平面體系幾何組成分析技巧

1、平面體系幾何組成分析技巧2 要：平面體系幾何組成分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)課程中非常重要的一部分內(nèi)容，能幫助人們了解結(jié)構(gòu)的組成，選擇合 理的結(jié)構(gòu)形式。本文提出的平面體系幾何組成分析技巧，思路清晰，邏輯性強(qiáng)，輔以例題具體說(shuō)明，對(duì)學(xué)習(xí)者掌握這部分 內(nèi)容具有指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：平面體系；幾何組成分析；皎接三角形平面桿件幾何組成分析不僅可以判別體系是幾 何不變還是幾何可變的，還可以區(qū)分體系是靜定結(jié)構(gòu) 還是超靜定結(jié)構(gòu)，是結(jié)構(gòu)力學(xué)這門課程非常重要的一 部分內(nèi)容。幾何組合分析圍繞著二元體規(guī)則、兩剛片 規(guī)則和三剛片規(guī)則囚展開。目前,很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)幾何 組成分析的技巧進(jìn)行了總結(jié)和歸納，即拆去基礎(chǔ)、拆 除二元體、剛片等效代換等

2、僅%61。這些技巧在很大程度 上減少了幾何組成分析的步驟，但是運(yùn)用完上述技巧 后如何入手題目，目前還沒(méi)有系統(tǒng)性的相關(guān)技巧的總 結(jié)。針對(duì)這個(gè)盲點(diǎn)，針對(duì)幾何體系中X接三角形的數(shù) 量（X接三角形是指桿件以三剛片規(guī)則聯(lián)系在一起的 形式），總結(jié)了相關(guān)分析技巧。1平面體系幾何組成分析思路1.1常規(guī)體系對(duì)于常規(guī)體系，平面體系幾何組成分析思路如圖圖1平面體系幾何組成分析思路Fig.l Analysis ideas of geometric composition of plane system 在平面體系幾何組成分析思路中，找到X接三角 形后，根據(jù)X接三角形數(shù)量的不同將平面幾何體系分 為體系中有不少于3個(gè)X接

3、三角形、2個(gè)X接三角形、 l個(gè)X接三角形和無(wú)X接三角形四種類），現(xiàn)對(duì)這四 種類型的解題思路做詳細(xì)闡述。（1）不少于3個(gè)較接三角形當(dāng)體系中有不少于3個(gè)X接三角形時(shí)，可以采用 二元體規(guī)則，通過(guò)在先選出的X接三角形的基礎(chǔ)上增 加二元體的方式合并三角形，使得最終體系中剛片數(shù) 目不超過(guò)3,然后按相應(yīng)三剛片規(guī)則或兩剛片規(guī)則對(duì) 體系進(jìn)行幾何組成分析（2）2個(gè)較接三角形先將兩個(gè)餃接三角形分別作為兩剛片，按三剛片 規(guī)則或兩剛片規(guī)則進(jìn)行分析$如果無(wú)法順利進(jìn)行分 析，則只將兩個(gè)X接三角形中的一個(gè)X接三角形作為 剛片,另一個(gè)X接三角形不是整體作為剛片，而是將 構(gòu)成其的桿件作為連接剛片的鏈桿來(lái)使用。兩個(gè)XL 三角形應(yīng)選

4、擇與基礎(chǔ)只有一根鏈桿相連的X接三角 形作為剛片，這是該步驟的關(guān)鍵點(diǎn)。（3）1個(gè)較接三角形一般來(lái)說(shuō)，在這種情況下X接三角形必為一個(gè)剛 片，再選擇與X接三角連接少的桿件作為其他剛片， 然后按相應(yīng)三剛片規(guī)則或兩剛片規(guī)則進(jìn)行分析$（4）無(wú)較接三角形當(dāng)體系中無(wú)X接三角形時(shí)，可先選擇某根桿件 （盡量不選與基礎(chǔ)有兩根鏈桿相連的桿件）作為剛片， 再選擇與剛片連接少的桿件作為第二、三個(gè)剛片，然 后按相應(yīng)的二剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則進(jìn)行分析$ 1.2復(fù)雜體系對(duì)于復(fù)雜體系，往往其幾何組成無(wú)法用基本規(guī)則 （兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則）分析得出結(jié)論，需要采用 特殊技巧進(jìn)行分析$復(fù)雜題）可以先從體系的計(jì)算自由度數(shù)！入 手,計(jì)算自

5、由度數(shù)!的計(jì)算結(jié)果可以分為！0、！=0 和！0三類$當(dāng)！0時(shí)，體系為幾何可變；當(dāng)W=0和 !0時(shí)，需要對(duì)體系進(jìn)一步判別。復(fù)雜體系的類型繁多，針對(duì)計(jì)算自由度數(shù)W=0 且體系外部多余的約束數(shù)與體系內(nèi)部缺少的必要約 束數(shù)相等的題）的解題思路進(jìn)行闡述$對(duì)于這類體 系，首先考慮用零載法進(jìn)行分析，若計(jì)算過(guò)程繁瑣復(fù) 雜，計(jì)算量大，不好分析，則可以對(duì)該類型復(fù)雜體系以 零載法的思路為基礎(chǔ)（即在零荷載的情況下，若體系 的所有反力和內(nèi)力都等于零，那么體系幾何不變且無(wú) 多余約束）按下述思路進(jìn)行分析$如圖2所示體系外 部有一個(gè)多余的約束 ，且體系 內(nèi)部缺少一個(gè)必要的約 束$將外部多余約束去掉并代以相應(yīng)的多余未知力 X,

6、同時(shí)在體系內(nèi)增加必要的桿件AC,形成的新體系 為幾何不變且無(wú)多余約束的體系（即靜定結(jié)構(gòu)），如圖 3所示。比較圖2和圖3的受力狀態(tài)，消除兩者受力狀 態(tài)的差別，即新體系中桿件AC的內(nèi)力應(yīng)為零，這樣就 將求解原體系在零荷載狀態(tài)下的約束力和桿件內(nèi)力 轉(zhuǎn)換為求解新體系在外荷載為X作用下的約束力和 桿件內(nèi)力$桿件AC的內(nèi)力是包含未知力X的表達(dá) 式，因此要求桿件AC的內(nèi)力應(yīng)先計(jì)算未知力X$不論 未知力X是否為零，原體系都處于零荷載狀態(tài)$若未 知力X為零，則新體系（即靜定結(jié)構(gòu)）在零荷載狀態(tài) 下，那么所有反力和桿件的內(nèi)力都為零，故原體系幾 何不變且無(wú)多余約束；若未知力X不為零，則新體系 （即靜定結(jié)構(gòu)）在非零荷載

7、狀態(tài)下，那么支座反力和桿 件內(nèi)力不一定為零，故原體系幾何可變$圖2原體系Fig.2 Original system圖3圖2原體系Fig.2 Original system圖3新體系*+,.3 New system（1）在體系內(nèi)部增加必要的桿件，同時(shí)將體系外 部多余的約束去掉并代以相應(yīng)的未知力（X1，*，X#）， 使體系成為幾何不變且無(wú)多余約束的新體系（即靜定 結(jié)構(gòu)）$（2）消除新體系受力狀態(tài)與原體系受力狀態(tài)的差 別，列出相應(yīng)的方程：$1 =C11 X1 +%12 X2%1#X# =0$2=%21 X1 +%22 X2%2#X# =0$ =% . X, +% , X, +% X =0$#11#2

8、2#將方程用矩陣的形式表示為:%#1%#1%22%#2%1#%2#%#式中：當(dāng)X%1#%2#%#式中：當(dāng)X=1時(shí)關(guān)桿件的內(nèi)力。（4）方程為線（齊次方程，故有以下結(jié)論：若方程的系數(shù)行列式為零，則未知量（X1，X2,X#）有非零解，即原體系幾何可變；若方程的系數(shù)行列式不為零，則未知量(Xi,X, ,X)只有零解，即原體系幾何不變，且無(wú)多余約束。2例題分析例1分析圖4中體系的幾何組成。平面幾何體系由17根桿件構(gòu)成,共有ABH、 AGH、EJF、JGF和ACID5個(gè)X接三角形選出X 接三角形ABH,然后在ABH上加上二元體AGH, 根據(jù)二元體規(guī)則，兩個(gè)X接三角形ABH和AGH 就形成大剛片I ABHG

9、。選出X接三角形EJF,在 AEJF上加上二元體JGF,兩個(gè)X接三角形EJF和 JGF形成大剛片 GJEF% X接三角形CID為剛片 a,如圖5所示。i、兩剛片由xg連接；i、a兩剛 片分別由鏈桿BC和鏈桿hi相連,交于無(wú)窮遠(yuǎn)；、a 兩剛片分別由鏈桿DE和鏈桿IJ相連,交于無(wú)窮遠(yuǎn)；因 為鏈桿BC、鏈桿HI、鏈桿DE、鏈桿IJ不都相互平行口, 符合三剛片規(guī)則，體系為幾何不變且無(wú)多余約束。圖4例1示例圖圖4例1示例Fig.4 The system of example 1 Fig.5 Selection method of rigid plate in example 1例2分析圖6中體系的幾何組

10、成。該體系基礎(chǔ)可以拆去，無(wú)二元體，有BCE和 AFG兩個(gè)X接三角形選擇X接三角形BCE作為 剛片I、X接三角形AFG作為剛片 ,再選擇與剛 片I和剛片均不相連的桿件HD作為剛片a,如圖 7所示剛片I和剛片由鏈桿AB和鏈桿FE相連， 交于X A；剛片I和剛片皿由鏈桿EH和鏈桿CD相 連，交于無(wú)窮遠(yuǎn)；剛片和剛片a由鏈桿FD和鏈桿 GH相連，交于X D。鏈桿EH和鏈桿CD不與X A和 X D的連線平行071,滿足三剛片規(guī)則，則體系幾何不變 且無(wú)多余約束圖6例2示例Fig.6 The system of example 2 Fig.7 Selection method of rigidplate in

11、 example 2例題3分析圖8中體系的幾何組成該體系基礎(chǔ)不能拆去，無(wú)二元體，有BDE和 CDF兩個(gè)X接三角形。解法一：選則X接三角形BDE作為剛片I、X 接三角形CDF作為剛片、基礎(chǔ)作為剛片a,如圖9 所示,則剛片I和剛片交于x d,剛片I和剛片a 交于X E,剛片和剛片a只有一根鏈桿FG相連，但 是體系中鏈桿AB、鏈桿AC和鏈桿AH都沒(méi)有用到, 因此將兩個(gè)X接三角形BDE和CDF都作為剛片 無(wú)法順利進(jìn)行分析。解法?：選則兩個(gè)X接三角形中的一個(gè)作為剛 片，選擇與基礎(chǔ)只有一根鏈桿相連的CDF作為I剛 片,基礎(chǔ)作為剛片,選擇與剛片I和剛片均不相 連的桿件AB為a剛片，如圖10所示 I剛片和剛

12、片由鏈桿FG和DE相連，交于虛X J； 剛片和a剛 片由鏈桿AH和BE相連,交于虛X K； I剛片和a剛 片由鏈桿AC和BD相連,交于X C；虛X J、虛X K、 X C不在同一直線上,滿足三剛片規(guī)則，體系幾何不 變且無(wú)多余約束。Fig.8 The system of example 3圖9例3解法一剛片選取方法Fig.9 Selection method of rigid plate in the first solution of example 3圖10例3解法二剛片選取方法Fig.10 Selection method of rigid plate in the second solu

13、tion of example 3 例題4分析圖11中體系的幾何組成。平面幾何體系中有一個(gè)X接三角形！EFG?；A(chǔ) 不能拆去，基礎(chǔ)與桿件CD由X C和鏈桿DH連接，滿 足兩剛片規(guī)則，桿件CD和基礎(chǔ)看成一個(gè)剛片；桿件 CD和基礎(chǔ)形成的剛片與桿件AC由X C和鏈桿AJ 連接，滿足兩剛片規(guī)則，桿件AC、桿件CD和基礎(chǔ)看成 一個(gè)剛片；在桿件AC、桿件CD和基礎(chǔ)形成的這個(gè)剛 片上加上二元體ABD，則基礎(chǔ)與桿件AB、桿件BD、桿 件CD、桿件CA形成一個(gè)大剛片#因此，桿件AB、桿 件BD、桿件CD、桿件CA和基礎(chǔ)構(gòu)成了 I剛片,X接 AEFG作為剛片，如圖12所示。兩剛片由鏈桿CF、 EB、GD相連，三鏈

14、桿交于點(diǎn)M,所以體系為幾何可變 體系)2=*21 (1 +*22 )2=*21 (1 +*22 (2二。圖11例4示例Fig.11 The system of example 4圖12例4剛片選取方法 Fig.12 Selection method of rigid plate in example 4平面幾何體系中沒(méi)有二元體，沒(méi)有X接三角形, 選擇桿件AD作為I剛片，選擇與桿件AD不相連的 桿件BE作為剛片,再選擇與桿件AD、桿件BE都 不相連的桿件CF作為皿剛片，如圖14所示# I剛片 和剛片由鏈桿AB和鏈桿DE相連，交于無(wú)窮遠(yuǎn)； 剛片和a剛片由鏈桿BC和鏈桿EF相連，交于無(wú)窮 遠(yuǎn)；I剛片

15、和a剛片由鏈桿AF和鏈桿CD相連，交于 G#因?yàn)殒湕UAB、鏈桿DE、鏈桿BC、鏈桿EF平行，但圖14例5剛片選取方法長(zhǎng)度不都相等吐所以體系幾何瞬變#圖13圖14例5剛片選取方法長(zhǎng)度不都相等吐所以體系幾何瞬變#Fig.13 The system of example 5 Fig.14 Selection method of rigid plate in example 5例6分析圖15中體系的幾何組成，除斜桿外其 他桿件等長(zhǎng)#本題中平面幾何體系是一個(gè)復(fù)雜的幾何體系，運(yùn) 用幾何組成分析基本規(guī)則(兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則) 無(wú)法分析幾何組成#因此，先求解其計(jì)算自由度數(shù)!=2-($+&)=2xl4-(2

16、3+5)=0(1)法一：因?yàn)?=0,所以考慮用零載法進(jìn)行分析，在 零荷載的情況下，計(jì)算體系的支座反力與內(nèi)力，通過(guò) 體系中的零桿，容易分析出體系中的所有反力和內(nèi)力 都為零。故該體系幾何不變且無(wú)多余約束。法二:將原體系外部多余約束去掉并代以相應(yīng)的 未知力X1、(2,在原體系內(nèi)部增加必要的桿件1和桿 件2,形成的新體系如圖16所示#列方程：)1 =*11 (1+*12 (2=042*11 *12 _55*21 *222642*11 *12 _55*21 *222655=上。22=5 則Fig. 15 The system of example 6 Fig. 16 New system of exam

17、ple 6 例7分析圖17中體系的幾何組成# 該體系運(yùn)用幾何組成分析基本規(guī)則(兩剛片規(guī) 則、三剛片規(guī)則)無(wú)法分析幾何組成。其計(jì)算自由度數(shù)!=2#-(%+)=2xll_(18(4)=0,運(yùn)用零載法進(jìn)行分析時(shí) 計(jì)算繁瑣且計(jì)算量大$觀察發(fā)現(xiàn)體系外部有一個(gè)多余約束，體系內(nèi)部缺 少一根必要桿件，故將外部多余約束去掉代以未知力 Xi,在體系內(nèi)部增加一根必要桿件桿1,得到新體系如 圖18所示。消除原體系與新體系受力狀態(tài)的差別，有 方程：)i=CiiXi=0$ *ii為新體系中當(dāng)Xi= 1時(shí)桿件1的 內(nèi)力，先對(duì)M結(jié)點(diǎn)運(yùn)用結(jié)點(diǎn)法求出桿件HM的內(nèi)力， 再將桿件AB、桿件BJ、桿件1、桿件HM截開，運(yùn)用截 面法求出桿1的內(nèi)力*11=0$因?yàn)?11=0!0,所以方 程成立的條件只能為(1=0,故原體系幾何不變且無(wú)多 余約束$的難點(diǎn)和意見(jiàn)，對(duì)平面體系幾何組成分析思路進(jìn)行總 結(jié)和歸納，將體系分成常