第四節(jié)萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用參考資料

1、第四節(jié)萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用知識要點(diǎn)：一、天體質(zhì)量和密度的計算（以地球?yàn)槔?、 “g、R”計算法：若已知地球半徑R和地球表面的重力加速度 g,依 mg = GMm/R 2得 M = gR2/G ,二 p= MN = 3g/4 n GR“GM = gR2 ”通常稱為黃金代換式，在求解一些問題時很有用處。2、 “T、r”計算法：若已知地球的衛(wèi)星（如月球）繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期T和半 徑 r，由 GMm/r 2= m（2 n /T） 2r,得 M = 4n 2r3/GT2,- p = M/V = 3 n r3/GT2R3。若某一衛(wèi)星繞地球在近地表面做圓周運(yùn)動，則r= R，此時p = 3

2、n /GT?。只需測定運(yùn)行周期即可。當(dāng)然，向心力還有其他各種表述形式，如GMm/r2 = m（2 n /T）2r = mv2/r = m 2r,可得 M = 4 n 2r3/GT2= v2r/G = 罕/G。因此只要知道某一天體的軌道半徑與線速度、角速度、周期、頻率中的某一個參數(shù)， 就可算出吸引它做圓周運(yùn)動的另一天體，也就是中心天體的質(zhì)量和密度。二、環(huán)繞同一天體做圓周運(yùn)動的不同星體的運(yùn)動參數(shù)關(guān)系1、運(yùn)行速度（線速度）與半徑的關(guān)系由 GMm/r = mv /r，可得 v = V GM/r，即 v 1/r,由此可以看出繞同一天體做圓周運(yùn)動的各星體的線速度與軌道半徑平方根成反比，即同一半徑上各星體的

3、線速度相等，軌道半徑越大，線速度越小，而且線速度與它自身的質(zhì)量m無關(guān)。2、角速度與半徑的關(guān)系由 GMm/r 2= m 2r，可得 =V GM/r3,即 1/r3,由此可以看出繞同一天體做圓周運(yùn)動的各星體的角速度與軌道半徑的三次方的平方 根成反比，即同一半徑上各星體的線速度相等，軌道半徑越大，線速度越小，而且線 速度與它自身的質(zhì)量 m無關(guān)。3、周期與半徑的關(guān)系由 GMm/r 2 = m（2 n /T）2r,可得 T2= 4n 2J/GM，即 T2*r3,由此可以看出繞同一天體做圓周運(yùn)動的各星體的周期的平方與軌道半徑的三次方成正比（若將天體的實(shí)際隨圓運(yùn)動看作圓周運(yùn)動，這就是開普勒第三定律），同一軌

4、道上各星體的運(yùn)動周期相等，軌道半徑越大，周期越大。三、發(fā)現(xiàn)未知天體歷史上天文學(xué)家曾經(jīng)根據(jù)萬有引力計算太陽系中天王星的運(yùn)動軌道，由于計算值與實(shí)際情況有較大的偏離，促使天文學(xué)家經(jīng)過進(jìn)一步研究先后發(fā)現(xiàn)了海王星和冥王星。海王星和冥王星的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步證明了萬有引力定律的正確，而且也顯示了萬有引力定律對天文學(xué)研究的重大意義， 海王星和冥王星的發(fā)現(xiàn)是理論指導(dǎo)實(shí)踐的光輝典范，這表明：一個科學(xué)理論，不僅要能夠說明已知的事實(shí)，而且要能預(yù)言當(dāng)時還不知道的事實(shí)。典型例題：例1、要計算地球的質(zhì)量，除已知的一些常數(shù)外還須知道某些數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列各組數(shù)據(jù)，可以計算出地球質(zhì)量的有（）A .已知地球半徑 R; 已知衛(wèi)星繞地球做勻

5、速圓周運(yùn)動的軌道半徑r和線速度v; 已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的線速度v和周期T;地球公轉(zhuǎn)的周期 T1及動轉(zhuǎn)半徑1。2 2 解析：由mg = GMm/R，得M = gR/G，所以選項(xiàng) A正確。由GMm/r2= mv2/r，得M = rv2/G，所以選項(xiàng)B正確。由 M = rv2/G，得 M = rv2/G = (vT/2 n )v2/G= vT/2 n G，所以選項(xiàng) C 正確。若已知地球公轉(zhuǎn)的周期Ti及動轉(zhuǎn)半徑ri,只能求出地球所圍繞的中心天體一一太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，所以選項(xiàng)D是錯誤的。故正確答案應(yīng)選ABC 。例2、把太陽系中各行星的運(yùn)動近似看作勻速圓周運(yùn)動，則離太陽越遠(yuǎn)的行星(

6、)A 周期越?。籅 線速度越??；C.角速度越??；D 加速度越小。解析：太陽系中各行星近似做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力，則：2 2 2 2GMm/r = mv /r = m w r= m(2 n /T) r= ma， 所以：v = V GM/r， w =V GM/r ， T = 2 n V r3/GM， a= GM/r ， 離太陽越遠(yuǎn)的行星，即軌道半徑r越大。由以上各式得：rff v J，r fwj，r T f，rf aj，所以BCD正確。m的砝碼重量為Gim的砝碼重量為Gi，乘宇宙飛船在靠 T，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，試求該星球的質(zhì)量。 TOC o 1-5 h z 解析：砝碼的重量等于萬有引力，

7、設(shè)星球半徑為R，由 Gi = GMm/R 2 得 R = V GMm/G i設(shè)宇宙飛船質(zhì)量為 mi，宇宙飛船靠近星球表面飛行，其軌道半徑約等于星球半徑，做 圓周運(yùn)動的向心力等于萬有引力由 GMmi/R2= mi(2 n /T)2R 得 M = 4n 2R3/GT2代入：M = 4 n 2(VGMm/Gi)3/GT2, 得 M = T4Gi/i6n 4Gm3。例4、宇宙中有一種雙星，質(zhì)量分別為mi, m2的兩顆星球，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動,它們之間的距離恒為 L，不考慮其他星體的影響，兩顆星的軌道半徑和周期各是多少？解析：如右圖所示，雙星繞一圓心0做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力，:是雙星彼此之相互

8、吸引的萬有引力，設(shè)mi的軌道半徑為Ri，m2廠毛壬的軌道半徑為R2 ( Ri + R2= L)，由于它們之間的距離恒定，因m2此雙星在空間的繞向一定相同，同時，角速度和周期也都相同。由向心力公式得：2 2對 my Gmim2/L = mi w Ri，對 mi： Gmim2/L2= m2w 2R2，所以 miRi = m2R2，又因?yàn)?Ri+ R2= L，故 Ri= m2L/(m i + m?)，R2= miL/(m i + m?)，由 Gmim2/L = mi w Ri，將 w = 2 n /T 和 Ri= m2L/(m i+ m2)代入得T = V 4 n $ L/G(mi + m2)。例5

9、、在地不上觀測太陽，測得太陽對地球的視角0 (太陽邊緣兩端向地球所引的兩條直線間的夾角)為0.5，又測得地球表面緯度i 所對應(yīng)的經(jīng)線長度 L為iOOkm，i年按365天計算，試估算太陽的平均密度p s與地球的平均密度 p e的比值。解：由 p s= Ms/(4 n Rs3/3)， p e= M e/(4 n Re/3)，得 p S p e= M sRe /M eRs太陽對地球的視角 0決定于太陽半徑Rs與地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑 r，即 2RS= r0，其中 0 = 0.5 = 0.5X 2 n /360 = n /360則 2RS= n r/360再由地球繞太陽運(yùn)動的動力學(xué)方程有2 2 TOC o

10、 1-5 h z GMsME/r = Me（2 n /T） r由、消去r可得：GMs/Rs3= 4 X 7203/ n T2,式中T為地球公轉(zhuǎn)周期。再由重力近似與地球?qū)ξ矬w的萬有引力相等，則有2mg= GM Em/RE又L = 2 n Re/360 （L為緯度1所對應(yīng)的經(jīng)線長）由、可得：GM e/Re3 = 2 n g/360L由、可得 p s/ p e= 7204L/n 2T2g = 0.27例6、火星和地球繞太陽的運(yùn)動可以近似地看作在同一平面內(nèi)同方向的勻速圓周運(yùn)動，已知火星的軌道半徑 R1= 2.3 X 1011m，地球的軌道半徑 R2= 1.5 X 1011 時間間隔（即火星距地球最近時

11、的時間間隔）。解析：火星距地球最近時，即太陽、火星、地球三者在一條直線上且 位于太陽抽側(cè)（如右圖所示），到下次火星沖日時，應(yīng)為地球比 火星多繞一圈。即多轉(zhuǎn)角度2n所用的時間。設(shè)火星公轉(zhuǎn)周期為 T1，地球公轉(zhuǎn)周期 T2= 1年，火星沖日的時間 間隔為 T,則：3 23 1 = 2n / T , T = 2 n /（ 3 23 1） = 2n /（2 n /T2 2 n /T1）= T2T2/（T 1 T?）由萬有引力充當(dāng)向心力可得： TOC o 1-5 h z 222GMM 1/R1 = M14 n R1/T1222GMM 2/R2 = M24 n R2/T2由、可得：T12/T22= R13/

12、R23, 即卩 T1= T2VR13/R23= 1.9T2= 1.9 年將T1 = 1.9年，T2= 1年代入式可得： T = 2.1年，即火星沖日的時間間隔為2.1年。例7、設(shè)地球E （質(zhì)量為M ）是沿圓軌道繞太陽 S運(yùn)動的，當(dāng)?shù)厍蜻\(yùn)動 到位置P時，有一艘宇宙飛船（質(zhì)量為m ）在太陽和地球連線上的A處從靜止出發(fā)，在恒定的推進(jìn)力F作用下，沿AP方向做勻加速運(yùn)動，如圖所示，2年后，在P處飛船掠過地球上空，再過半年， 在Q處又掠過地球上空，設(shè)地球與飛船間的引力不計，根據(jù)以上條 件證明：太陽地球間引力等于9n 2MF/4m。解析：設(shè)地球繞太陽做圓周運(yùn)動的半徑為R,貝U PQ= 2R,飛船從A點(diǎn)到P時

13、間t1 = 2年，從P到Q點(diǎn)的時間t2= 0.5年,設(shè)飛船運(yùn)動的加速度為a,貝U a= F/m則 a（& + t2）2/2 at12/2 = 2R,設(shè)地球公轉(zhuǎn)周期為 T = 1年，貝U t1= 2T, t2= 0.5T 由、可得R/T2= 9F/16m ,由于太陽與地球間引力充當(dāng)向心力，故F引=M4 n 2R/T2= 9 n 2MF/4m。同步訓(xùn)練知識掌握1、 若已知某行星繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r，公轉(zhuǎn)的周期為T,萬有引力常量為 G,則由此可求出（）A .某行星的質(zhì)量；B .太陽的質(zhì)量；C.某行星的密度；D.太陽的密度。2、下列說法中正確的是（）A 海王星和冥王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而

14、發(fā)現(xiàn)的；天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的；天王星的運(yùn)行軌道偏離根據(jù)萬有引力計算出來的軌道，其原因是由于天王星受到軌 道外面其他行星的引力作用。D.以上均不正確。3、一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅只需（）A .測定運(yùn)行周期；B .測定環(huán)繞半徑；C.測定行星的體積；D .測定運(yùn)動速度。4、 已知某行星繞太陽運(yùn)動的軌道半徑為r,周期為T,太陽的半徑是 R,則太陽的平均密度是。（萬有弓丨力常量為 G）5、兩個行星的質(zhì)量分別為 m和M ,繞太陽運(yùn)行的軌道半徑分別是r和R,則: TOC o 1-5 h z 它們與太陽之間的萬有引力之比是 。和狂，若它們只受太

15、和狂，若它們只受太6、兩顆行星的質(zhì)量分別為mi和m2,繞太陽運(yùn)動的軌道半徑分別是陽萬有引力作用，那么，這兩顆行星的向心加速度之比為（）2 21 ；B. m2ri/mi2；C. 口仃2伽2門；D. r? /ri 。7、設(shè)行星繞恒星的運(yùn)動軌道是圓，則其運(yùn)行周期T的平方與其運(yùn)動軌道半徑R的三次方之比為常數(shù)，即T2/R3= K，那么K的大小決定于（）A .行星質(zhì)量；B .恒星質(zhì)量；C.行星及恒星的質(zhì)量；D .恒星的質(zhì)量及行星的速率。&兩顆小行星都繞太陽做圓周運(yùn)動，它們的周期分別是T和3則（ ） 它們繞太陽運(yùn)動的軌道半徑之比是1 : 3； 它們繞太陽運(yùn)動的軌道半徑之比是1 : 91/3； 它們繞太陽運(yùn)動

16、的速度之比是31/3 ： 1 ； 它們受太陽的引力之比是9 : 91/3。能力提高9、 兩個球形行星 A和B各有一個衛(wèi)星a和b，衛(wèi)星的圓軌道接近各自行星的表面，如果兩行星質(zhì)量之比Ma/Mb= p，兩行星半徑之比 Ra/Rb = q，則兩衛(wèi)星周期之比 Ta/Tb為（）A . q Vq/p ；B . qVp；C. pVp/q ；D. V pq。10、 地球表面的平均重力加速度為g,地球半徑為R,萬有引力常量為 G,可以用下式（） 來估計地球的平均密度。2 2A. 3g/4 n RG；B. 3g/4 n R2G；C. g/RG ；D. g/R2G。11、太陽光發(fā)射到地面歷時500s，已知地球半徑為

17、6.4 X 106m，萬有引力常量為6.67 X10-11Nm2/kg2。求太陽的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比是多少？（取一位有效數(shù)字即可）12、火星和地球均繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，其公轉(zhuǎn)半徑之比為R火：R地=3 : 2，地球的公轉(zhuǎn)周期為365天，求火星的公轉(zhuǎn)周期為多少天？如果火星與太陽的引力為地球與太陽間 引力的4/81倍，求火星與地球的質(zhì)量之比。（不考慮火星與地球間的引力）答案：1、B ； 2、AC ； 3、A ； 4、3 n r3/GT2R3； 5、mR2/Mr2,Vr3/R3； 6、D ； 7、BC ；5& B ； 9、A ； 10、A ； 11、3 X 10 ； 12、670.5 天，1 : 9。以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werde