不定積分解法總結

1、不定積分解題方法總結摘要：在微分學中，函數(shù)求它的導數(shù)或微分是需要解決的根本問題。而在實際應用中，很多情況需要使用微分法的逆運算一一積分。不定積分是定積分、二重積分等的根底，學好不定積分十分重要。然而在學習過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和有章可循。本文論述了筆者在學習過程中對不定積分解題方法的歸納和總結。關鍵詞：不定積分；總結；解題方法不定積分看似形式多樣， 變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。 本文所總結的是一般 規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。希望本文能起到拋磚引玉的作 用，為讀者在學習不定積分時提供思路。文中如有錯誤之處，望讀者批評指正。1換元積分法換元積分法分為

2、第一換元法湊微分法、第二換元法兩種根本方法。而在解題過程中我們更加關注的是如何換元，一種好的換元方法會讓題目的解答變得簡便。1當出現(xiàn).a2 x2 ,x2a2 形式時，一般使用 x a si nt, x a sect ,x a tant三種代換形式。2當根號內出現(xiàn)單項式或多項式時一般用t代去根號。但當根號內出現(xiàn)高次幕時可能保存根號，3當被積函數(shù)只有形式簡單的三角函數(shù)時考慮使用萬能代換法。丄x使用萬能代換ttan ,2對于萬能代換法有些同學可能覺得形式和計算麻煩而排斥使用，但是萬能代換可以把三角函數(shù)直接轉變?yōu)橛欣砗瘮?shù)形式， 其后可以直接參照有理函數(shù)的積分法。 這不失為解題的一 種好方法。2不定積分

3、中三角函數(shù)的處理不定積分的計算中三角函數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，然而有些形式類似的題目的解法卻大相徑庭。在這里我們有必要對含有三角函數(shù)的不定積分的解法進展總結。除了之前提到的萬能代換的方法，我們可以對被積函數(shù)進展適當?shù)淖冃魏娃D換。因此，我們對被積函數(shù)中的三角函數(shù)的變形和轉換與三角函數(shù)的降次進展歸納和總結。1分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù)。1 被積函數(shù) 22 dx上下同乘sin x變形為sin x cos x令ucos x，那么為2 22只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關系，注意sin x cos x 1的使用。三角函數(shù)之間都存在著轉換關系。被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難，適當?shù)氖褂萌?/p>

4、角函數(shù)之間的轉換可以使解題的思路變得清晰。3.函數(shù)的降次形如 sin m x cosn xdx的積分m, n為非負整數(shù)當m為奇數(shù)時，可令u cos x，于是mnm 1n -sin x cos xdx sin x cos xd cos x轉化為多項式的積分當n為奇數(shù)時，可令u sin x，于是mnmn 1sin x cos xdx sin x cos xd sin x同樣轉化為多項式的積分。當m, n均為偶數(shù)時，可反復利用以下三角公式：不斷降低被積函數(shù)的幕次，直至化為前兩種情形之一為止。2-2 n1 u 2 u du，du，令 u tan xdx，那么 x arctan u，dxdu1 u2-2

5、 n1 u 2 u du，du，令 u tan xdx，那么 x arctan u，dxdu1 u，從而已轉化成有理函數(shù)的積分。類似地，cotn xdx可通過代換u cot x轉為成有理函數(shù)的積分。形如secn xdx和 cscm xdx的積分n為正整數(shù)形如當n為偶數(shù)時，假設令u tan x，那么x arctan u,dx2，于是1 u2已轉化成多項式的積分。類似地，cscn xdx可通過代換u cot x轉化成有理函數(shù)的積分。當n為奇數(shù)時，利用分部積分法來求即可。4當有x與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法。3有理函數(shù)積分法的總結有理函數(shù)積分法主要分為兩步：1化有理假分式為有理真分式；2化

6、有理真分式為局局部式之和。有理假分式化為有理真分式的方法由我們已經(jīng)掌握的代數(shù)學的方法可得，這里不做討論。有理真分式化為局局部式之和求解簡單的有理真分式的拆分注意分子和分母在形式上的聯(lián)系此類題目一般還有另外一種題型：注意分母分子有理化的使用4特殊題型該類題目一般被積函數(shù)形式比較復雜，一般在競賽中較常出現(xiàn)。 但在平時訓練這些題型有助于提高數(shù)學的思維邏輯能力。1.善于利用ex，因為其求導后不變。這道題目中首先會注意到xex，因為其形式比較復雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導后為ex xex與分母差ex，另外因為ex求導后不變，所以容易想到分子分母同乘以ex。2某些題正的不行倒著來這道題換元的思路比較奇特，一般我

7、們會直接使用usin x，然而這樣的換元方法是解不出此題的。我概括此類題的方法為正的不行倒著來，當u sin x這類一般的換一一 1 .元法行不通時嘗試下一sin x。這種思路類似于證明題中的反證法。u3注意復雜局部求導后的導數(shù)注意到：t t 122 J 2t edt2 t16t e2t3et3etdttt3 t2t edt2 t3心氏t2t2t3et In t3 t2 et3 In tcIn Inx 2 Inx3 In xeInx3 In Inxc此題把被積函數(shù)拆為三局部：yi，y2，y3, Yi的分子為分母的導數(shù)，y2的值為i, y3的分子為分母因式分解后的一局部。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競賽中出現(xiàn)。4對于 Rx, ax2bxc )dx( a0）型積分，考慮b24ac的符號來確定取不同的變換。如果0,設方程2 axbx c0兩個實根為