機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)2.3信號(hào)分析基礎(chǔ)

1、華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院第二章、信號(hào)分析基礎(chǔ)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜傅立葉變換與非周期信號(hào)的分解這種信號(hào)的頻域分析手段是傅立葉變換。由周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開導(dǎo)出。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院1. 引出在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過(guò)來(lái)，任何非周期信號(hào)如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)在T趨于無(wú)窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對(duì)非周期信號(hào)的頻域表示方法。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其

2、頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期 T0的增大而下降；譜線間隔隨的增大而減??；但頻譜的包絡(luò)不變。再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院對(duì)于周期方波信號(hào)：f(t)ET 幅度2譜線間隔 T-TOT1-T2ET F(n1)T，時(shí)0 T，0Tf 由周期信號(hào)非周期信號(hào)。T1OCn Fn0 2ET1TSincn01華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院頻譜演變的定性觀察-T/2T/2 -T/2T/2F( n0 )T0T1-T/2T/20-T/2T/20)00華中科技大學(xué)

3、機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院Cn TScn0也隨T增大而減小，并最終趨于0，考查TCn的變化，它在 該是有限的。于是，我們推斷出: 時(shí)應(yīng)當(dāng) T 時(shí)，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻TCn。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院如圖（a）t一周期信號(hào)（周期延拓）t)，其周T 則在一個(gè)周期內(nèi)，與) 等同，如圖(b)所示。當(dāng) T 時(shí)，則在任意，二者等同。T1tT1(a)02TTt(b)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院根據(jù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開：xt) Cnejn0tCn1 T / xt)jn0tdtnTT / 20

4、/ T 。因?yàn)楫?dāng)|xt=x(t)，又因?yàn)樵诖藚^(qū)間之外，x(t)=0，所以C1T /2xt)ejn0tdt 1xt)ejn0tdtnT T /2T X(n0 xt)ejn0tCn1X(n)T0110 x(0) TnTX(X(n華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院0 x(t)0TX( 1 2X(nnX(n0) xt)ejn0tdt因當(dāng) T 時(shí),x(t)t),0 T d,n0,于是有：傅立葉逆變換：F-1X(f)t ) 1X(jtd,t)X( fj 2ft df傅立葉正變換：FX(f)X()ejtdt,X( f) ) e j 2ft dt華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院12.3 非

5、周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院1因?yàn)閷?duì)于周期信號(hào)f(t) t)e jn0t dt當(dāng) TTf (t)：周期信號(hào)非周期信號(hào)1T1TTCn 2TTf ()e j n0t dt02再用 Cn表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無(wú)限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別。而：X() TCn )e jn0tdt頻譜密度函數(shù)簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)X() )ejt limTTCn具有頻譜隨頻率分布的物理含義.華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院從物理意義來(lái)討論FTX()是一個(gè)密度函數(shù)的概念X()是一個(gè)連續(xù)譜頻譜的樣本頻 譜的包絡(luò)。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院從傅立葉級(jí)數(shù)的角度考慮：諧波分量的疊加華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院f

6、 (t) 1 FtdF F e j 實(shí)函數(shù) 1 Fe()e t d歐拉公式 1 Ft d積分為0 j 1 Ft d 10Ft d Fdt 0ft Fd0求和振幅正弦信號(hào)無(wú)窮多個(gè)振幅為無(wú)窮小 1Fd的連續(xù)余弦信號(hào)之和,頻域范圍:0 f (t) 1 Ftd Fd ejt1Fd的連續(xù)指數(shù)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院信號(hào)之和，占據(jù)整個(gè)頻域, 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院: 。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院另外，與周期信號(hào)不同的是，非周期信號(hào)的譜線出現(xiàn)在0,fmax的各連續(xù)頻率值上，這種頻譜稱為連續(xù)譜。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院非周期信號(hào)的頻譜

7、x(t) 1 2X()ejtdx(t) X(f)或 X(f) X( )ej 2 ft dfX ()x(t)ejtdtx(t)ej 2 ft dtX( f)X( ) e j (f)X(f ) )Im2X(f )f)(f)(f華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜其中：華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院 f)X( 稱為的幅值譜密度( 稱為的相位譜密度X( 2稱為能量譜密度(華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院傅立葉變換存在的充分條件（1）x(t)在,范圍內(nèi)滿足狄里赫利條件（2）絕對(duì)可積，即 f( )dt（3）為能量有限信號(hào)，即f () 2dt 述條件，因而象階躍、沖激一類函

8、數(shù)也存在傅立葉變換。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院x( t ) 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院x( t ) E0( t )( t T)1X( )T1EeT1sin(jt T1)2 E sin(T1)2ET1 T12ETSinc( T1)2T1( T),當(dāng) E1 或者:X( ) 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院X( ) Sinc( 1X( f) e j( f ) f Sinc() e j( f ) ) Sinc( Sinc( ) ) T1( n1/ 2T1怎樣得到的？! ( n n1 /2)n 0,1,2f n1)1華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院相位譜的推導(dǎo)：華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院因：X( f

9、 ) 2T1 Sinc( 2fT1 1 f)e j ( f ) Sinc() e j( f ) f) j ) Sinc()cos( f) j )(f所以,當(dāng)： n (fT1 n1 / 2 ),1n 0,1,2 X( ( f)X( f) 0) f)當(dāng)：( n1 / n1 ),1n 0,1,2f X( ff) X( f) f)( f) 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院幅度頻譜2ETX(f)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院幅度頻譜2ETX(f)1 11 Of2ETA(f)=|X(f)|1O相位頻譜( f )ff頻譜圖x(t)ET1OT 1t華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院f華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院fEOt例單邊指數(shù)信號(hào)ftEe tt 0

10、00FFt 0(t) Ee tutej tdt1 01Ee j t dtE jE j ,當(dāng)E 1華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院例雙邊指數(shù)信號(hào)fe t（ t ）F10et ej t1d t e t02ej t dt j j 2 2華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院頻譜圖 2 2FE 2 2FEO0,F E,F 0 2O2 arctan 0, 0, 2 , 2華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜例符號(hào)函數(shù)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院sgn(t)f(t)sgntt 0t 01e t處理方法做一個(gè)雙邊函數(shù)Otf1 sgnt t，求e

11、 t 1F。不滿足絕對(duì)1F 10t ed t e t0e t dt可積條件11j2 j j 2 2FF j2lim1 0lim 02j華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院頻譜圖sgnt2j j 2ej 2F)2F 222OF是偶函數(shù)2 022arctan20 ,2O 0 2是奇函數(shù)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院傅立葉變換的性質(zhì)了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求F()；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院線性性質(zhì)時(shí)移特性對(duì)稱性質(zhì)奇偶虛實(shí)性微分性質(zhì)積分性質(zhì)卷積性質(zhì)帕斯瓦爾(Pase

12、val)定理華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院一線性性質(zhì)1性質(zhì)若f1(t)f2(t)則c1f1(t)c2f2(t)c2c1 , c2為常數(shù)ut 1 21sgnt2F1j2.3 非周期信號(hào)及其頻譜f(t)(t)的傅立葉變換21t 2 2f(t)u(t)u(t)u(t)u(t )22F ( 22 Sinc(/ 2 ) 2()華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院二尺度變換性質(zhì)F若f(t) F),則f1 ,a為非零函數(shù)Fa a 意義0a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。a 1fftFF華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院尺度變換

13、性質(zhì)證明華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院因?yàn)镕f ejt dt當(dāng)a x att x ,d t ax1 d xaFf1ja(j)x1a1 1 F a fd x afd xa a 當(dāng)a 0，a a ,令x at at,t x 1aax,d t 1 d xa1 j x1 (j )x 1F fafx ea dxafxead xa a 綜合上述兩種情況F1 FFa a 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院FEFEoEtot22 0a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院1F 1F 2E2 2 otEotE44 持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加， 頻帶展寬，各分量的幅度下降a

14、倍。此例說(shuō)明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比，有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，則要以展開頻帶為代價(jià)。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院(3)a 1fftFFF*當(dāng)f 為實(shí)函數(shù)時(shí)F F*共軛為偶函數(shù)X為奇函數(shù)F()R()jX() )jX)F*()華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院三時(shí)移特性若f (tF),則f) F(ej t0 ;若FF)ej(則f t0 )F()ej() t0 幅度頻譜無(wú)變化，只影響相位頻譜相移tt0 x tt00左t0FTf (x)f ()e j ( xt0)dxe j t0f ()e j xdx

15、 e jF( )f(e j t0F( )華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院f華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院fEO例：求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。T解：Tt22EF 0EF 0O三脈沖信號(hào)的波形信號(hào)，其頻譜函數(shù)F0 ,F ESinc02華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院因?yàn)镕 00E00fffTfT00由時(shí)移性質(zhì)知三脈沖函數(shù)的頻譜函數(shù)F為:002OF 0F0FejTejT 3E E Sinc 222O脈沖個(gè)數(shù)增多，頻譜TT包絡(luò)不變，帶寬不變。三脈沖信號(hào)的頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院帶有尺度變換的時(shí)移特性華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院若f (tF)1 j b則fat bFaeaa )fa00 xat

16、t01)/adxa01jt01jt0a0t(xt0)/aeafeaa)a若a 0,則有絕對(duì)值華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院例： 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院FS22頻頻譜密度函方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延因?yàn)閍 2,所以f2t F FE Sa 2 2 24 5 j5因?yàn)閎5，對(duì)t時(shí)移 （向右）2所以f2t5Sae224方法二：先時(shí)延再標(biāo)度變換相同對(duì)t時(shí)移（向右f 5E Saej 52E j5對(duì)所有壓縮2：f2t 5Sae224華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院（1）性質(zhì)四頻移特性若f(t) F)f(te0t則F0 00為常數(shù)，注意f(te0tF0（2）證明Ff(te0t (te0t

17、 etdt f(t)e0t d F0華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院（3）說(shuō)明華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院FF0)O0F0) 0OO時(shí)域f 時(shí)域f乘e0t ,頻域頻譜搬移 (t乘e0t ,右移0左移0（4）應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院例:華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院已知矩形調(diào)幅信號(hào)fGttf t0其中Gt為矩形脈沖，脈沖幅度為E，E0o脈寬為,試求其頻譜函數(shù)。to解：22已知矩形脈沖Gt的頻譜為矩形調(diào)幅信號(hào)的波形ESinc因?yàn)?f 1Gtej02e j 0t 頻譜F為F112020華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院F120120EESinc0Sinc02222FFE

18、2O00 頻譜圖0矩形調(diào)幅信號(hào)的頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院性質(zhì)五對(duì)稱性質(zhì)若f (t) F)則Ft 若f為偶函數(shù)則F 意義若F(t形狀與F) t則F (t的頻譜函數(shù)形狀與f形狀相同，t 幅度差2 。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院時(shí)限信號(hào)的頻譜一般是無(wú)限的，根據(jù)對(duì)稱性帶限信號(hào)在時(shí)域一般也是無(wú)限的華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院周期信號(hào)的頻譜 是離散的，根據(jù)對(duì)稱性離散信號(hào)的頻譜是周期的0華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.3 非周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院幾種典型信號(hào)的頻譜例：(t)傅立葉變換對(duì)(t)ejtdt11010(t)0tF)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院例.直流信號(hào)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院f (t ) E, t 根據(jù)傅立葉變EE EE換的對(duì)稱性質(zhì)