yè)分析66、已知:如圖,ANOB,BMOA,垂足分別為提高證明能7、已知:如圖,MN是線段AB的垂直平分線,C,