GCT數(shù)學(xué)排列組合二項(xiàng)式定理和概率課件

1、第7章 排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率一、兩個(gè)原理二、排列三、組合五、二項(xiàng)式定理四、排列、組合的應(yīng)用題六、概率（ 古典概型 ）（加法公式）（乘法公式）第7章 排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率一、兩個(gè)原理二、排列三、第7章 排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率一、兩個(gè)原理1. 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）若完成一件事有 類(lèi)辦法。在第一類(lèi)辦法中有 種不同的方法；在第二類(lèi)辦法中有 種不同的方法；在第 類(lèi)辦法中有 種不同的方法。則完成這件事共有：種不同的方法。第7章 排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率一、兩個(gè)原理1. 分類(lèi)2. 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）若完成一件事需要分成 個(gè)步驟。做第一步有 種不同的方法；做第二步有 種不同

2、的方法；做第 步有 種不同的方法。則完成這件事共有：種不同的方法。例 城 城 ； 汽車(chē)3 火車(chē)2 飛機(jī)1 村 村 村 2. 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）若完成一件事需要分成 例 4人報(bào)名參加3項(xiàng)比賽，每人報(bào)且只報(bào)一項(xiàng)， 則不同的報(bào)法有（ ）種。A. B. C. D. 解按人分步B二、排列1. 排列：從 個(gè)不同的元素中任取 個(gè)（ ）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)排列。特別：當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)為全排列。 即 個(gè)不同元素全部取出的排列。例 4人報(bào)名參加3項(xiàng)比賽，每人報(bào)且只報(bào)一項(xiàng)， 2. 排列數(shù)從 個(gè)不同的元素中取出 個(gè)（ ）元素的所有排列的個(gè)數(shù)。記作：或例 例 由2，5，7

3、，8可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解（若可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？）例 5人排成一排照相，共有多少種排法？ 解指 .2. 排列數(shù)從 個(gè)不同的元素中取出 個(gè)（ 3. 排列數(shù)公式特別：例 補(bǔ) 由 可組成多少個(gè)8位數(shù)的電話號(hào)碼？ 多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的8位數(shù)的電話號(hào)碼？ 3. 排列數(shù)公式特別：例 補(bǔ) 由 可三、組合1. 組合：從 個(gè)不同的元素中任取 個(gè)（ ）元素并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)組合。2. 組合數(shù)從 個(gè)不同的元素中取出 個(gè)（ ）元素的所有組合的個(gè)數(shù)。記作：例 指 . 由定義知三、組合1. 組合：從 個(gè)不同的元素中任取 3. 組合數(shù)公式例 4. 組合數(shù)的性質(zhì)（常當(dāng) 時(shí)用

4、）例 3. 組合數(shù)公式例 4. 組合數(shù)的性質(zhì)（常當(dāng) C（ ）.補(bǔ)解A. B. C. D. 原式等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式C（ ）.補(bǔ)解A. B. C. D. （ ）.補(bǔ)解原式（ ）.補(bǔ)解原式四、排列、組合的應(yīng)用題（大致分為三類(lèi)）1. 無(wú)限制條件的排列或組合題直接根據(jù)有關(guān)公式求。2. 有限制條件的排列或組合題直接計(jì)算法間接計(jì)算法直接計(jì)算法：把符合限制條件的排列（或組合）數(shù)直接計(jì)算出來(lái)。間接計(jì)算法：先算出無(wú)限制條件的所有排列（或組合）數(shù)，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列（或組合）數(shù)。3. 排列、組合綜合題通常先考慮組合，后考慮排列。四、排列、組合的應(yīng)用題（大致分為三類(lèi)）1. 無(wú)限制條件的排例 5名學(xué)生和2

5、位教師排成一排照相，兩位教師 不在兩端，且要相鄰的排法共有（ ）種。DA. B. C. D. 解直接計(jì)算法分步法一法二先安排老師先安排學(xué)生例 5名學(xué)生和2位教師排成一排照相，兩位教師 補(bǔ) 6人排成一排照相，其中甲、乙兩人不能相鄰 的排法有（ ）種。 解法一（間接計(jì)算）法二（直接計(jì)算）分步先安排其余4人，再安排甲、乙。補(bǔ) 6人排成一排照相，其中甲、乙兩人不能相鄰 例 5個(gè)男生和2個(gè)女生站成一排照相。 （1）共有多少種排法？（2）男生甲必須站在左端或右端，且2個(gè)女生必須相鄰，有多少種排法？（3）男生甲必須站在中間，且2個(gè)女生必須相鄰，有多少種排法？解（3）（2）先安排甲甲先安排兩個(gè)女生（1）例 5

6、個(gè)男生和2個(gè)女生站成一排照相。 例 100件產(chǎn)品中，有3件次品，其余均為合格品， （1）恰有1件次品的取法有多少種？從這100件中任取3件，則：（2）至少有1件次品的取法有多少種？（3）至多有2件次品的取法有多少種？解（3）（2）（1）間接計(jì)算間接計(jì)算直接計(jì)算例 100件產(chǎn)品中，有3件次品，其余均為合格品， 補(bǔ) 從4名男生和3名女生中挑出3人站成一排， 3人中至少有一名男生的排法共有（ ）種。 A. B. C. D. 解C法一（間接計(jì)算）法二（直接計(jì)算）補(bǔ) 從4名男生和3名女生中挑出3人站成一排， 例 將4本不同的書(shū)分給3個(gè)人，每人至少1本， 不同分配方法的種數(shù)是（ ）。BA. B. C. D

7、. 解分步由題知，3人中有一人得到2本，其余2人各得1本。先把書(shū)分組，再例 將4本不同的書(shū)分給3個(gè)人，每人至少1本， 例 把4封不同的信投入3個(gè)不同的郵箱，且每個(gè)郵箱 至少投一封信，共有（ ）種投法？C解分步A. B. C. D. 例 把4封不同的信投入3個(gè)不同的郵箱，且每個(gè)郵箱 例 4個(gè)不同的小球放入甲、乙、丙、丁4個(gè)盒中， 恰有一個(gè)空盒的放法共有（ ）種。DA. B. C. D. 解甲乙丁丙分步先選一個(gè)空盒法二先把球分組，法一分步再把球放入4個(gè)盒中。例 4個(gè)不同的小球放入甲、乙、丙、丁4個(gè)盒中， 五、二項(xiàng)式定理定理對(duì)任意 ，都有：共 項(xiàng)上式稱(chēng)為 的二項(xiàng)展開(kāi)式。 展開(kāi)式的通項(xiàng)： 展開(kāi)式的二項(xiàng)

8、式系數(shù)即五、二項(xiàng)式定理定理對(duì)任意 ，都有：共 當(dāng) 的二項(xiàng)式系數(shù)可排成下表：“楊輝三角” 二項(xiàng)式系數(shù)中，兩端都是1，且中間的系數(shù)最大. 二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性。 相鄰兩行系數(shù)間的關(guān)系（除兩端的1以外，每個(gè)系數(shù)都等于它“肩上”的兩數(shù)之和）。當(dāng) 的二項(xiàng)式系 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（令 ） 展開(kāi)式中某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)不同。例 在 的展開(kāi)式中， 第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：而第四項(xiàng)的系數(shù)為：（ 第四項(xiàng)為： ）第四項(xiàng) r=3 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（令 B 右圖是我國(guó)古代的“楊輝三角形”，按其數(shù)字 構(gòu)成規(guī)律，圖中第八行所有 中應(yīng)填數(shù)字的和補(bǔ)A. B. C. D. （09年）等于（ ）.解B 右圖是我國(guó)古代的“楊輝三

9、角形”，按其數(shù)字 求 的展開(kāi)式中 的系數(shù)。 補(bǔ)解展開(kāi)式的通項(xiàng)為： 令 ，得 的系數(shù)為： 注意：符號(hào)問(wèn)題 求 的展開(kāi)式中 的的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64， 補(bǔ)則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）。 DA. B. C. D. 解由題知 展開(kāi)式的通項(xiàng)為： 令 ，得 展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為： 注意：二項(xiàng)式系數(shù)與第幾項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別 的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64， 補(bǔ)則展已知 展開(kāi)式中所有系數(shù)之和等于81， 補(bǔ)則展開(kāi)式中 項(xiàng)的系數(shù)為（ ）。 DA. B. C. D. 解設(shè)令 ，得 展開(kāi)式的通項(xiàng)為： 展開(kāi)式中 的系數(shù)為： 已知 展開(kāi)式中所有系數(shù)之和等于8的展開(kāi)式中， 的系數(shù)是（ ） 補(bǔ)難A. B. C. D. B解的系數(shù)為

10、：又的展開(kāi)式中， 的系數(shù)是（ ） 補(bǔ)則 的值是（ ）. 補(bǔ)A若A. B. C. D. 解令 ，得 令 得 則 六、古典概率1. 基本概念 隨機(jī)現(xiàn)象：某些現(xiàn)象，在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這些現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，我們所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)，稱(chēng)為試驗(yàn)。 隨機(jī)試驗(yàn)：若一個(gè)試驗(yàn)具有下列三個(gè)特點(diǎn)： 在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行。 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先可以 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。則稱(chēng)這一試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。記為：六、古典概率1. 基本概念 隨機(jī)現(xiàn)象：某些現(xiàn)象，在個(gè)別試隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)中

11、的每一個(gè)基本結(jié)果。隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)的全體樣本點(diǎn)組成的集合。記為： 隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的子集。（簡(jiǎn)稱(chēng)事件）（隨機(jī)試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果）。通常用 表示。例拋硬幣擲骰子出現(xiàn)反面出現(xiàn)正面，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3例拋擲一枚硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況。擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)基本結(jié)果。隨機(jī)試驗(yàn)的樣本基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。（或 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本結(jié)果）事件 發(fā)生：在一次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng) 中包含的一個(gè)一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。 事件的關(guān)系及運(yùn)算設(shè) 為兩事件：“事件 與 中至少有一個(gè)發(fā)生”的事件。稱(chēng)為事件 與 的并（和）.（或 事件“

12、 或 ”）。：“事件 與 同時(shí)發(fā)生”的事件。稱(chēng)為事件 與 的交（積）.（或 事件“ 且 ”）?；臼录河梢粋€(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。（或 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本互斥事件（互不相容事件）：在一次試驗(yàn)中，若 與 不可能同時(shí)發(fā)生。例基本事件是兩兩互斥的。擲骰子出現(xiàn)1點(diǎn)，例出現(xiàn)3點(diǎn)則 與 互斥。對(duì)立事件：在一次試驗(yàn)中，若 與 不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，則稱(chēng) 與 互為對(duì)立事件。的對(duì)立事件記為：事件 的概率：互斥事件（互不相容事件）：在一次試驗(yàn)中，若 與 2. 古典概型若隨機(jī)試驗(yàn) 滿(mǎn)足： 基本事件只有有限個(gè)。 每一個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的。（等可能概型）定理在古典概型中， 是一個(gè)隨機(jī)事件，則基本事件的總

13、數(shù)事件 所包含的基本事件的個(gè)數(shù)其中：則稱(chēng)此試驗(yàn)（試驗(yàn)?zāi)Ｐ停楣诺涓判汀?計(jì)算 常要用排列、組合的知識(shí)。2. 古典概型若隨機(jī)試驗(yàn) 滿(mǎn)足： 基本事件只有有例 一袋內(nèi)有10個(gè)大小相同的球，其中有6個(gè)白球， 4個(gè)黑球?，F(xiàn)從中任取2球，求：（2）取出的2球恰好一黑一白的概率；解此題屬古典概型（1）取出的2球都是白球的概率；（3）取出的2球中至少有一個(gè)黑球的概率。法一（1）（2）（3）法二先不講！例 一袋內(nèi)有10個(gè)大小相同的球，其中有6個(gè)白球， 例 某市電話號(hào)碼由8位數(shù)字組成，設(shè)每位數(shù)字可以 是從0到9這10個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)，電話號(hào)碼A由8個(gè)不同數(shù)字組成的概率是（ ）。A. B. C. D. 解此題屬古

14、典概型例 某市電話號(hào)碼由8位數(shù)字組成，設(shè)每位數(shù)字可以 例 桌上有中文書(shū)6本、英文書(shū)6本、俄文書(shū)3本。 從中任取3本，其中恰有中文書(shū)、英文書(shū)、俄文書(shū)C各1本的概率是（ ）。A. B. C. D. 解此題屬古典概型例 桌上有中文書(shū)6本、英文書(shū)6本、俄文書(shū)3本。 例 將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中， 每格至多放一個(gè)球，則3個(gè)空格相連的概率是（ ）CA. B. C. D. 解此題屬古典概型 “3個(gè)空格相連”可看成占一個(gè)格子三個(gè)空格相連的放法共有6種，有兩種理解： 直接數(shù)出來(lái)例 將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中， 從 這十個(gè)數(shù)中任取四個(gè)數(shù)， 補(bǔ)A. B. C. D. B解其和為奇數(shù)的概率是

15、（ ）。（選最接近的一個(gè)選項(xiàng)）此題屬古典概型1奇3偶2奇2偶3奇1偶4奇4偶從 這十個(gè)數(shù)中任取若從 這十個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)， 補(bǔ)A. B. C. D. B則它們能構(gòu)成公比大于1的等比數(shù)列的概率是（ ）.解此題屬古典概型能構(gòu)成公比大于1的等比數(shù)列的3個(gè)數(shù)只有：四種情況。若從 這十個(gè)數(shù)中任取有長(zhǎng)為1cm, 2cm，3cm, 4cm, 5cm, 6cm的六根細(xì) 補(bǔ)A. B. C. D. D木條，任取其中3根為邊能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率解此題屬古典概型為（ ）.能構(gòu)成三角形的3根木條共有如下7種情況：有長(zhǎng)為1cm, 2cm，3cm, 4cm, 5cm, 6cm 3. 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率（加法公

16、式）定理若事件 與 互斥，則有：可推廣一般地，推論（常用于：“至少有一個(gè) ） 3. 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率（加法公式）定理若事件 例 一袋內(nèi)有10個(gè)大小相同的球，其中有6個(gè)白球， 4個(gè)黑球?，F(xiàn)從中任取2球，求：解（3）取出的2球中至少有一個(gè)黑球的概率。法二例 在10件產(chǎn)品中，有6件一等品，4件二等品。從中任 取3件，其中至少有一件為二等品的概率是多少？解有兩種方法例 一袋內(nèi)有10個(gè)大小相同的球，其中有6個(gè)白球， 例 在 中任取一數(shù)，求該數(shù)能被2整除或能被5整除的概率。解設(shè)該數(shù)能被2整除，則該數(shù)能被5整除（ ）例 在 中任取一數(shù)，求該數(shù)能被2整除 4. 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率（乘法公式）定

17、理若事件 與 相互獨(dú)立，則有：可推廣若一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，則稱(chēng)這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立。（投籃、射擊）定理若事件 與 相互獨(dú)立，事件 與 ； 事件 與 ； 事件 與 。 都相互獨(dú)立。則： 4. 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率（乘法公式）定理若事件例 甲、乙兩人獨(dú)立射擊一目標(biāo)，各射擊一次，已知甲命中概率為0.7，乙命中概率為0.6，試求：（2）恰有一人命中的概率；（1）兩人都命中的概率；（3）至少有一人命中的概率。解設(shè)甲命中，乙命中則由題知，（1）（2）互斥例 甲、乙兩人獨(dú)立射擊一目標(biāo)，各射擊一次，已知甲命中概率為（3）法二法一設(shè)至少有一人命中，則法三（3）法二法一設(shè)至少有一

18、人命中，則法三例 打印一頁(yè)文件，甲出錯(cuò)的概率為0.04，乙出錯(cuò)的概率為0.05。從兩人打印的文件中各任取一頁(yè)，C其中恰有一頁(yè)出錯(cuò)的概率是（ ）。A. B. C. D. 解設(shè)甲出錯(cuò)，乙出錯(cuò)則由題知，互斥例 打印一頁(yè)文件，甲出錯(cuò)的概率為0.04，乙出錯(cuò)的概率為0例 有兩個(gè)獨(dú)立的報(bào)警器，當(dāng)緊急情況發(fā)生時(shí)，它們發(fā)出信號(hào)的概率分別是0.95和0.92，則在緊急情況D出現(xiàn)時(shí)，至少有一個(gè)報(bào)警器發(fā)出信號(hào)的概率是（ ）.A. B. C. D. 解設(shè)甲報(bào)警器發(fā)出信號(hào)則由題知，乙報(bào)警器發(fā)出信號(hào)法一法二例 有兩個(gè)獨(dú)立的報(bào)警器，當(dāng)緊急情況發(fā)生時(shí)，它們發(fā)出信號(hào)的概在一段電路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)開(kāi)關(guān)，只要其中補(bǔ)A. B. C. D. A解有一個(gè)開(kāi)關(guān)閉合，線路就能正常工作。已知在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，則在這段時(shí)間內(nèi)線路能正常工作的概率為（ ）.設(shè)某段時(shí)間內(nèi)甲