10年全國建模競賽爾濱工程2010賽19組

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號的話）： 08019 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?哈爾濱工程大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 宿騰野 2. 陳 文 3. 李潔洋 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）： PAGE 20儲油罐的變位識別和罐容表標(biāo)定摘要本文主要研究了儲油罐的變位對罐容表標(biāo)定值的影響，并且

3、給出了在不同變位條件下相應(yīng)的罐容表標(biāo)定值。在問題一中，我們用含參重積分的方法建立油位高度與儲油量的數(shù)學(xué)模型。分別對橢圓型儲油罐的縱向截面圖和橫向截面圖進(jìn)行分析。其以油面探針為軸的縱向截面為橢圓，通過積分求解出其面積；考慮儲油罐的橫向軸向截面圖，將其分為三部分進(jìn)行求解，即下部楔形，中部梯形和上部缺楔形，根據(jù)相應(yīng)的幾何關(guān)系，對橫截面面積進(jìn)行積分，即為重積分，從而得出三種情況下儲油容積與油位高度之間的數(shù)學(xué)模型。通過對該模型和所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)存在縱向傾角時(shí)，在儲油量不變的情況下，原系統(tǒng)的測定油位增高，顯示儲油量增大。最后，我們利用該模型給出了在縱傾角為，油位高度間隔為1時(shí)的罐容表標(biāo)定值，

4、并用差分的方法對誤差進(jìn)行了分析和計(jì)算。在問題二中，我們分四步進(jìn)行處理。首先，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，延續(xù)問題一中分類討論的思想。為了簡化模型并在誤差允許范圍內(nèi)，我們將儲油罐的縱傾模式轉(zhuǎn)化為水平模式，并利用含參重積分的方法求解，同時(shí)將球冠體近似轉(zhuǎn)化為橢球，對儲油容積進(jìn)行計(jì)算，從而建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。其次，求解傾角和時(shí)，以一次性補(bǔ)充進(jìn)油點(diǎn)為分界點(diǎn)，對附件所給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和擬合，得到兩條曲線及其相應(yīng)的方程，通過數(shù)值計(jì)算可知兩條曲線具有相似性，并結(jié)合數(shù)學(xué)模型，得到合理的傾角值。再次，欲畫出罐容表標(biāo)定值的數(shù)據(jù)表格，假設(shè)橫縱傾角在合理的區(qū)間范圍內(nèi)，對油面高度給予每間隔10的賦值，從而獲得多組油面高度與儲油量

5、的對應(yīng)關(guān)系。最后，根據(jù)附件中所給的出油量，得到一組累加出油量的數(shù)據(jù)，結(jié)合具有一定區(qū)間范圍的橫縱傾角，對該數(shù)學(xué)模型的正確性和可靠性進(jìn)行了論證。關(guān)鍵字：變位識別；罐容表；含參重積分；數(shù)形結(jié)合；曲線擬合一問題重述加油站的地下儲油罐一般都會有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量油量和罐內(nèi)油位高度，通過罐容表計(jì)算，從而得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。但儲油罐在長期使用后，由于很多外部原因，罐體會發(fā)生縱向和橫向的位變，從而使罐容表所得數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確。此時(shí)，需要對罐容表進(jìn)行重新的標(biāo)定，以使數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可用。儲油罐尺寸及形狀參照示意圖。請用數(shù)學(xué)建模的方法研究并解決儲油罐的變位識別和罐容表標(biāo)定的

6、問題。（1）用小橢圓型儲油罐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別對罐體不發(fā)生變位和縱向傾斜時(shí)進(jìn)行測量得相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以及相關(guān)資料建立數(shù)學(xué)模型，研究罐體變位后對罐容表的影響，同時(shí)根據(jù)所求數(shù)學(xué)模型分析出變位后油位的高度間隔為1cm時(shí)罐容表得標(biāo)定值。（2）考慮實(shí)際儲油罐，分析罐內(nèi)儲油量與油位高度以及變位參數(shù)的關(guān)系，建立罐容表的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求對應(yīng)的變位參數(shù)，對所建立的模型進(jìn)行數(shù)值分析，獲得油位在10cm等間隔變化的罐容表標(biāo)定值，最后再次利用監(jiān)測數(shù)據(jù)對模型的正確性和穩(wěn)定性進(jìn)行論證。二問題分析一般情況下，加油站的地下儲油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形，壓力改變等因素的原因，儲油罐的罐體會發(fā)生縱向

7、傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，從而使其油位計(jì)量管理系統(tǒng)中罐容表所測得的油位高度和儲油量的對應(yīng)關(guān)系顯示的不正確。所以，需要對罐容表進(jìn)行定期的重新檢測和標(biāo)定。要對小橢圓型儲油罐進(jìn)行罐體變位后對罐容表的影響進(jìn)行研究，需要建立起縱向傾角與油位高度的關(guān)系，從而確定在存在縱向傾角情況下的罐容表，即罐內(nèi)油位高度與儲油量的關(guān)系，并對模型進(jìn)行分析，得到罐體變位的影響。考慮實(shí)際儲油罐時(shí)，對儲油罐的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，通過對罐內(nèi)容積的計(jì)算，建立罐內(nèi)儲油量與油位高度以及變位參數(shù)之間的一般關(guān)系。對實(shí)際檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，建立起與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系，從而求得相應(yīng)的變位參數(shù)，并利用上問的思想，給出油位高度間隔10cm的罐容表。最后根據(jù)一定

8、的模型分析方法，檢驗(yàn)所建立的數(shù)學(xué)模型的正確性和穩(wěn)定性。三模型假設(shè)儲油罐中的注油管，出油管，油位探針等所占體積可忽略不計(jì)；儲油罐中儲存燃油的體積不受溫度，壓強(qiáng)等外界因素的影響；儲油罐中儲存燃油不向外滲透；四符號說明儲油罐內(nèi)油位高度；橢圓柱體的長軸半徑；橢圓柱體的短軸半徑；高端液面；矩形的寬度；矩形面中與油浮子同軸直線的液面高度；低端液高；縱向傾角；橫向傾角；傾斜比的倒數(shù)；橢球柱體的總體積；高端液高為時(shí)的容積；液面位于中部梯形時(shí)的容積；低端空高為時(shí)的罐空楔形體容積；球冠體邊緣圓形半徑；橢圓短軸半徑；橢圓長軸半徑；球冠體所屬球體半徑；縱向傾斜液面長度；弓形面積高度；截面到側(cè)邊的距離；中區(qū)高端起始高；

9、高度為時(shí)弓形面積；液體截面積；球冠部分容積；中部區(qū)直圓筒的容積；下部楔形體的部分容積；液面處于上部楔形體時(shí)的部分容積；液面處于上部楔形體時(shí)的罐內(nèi)總?cè)莘e；液面處于中部區(qū)的罐內(nèi)總?cè)莘e；液面處于下部楔形體的罐內(nèi)總?cè)莘e；矩形截面長度；油浮子左側(cè)長度；油浮子右側(cè)長度；五模型的建立和求解問題一：小橢圓型儲油罐為兩端平頭的橢圓柱體，儲油量為儲油罐內(nèi)所儲存油量的體積，兩個(gè)通過橢圓柱體兩端上、下角的平面，把其分成1,2,3三個(gè)部分，其中1，3兩部分為楔形體，2部分是水平液面為梯形的中部區(qū)，現(xiàn)分別討論三部分的計(jì)算方法。下部楔形體的部分容積計(jì)算 圖1. 下部楔形體如圖1，當(dāng)，即時(shí)，為下部楔形地區(qū)，在距離液面高端處，

10、用一個(gè)垂直于橢圓柱體的截面，截得面，如圖2，為橢圓，短軸半徑，長軸半徑，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上。圖2. 截面AA面根據(jù)橢圓方程則有， （1）于是， （2）把坐標(biāo)原點(diǎn)由移至，軸移至，則， （3）高度為時(shí)弓形面積按下式積分，即， （4）高端液面為時(shí)的部分容積為， （5）由于， （6）且， （7）則， （8）當(dāng)時(shí)， （9）， （10）則， （11）對上式進(jìn)行分步計(jì)算，得， （12）其中， （13）液面處于中部區(qū)的部分容積計(jì)算圖3. 中部區(qū)梯形如圖3，當(dāng)，即時(shí)，為中部區(qū)，該區(qū)高端起始高可按下式計(jì)算， （14）當(dāng)液面處于該區(qū)時(shí)，其液面的形狀為一兩端弦長和截去部分的橢圓面。令此時(shí)高端液高為，低端液高為，經(jīng)分析并

11、由式（12）得液面處于中部區(qū)的部分容積計(jì)算公式為， （15） （16）液面位于上楔形體的部分容積計(jì)算圖4. 液面位于上楔形體如圖4，當(dāng)高端液面的范圍在，即高端液面進(jìn)入上部楔形區(qū)并且低于油浮子的高度（油位顯示高度）時(shí)，其部分容積可按下式計(jì)算， （17）則： （18）式中， （19）罐內(nèi)油量初值為215時(shí)，由上述三部分罐內(nèi)油總量計(jì)算公式，可得在時(shí)，油位高度每增加間隔得儲油量的相應(yīng)數(shù)值，即罐容表標(biāo)定值如下表：表1. 縱傾角時(shí)罐容表標(biāo)定值流水號油罐號油位高度/mm累加進(jìn)油量/L流水號油罐號油位高度/mm累加進(jìn)油量/L2111411.29576.72 2431731.292041.60 2121421.

12、29611.05 2441741.292093.60 2131431.29646.35 2451751.292145.40 2141441.29682.60 2461761.292197.00 2151451.29719.79 2471771.292248.20 2161461.29757.90 2481781.292299.10 2171471.29796.91 2491791.292349.50 2181481.29836.82 2501801.292399.40 2191491.29877.59 2511811.292448.70 2201501.29919.21 2521821.292

13、497.20 2211511.29961.65 2531831.292545.00 2221521.291004.90 2541841.292591.80 2231531.291048.90 2551851.292637.70 2241541.291093.70 2561861.292682.40 2251551.291139.20 2571871.292725.90 2261561.291185.40 2581881.292768.10 2271571.291232.20 2591891.292808.80 2281581.291279.70 2601901.292847.90 229159

14、1.291327.80 2611911.292885.20 2301601.291376.40 2621921.292920.70 2311611.291425.60 2631931.292954.10 2321621.291475.30 2641941.292985.30 2331631.291525.40 2651951.293014.00 2341641.291575.90 2681961.293040.20 2351651.291626.80 2691971.293063.60 2361661.291678.10 2701981.293083.90 2371671.291729.60

15、2711991.293101.00 2381681.291781.30 27211001.293114.50 2391691.291833.20 27311011.293124.20 2401701.291885.30 27411021.293129.70 2411711.291937.40 27511031.293130.70 2421721.291989.50 通過附表中所給數(shù)據(jù)的曲線擬合，可得出在時(shí)顯示油位高度與出油量之間的曲線關(guān)系，并應(yīng)用數(shù)據(jù)處理軟件得出與模型理論推算相同油位高度每增加間隔的實(shí)際儲油量，見表2，將兩表數(shù)據(jù)對比，進(jìn)行相應(yīng)的誤差分析，將同一油位高度下的累加進(jìn)油量進(jìn)行差分計(jì)算

16、。令模型所得累加進(jìn)油量為，由附表算得累加進(jìn)油量為，則誤差為， （20）表2. 由附件得縱傾角時(shí)罐容表標(biāo)定值流水號油罐號油位高度/mm累加進(jìn)油量/L流水號油罐號油位高度/mm累加進(jìn)油量/L2111411.29747.862431731.292060.62121421.29765.42441741.292102.42131431.29807.22451751.292144.22141441.298492461761.2921862151451.29890.82471771.292227.72161461.29932.62481781.292269.52171471.29974.32491791.2

17、92311.32181481.291016.12501801.292353.12191491.291057.92511811.292394.92201501.291099.72521821.292436.62211511.291141.52531831.292478.42221521.291183.22541841.292520.22231531.2912252551851.2925622241541.291266.82561861.292603.82251551.291308.62571871.292645.52261561.291350.42581881.292687.32271571.2

18、91392.12591891.292729.12281581.291433.92601901.292770.92291591.291475.72611911.292812.72301601.291517.52621921.292854.42311611.291559.32631931.292896.22321621.2916012641941.2929382331631.291642.82651951.292979.82341641.291684.62681961.293021.62351651.291726.42691971.293063.32361661.291768.22701981.2

19、93105.12371671.291809.92711991.293146.92381681.291851.727211001.293188.72391691.291893.527311011.293230.52401701.291935.327411021.293272.22411711.291977.127511031.293299.742421721.292018.8問題二：對于實(shí)際儲油罐，其主體是圓柱體，兩端為球冠體，油罐的儲油量即罐內(nèi)容積可分主體和球冠兩部分考慮。首先分析球冠體的體積。圖5. 球冠頂部部分容積計(jì)算如圖5，將兩個(gè)球冠體近似視為橢球，則，橢球方程為， （21）則， （22

20、）若和均取正值，取負(fù)值，其頂型部分的部分容積為， （23）則， （24）其中， 主體部分的圓柱體：液面處于中部區(qū)的部分容積計(jì)算圖6. 液面處于中部區(qū)如圖6，。利用矩形面積等于梯形面積的方法，求出與的關(guān)系。為傾斜時(shí)的液面，為水平狀態(tài)下的液面，矩形面積。在梯形中， （25） （26）梯形面積， （27）因?yàn)椋?（28）則， （29）即， （30）圖7. 橫傾時(shí)示意圖而如圖7，可得， （31）帶入得， （32）圖8. 直圓筒的橫截面圓的方程為， （33）即， （34）液面為，即， （35）也就是直線的方程。將代入2圓的方程得 （36）微元面積 （37）并且， （38）液體截面積為， （39）直圓筒的

21、體積為， （40）即， （41）則，液面處于中部區(qū)的部分容積，即儲油量為， （42）下部楔形體的部分容積計(jì)算圖9. 下部為楔形體如圖9，下部為楔形體時(shí)，同樣利用面積近似相等的方法，即三角形面積與矩形面積等價(jià)，并且同時(shí)考慮縱向傾斜與橫向傾斜的影響，從而得出為， （43）又， （44）下部楔形體的部分容積， （45）則，液面處于中部楔形體的部分容積，即儲油量為， （45）液面位于上楔形體的部分容積計(jì)算圖10. 液面位于上楔形體如圖10，上部未儲油部分為楔形體時(shí)，根據(jù)面積近似相等的方法，即三角形面積與矩形面積等價(jià)，并且考慮縱向傾斜與橫向傾斜的影響，從而得出此時(shí)為， （46）又， （47）則上部未儲油

22、部分為楔形體時(shí)，儲油量為， （48）則，液面處于上部楔形體的部分容積，即總儲油量為， （49）對附件2所給數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得如下曲線圖，圖11. 一次性補(bǔ)充進(jìn)油前圖12. 一次性補(bǔ)充進(jìn)油后根據(jù)圖示以及函數(shù)擬合，可以看出兩段函數(shù)關(guān)系近似相同，并且接近于線性，則，我們尋找多個(gè)滿足數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)點(diǎn)，對模型進(jìn)行求解，得出相應(yīng)的縱向傾角和橫向傾角的值。分析所建立的數(shù)學(xué)模型，擬定縱向傾角和橫向傾角波動(dòng)區(qū)間，以及顯示油高的初值，通過數(shù)學(xué)軟件的計(jì)算，便可給出油位高度間隔為10的罐容表的標(biāo)定值，如下表所示，表3. 油位高度間隔為10的罐容表的標(biāo)定值顯示油高/mm顯示油量容積/L顯示油量容積/L顯示油量容積/L顯示

23、油量容積/L顯示油量容積/L4007516.095697.386561.525000.16175.950010265.76793.587454.825698.47983.2360012965.57839.689261.086463.29627.6870015602.79584.6510659.717235.410118.880018164.611392.3811812.878875.612456.390020638.413694.2512443.1410245.714140.3100023011.315398.6814600.5112549.7117513.19110025270.718594

24、.7616328.7314583.120178.2120027403.821795.4718666.4516205.222598.6130029397.925792.3123648.2719452.8427849.2140031240.228934.5925305.6121448.933593.8150032917.931029.4728667.6323254.137368.9160034418.436937.4834762.1525984.640100.3170034418.441037.8336616.5528964.243210.6180036836.545692.4140258.834

25、489.246489.2190037728.747923.2743718.4736983.648945.2200038392.749835.5248027.7438846.750410.9210038815.751139.5952223.0541497.352198.5220038984.954631.2956579.444763.957649.3對于整個(gè)儲油罐的數(shù)學(xué)模型來說，我們只給出了部分，的波動(dòng)區(qū)間和部分顯示油高的范圍，所以，只是根據(jù)數(shù)學(xué)模型得到局部的儲油量數(shù)據(jù)，可以通過相同的方法得到近乎完整的罐容表標(biāo)定值。將附件2中的出油量累加，得出累加出油量，根據(jù)累加出油量我們可以得到真實(shí)的儲油量，

26、將此量與相應(yīng)的顯示油高代入我們所建立的數(shù)學(xué)模型，對，進(jìn)行求解并與先前的結(jié)果對比，通過誤差分析可知，其誤差滿足標(biāo)定表所給傾角的變化區(qū)間。由此我們得出該數(shù)學(xué)模型的正確性和方法的可靠性。六模型的評價(jià)1. 模型的優(yōu)點(diǎn)本文通過對儲油罐的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行仔細(xì)的分析，給出分三部分計(jì)算的方法來就接數(shù)學(xué)模型，同時(shí)在問題二中我們對問題一中的模型進(jìn)行了改進(jìn)，給出將縱向傾斜轉(zhuǎn)化為水平的想法并給予實(shí)現(xiàn)，建立了變位時(shí)油位高度與儲油量的數(shù)學(xué)模型，重新標(biāo)定變位時(shí)的罐容表，在求解罐容表標(biāo)定值時(shí)，我們將兩傾角劃在一定的區(qū)間內(nèi)，從而使數(shù)據(jù)更實(shí)用，有效。2. 模型的缺點(diǎn)和改進(jìn)在建立模型時(shí)，限于復(fù)雜程度的考慮，我們將球冠部分的容積近似為相

27、應(yīng)的橢球的容積，進(jìn)行計(jì)算和建模；在建立模型后，限于時(shí)間的原因，我們只計(jì)算了部分參數(shù)范圍內(nèi)的罐容表的標(biāo)定值。我們可以分析并推導(dǎo)出球冠容積的簡單表達(dá)式，從而使模型更為簡單化，在其他計(jì)算時(shí)也可更省時(shí)間。七參考文獻(xiàn)1沈繼紅等，數(shù)學(xué)建模，哈爾濱工程大學(xué)出版社，2005年2姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，年3蘇金明，阮沈勇，MATLAB實(shí)用教程（第版），北京：電子工業(yè)出版社， 年4廉育英，容量計(jì)量技術(shù)，中國計(jì)量出版社，2006年5樊映川，等編，高等數(shù)學(xué)講義，北京，高等教育出版社，1993年附 錄Matlab中程序?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)入數(shù)據(jù)表輸入數(shù)據(jù)調(diào)用工具箱：cftool可得擬合方程呵圖像（1）Lin

28、ear model Poly3: f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -2.497e-006 (-2.621e-006, -2.374e-006) p2 = 0.005394 (0.005123, 0.005664) p3 = 0.4491 (0.2584, 0.6398) p4 = -172.9 (-216.1, -129.7) （2）fun2.m文件編寫函數(shù) function f=fun2(x) f=2.497e-006*x3 + 0.005394*x2 + 0.44

29、91*x +-172.9 p4; %命令窗口調(diào)用函數(shù)得到相對應(yīng)的累進(jìn)進(jìn)油量 X=411.29：10：1035.36；Y=fun2(x) Y = 1.0e+003 * Columns 1 through 19 0.7478 0.7654 0.8072 0.8490 0.8908 0.9326 0.9743 1.0161 1.0579 1.0997 1.1415 1.1832 1.2250 1.2668 1.3086 1.3504 1.3921 1.4339 1.4757 Columns 20 through 38 1.5175 1.5593 1.6010 1.6428 1.6846 1.7264 1.7682 1.8099 1.8517 1.8935 1.9353 1.9771 2.0188 2.0606 2.1024 2.1442 2.1860 2.2277 2.2695 Columns 39 through 57 2.3113 2.3531 2.3949 2.4366 2.4784 2.5202 2.5620 2.6038 2.6455 2.6873 2.7291 2.7709 2.8127 2.8544 2.8962 2.9380 2.9798 3.0216 3.0633 Columns 58 through 63 3.1051