自動控制原理課程設(shè)計倒立擺系統(tǒng)控制器設(shè)計樣本

1、一、引言支點在下，重心在上，恒不穩(wěn)定的系統(tǒng)或裝置的叫倒立擺。倒 立擺控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、 不穩(wěn)定的、 非線性系統(tǒng)，是進 行控制理論教學(xué)及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。1.1問題的提出倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級，二級，三級 倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自有連接（即無電動機或其 它驅(qū)動設(shè)備）。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許 多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動 問題以及跟蹤問題等。經(jīng)過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控 制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，而且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。

2、當擺桿到達期望 的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。1.2倒立擺的控制方法倒立擺系統(tǒng)的輸入來自傳感器的小車與擺桿的實際位置信 號，與期望值進行比較后，經(jīng)過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù) 模轉(zhuǎn)換驅(qū)動直流電機實現(xiàn)倒立擺的實時控制。直流電機經(jīng)過皮 帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上， 能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。作用力 u平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平 面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平鐵軌運動。當沒有作用力時，擺桿處 于垂直的穩(wěn)定的平衡位置（豎直向下）。為了使桿子擺動或者 達到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其在軌道上 被往前或朝后拉動

3、。本次設(shè)計中我們采用其中的牛頓一歐拉方法建立直線型一級 倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后經(jīng)過開環(huán)響應(yīng)分析對該模型進行分 析，并利用學(xué)習的古典控制理論和Matlab /Simulink仿真軟件對 系統(tǒng)進行控制器的設(shè)計，主要采用根軌跡法，頻域法以及PID（比 例-積分-微分）控制器進行模擬控制矯正。2直線倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最 常見的倒立擺之一，直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組 件，直線運動模塊有一個自由度，小車能夠沿導(dǎo)軌水平運動，在 小車上裝載不同的擺體組件。系統(tǒng)建模能夠分為兩種：機理建模和實驗建模。實驗建模就是 經(jīng)過在研究對象上加上一系列的研究

4、者事先確定的輸入信號，激 勵研究對象并經(jīng)過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建 立起系統(tǒng)的輸入一輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取，輸 出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。鑒于小車倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困 難。因此，本文經(jīng)過機理建模方法建立小車倒立擺的實際數(shù)學(xué)模型,可根據(jù)微分方程求解傳遞函數(shù)。2.1微分方程的推導(dǎo)（牛頓力學(xué)方法）微分方程的推導(dǎo)在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直 線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。 做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置擺桿與垂直向上方向的夾角擺桿與垂直向下方

5、向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向 下）圖2-1直線一級倒立擺模型系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖是圖2。其中，N和P為小車與 擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定,因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。圖2-2小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，能夠得到以下方程:M X = F - 統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定,因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。圖2-2小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，能夠得到以下方程:M X = F - bx- N(2-1)由擺桿水平方向的受力進行分析

6、能夠得到下面等式:d 2N = m d- (x +1 sin 0)(2-2)即:2 八N = m x + ml 0 cos 0 - ml 0 sin 0(2-3) 把這個等式代入式(1)中，就得到小車運動方程(第一個運動方 程):(2-4)2八(2-4)(M + m)x + bx + ml。cos0 一ml0 sin0 = F為了推出擺桿的運動方程(第二個運動方程)，對擺桿垂直方向上的合力進行分析，能夠得到下面方程：d 2P -mg = md(lcos0)(2-5)(2-6)2(2-6)P 一 mg = -ml 0 sin 0 一 ml 0 cos 0力矩平衡方程如下:-Pl sin0 - N

7、l cos0 = 10(2-7)注意：方程中力矩的方向，由于0 =兀 +8 , cos8 = -cos0 , sin8 = -sin0(6)和(3)代入(7),約去P和N,得到擺桿運動方程(第二個運動(2-8)方程) :(2-8)(I + ml 2) 0+ mgl sin 0 = -ml x cos 0設(shè)0=k+8 ( 8是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)8與1(單位是弧度)相比很小，即8 1,則能夠進行線性化近似處理：d0cos 0 = -1 , sin 0 = -8 ,()2 = 0dt用K來代表被控對象的輸入力F ,線性化后兩個運動方程如下:(I + ml 2)可-mgl8 = ml

8、 x (M + m) X+ bx-ml 8)= u進行拉氏變換，得：I (I + ml 2 )以s)s 2 - mglQ(s) = mlX (s)s 2(M + m)X(s)s 2 + bX (s)s - mlQ(s)s 2 = U(s)(2-9)由于輸出為角度n ,求解方程組的第一個方程，能夠得到：X(s)(52)-旦中(s),即：絲二世|_ mls 2 JX (s) (I + ml 2 )s 2 - mgl(2-10)式稱為擺桿角度與小車位移的傳遞函數(shù)如令v = x,則有：中(s)mlV (s) (I + ml 2) s 2 - mgl(2-11)式稱為擺桿角度與小車加速度間的傳遞函數(shù)，由

9、于伺服電 機的速度控制易于實現(xiàn)在實驗中常采用此式。把(10)式代入(9)式的第二個方程中，得到：(M + m)|(1 + ml2)- lo(s)s2 + b(1 + ml2 -旦；中(s)s -ml(s)s2 = U(s)I ml s II ml s 2 ImlsU(s) s 3+ b(I + ml 2) s 2 (M + m)mgl s bmgl qq q(2-12)其中,q = M + m)(I + ml 2) - (ml) 2其中,式稱為擺桿角度與外加作用力間的傳遞函數(shù)2.2實際系統(tǒng)的模型參數(shù)M:小車質(zhì)量1.096kgm:擺桿質(zhì)量0.109kgb:小車摩擦系數(shù)0.1N/secl:擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.25mI:擺桿慣量0.0034kgm22.3實際數(shù)學(xué)模型把上述參數(shù)代入，能夠得到系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：中(s) _0.02725s2X (s) - 0.0102125s2 0.26705(2-13)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：中(s) _0.027