2023學年上海市寶山區(qū)劉行新華實驗學校九年級數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

1、2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1下列命題是真命題的是（）A如果a+b0，那么ab0B的平方根是4C有公共頂點的兩個角是對頂角D等腰三角形兩底角相等2如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點，DEAC若SBDE：SA

2、DE=1:2.則SDOE：SAOC的值為（ ）ABCD3（11大連）某農(nóng)科院對甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗田進行試驗，得到兩個品種每公頃產(chǎn)量的兩組數(shù)據(jù)，其方差分別為s甲20.002、s乙20.03，則 ( )A甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定B乙比甲的產(chǎn)量穩(wěn)定C甲、乙的產(chǎn)量一樣穩(wěn)定D無法確定哪一品種的產(chǎn)量更穩(wěn)定4如圖，點A、B、C是O上的點，AOB=70，則ACB的度數(shù)是（）A30B35C45D705把拋物線向右平移一個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線的解析式為（ ）ABCD6若，則的值是（ ）ABCD7對于二次函數(shù)，下列描述錯誤的是（ ）A其圖像的對稱軸是直線=1B其圖像的頂點坐標是（1，-

3、9）C當=1時，有最小值-8D當1時，隨的增大而增大8兩個相似三角形的對應邊分別是15cm和23cm，它們的周長相差40cm，則這兩個三角形的周長分別是（）A45cm，85cmB60cm，100cmC75cm，115cmD85cm，125cm9如圖，ABCAEF且點F在BC上，若AB=AE，B=E，則下列結論錯誤的是（ ）AAC=AFBAFE=BFECEF=BCDEAB=FAC10如圖，二次函數(shù)()圖象的頂點為，其圖象與軸的交點，的橫坐標分別為和1下列結論：；當時，是等腰直角三角形其中結論正確的個數(shù)是()A4個B1個C2個D1個11如圖，拋物線和直線，當時，的取值范圍是（ ）AB或C或D12共

4、享單車已經(jīng)成為城市公共交通的重要組成部分，某共享單車公司經(jīng)過調(diào)查獲得關于共享單車租用行駛時間的數(shù)據(jù)，并由此制定了新的收費標準：每次租用單車行駛a小時及以內(nèi)，免費騎行；超過a小時后，每半小時收費1元，這樣可保證不少于50%的騎行是免費的制定這一標準中的a的值時，參考的統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的（）A平均數(shù)B中位數(shù)C眾數(shù)D方差二、填空題（每題4分，共24分）13如圖，將一張畫有內(nèi)切圓P的直角三角形紙片AOB置于平面直角坐標系中，已知點A（0，3），B（4，0），P與三角形各邊相切的切點分別為D、E、F 將直角三角形紙片繞其右下角的頂點依次按順時針方向旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)至圖位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖位置，則

5、直角三角形紙片旋轉(zhuǎn)2018次后，它的內(nèi)切圓圓心P的坐標為_14如圖，O的半徑OC=10cm，直線lOC，垂足為H，交O于A，B兩點，AB=16cm，直線l平移_cm時能與O相切15如圖，圓心角都是90的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，OA3，OC1，分別連接AC、BD，則圖中陰影部分的面積為_16如圖，O的直徑AB=20cm，CD是O的弦，ABCD，垂足為E，OE：EB=3：2，則CD的長是_ cm17如圖，正方形ABCD的邊長為5，E、F分別是BC、CD上的兩個動點，AEEF則AF的最小值是_18如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，A120，過點C的圓的切線交BO于點P，則P的度數(shù)為_三、解答題

6、（共78分）19（8分）如圖，AB為O的直徑，點C為O上一點，CHAB于H，CAB30.(1)如圖1，求證：AH3BH.(2)如圖2，點D為AB下方O上一點，點E為AD上一點，若BOECAD，連接BD，求證：OEBD(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CE，若CEAD，OA14，求BD的長.20（8分）有這樣一個問題，如圖1，在等邊中，為的中點，分別是邊，上的動點，且，若，試求的長愛鉆研的小峰同學發(fā)現(xiàn)，可以通過幾何與函數(shù)相結合的方法來解決這個問題，下面是他的探究思路，請幫他補充完整（1）注意到為等邊三角形，且，可得，于是可證，進而可得，注意到為中點，因此和滿足的等量關系為_（2）設，則的取值范

7、圍是_結合（1）中的關系求與的函數(shù)關系（3）在平面直角坐標系中，根據(jù)已有的經(jīng)驗畫出與的函數(shù)圖象，請在圖2中完成畫圖（4）回到原問題，要使，即為，利用（3）中的圖象，通過測量，可以得到原問題的近似解為_（精確到0.1）21（8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其頂點為點，點的坐標為（0，1），該拋物線與交于另一點，連接.（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為的形式；（2）若點在上，連接，求的面積；（3）一動點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿平行于軸方向向上運動，連接，設運動時間為秒（0），在點的運動過程中，當為何值時，？22（10分）如圖，O的直徑AB

8、與弦CD相交于點E，且DECE，O的切線BF與弦AD的延長線交于點F（1）求證：CDBF；（2）若O的半徑為6，A35，求的長23（10分）閱讀下列材料，并完成相應的任務.任務：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別指什么？依據(jù)1： 依據(jù)2： （2）當圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理： （請寫出定理名稱）.（3）如圖（3），四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB=3，AD=5，BAD=60，點C是弧BD的中點，求AC的長.24（10分）已知銳角ABC內(nèi)接于O，ODBC于點D（1）若BAC=60，O的半徑為4，求BC的長；（2）請用無刻度直尺畫出ABC的角平分線

9、AM （不寫作法，保留作圖痕跡）25（12分）動畫片小豬佩奇分靡全球，受到孩子們的喜愛.現(xiàn)有4張小豬佩奇角色卡片，分別是A佩奇，B喬治，C佩奇媽媽，D佩奇爸爸（四張卡片除字母和內(nèi)容外，其余完全相同）.姐弟兩人做游戲，他們將這四張卡片混在一起，背面朝上放好.（1）姐姐從中隨機抽取一張卡片，恰好抽到A佩奇的概率為 ；（2）若兩人分別隨機抽取一張卡片（不放回），請用列表或畫樹狀圖的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B喬治的概率.26某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y（本）與每本紀念冊的售價x

10、（元）之間滿足一次函數(shù)關系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24元時，銷售量為32本（1）求出y與x的函數(shù)關系式；（2）當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是多少元？（3）設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【詳解】解：A、如果a+b=0，那么a=b=0，或a=b，錯誤，為假命題；B、=4的平方根是2，錯誤，為假命題；C、有公共頂點且相等的兩個角是對頂角，錯誤，為假命題；D、等腰三角形兩底角相等，正確，

11、為真命題；故選D2、B【分析】依次證明和，利用相似三角形的性質(zhì)解題.【詳解】，故選：B【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是靈活運用形似三角形的判定及其性質(zhì)來分析、判斷、推理或解答3、A【解析】方差是刻畫波動大小的一個重要的數(shù)字.與平均數(shù)一樣，仍采用樣本的波動大小去估計總體的波動大小的方法，方差越小則波動越小，穩(wěn)定性也越好.【詳解】因為s0.002s0.03，所以，甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定.故選A【點睛】本題考核知識點：方差. 解題關鍵點：理解方差意義.4、B【解析】AOB=70，ACB=AOB=35，故選B5、A【解析】試題解析：拋物線的頂點坐標為（0，0），把點（0

12、，0）先向右平移1個單位，再向上平移1個單位后得到的點的坐標為（1，1），所以所得的拋物線的解析式為y=（x-1）2+1故選B考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換6、B【分析】解法一：將變形為，代入數(shù)據(jù)即可得出答案.解法二：設，帶入式子約分即可得出答案.【詳解】解法一：解法二：設，則故選B.【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，將比例式變形，或者設比例參數(shù)是解題的關鍵.7、C【分析】將解析式寫成頂點式的形式，再依次進行判斷即可得到答案.【詳解】=，圖象的對稱軸是直線x=1，故A正確；頂點坐標是（1，-9），故B正確；當x=1時，y有最小值-9，故C錯誤；開口向上，當1時，隨的增大而增大，故D正確，故選：C.【點

13、睛】此題考查函數(shù)的性質(zhì)，熟記每種函數(shù)解析式的性質(zhì)是解題的關鍵.8、C【解析】根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比列出方程，解方程即可【詳解】設小三角形的周長為xcm，則大三角形的周長為（x+40）cm，由題意得，解得，x=75，則x+40=115，故選C9、B【分析】全等三角形的對應邊相等，對應角相等，ABCAEF，可推出ABAE，BE，ACAF，EFBC【詳解】ABCAEFABAE，BE，ACAF，EFBC故A，C選項正確ABCAEFEAFBACEABFAC故D答案也正確AFE和BFE找不到對應關系，故不一定相等故選：B【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，全等三角形對應邊相等，對應角相等10、C

14、【分析】x1，即b2a，即可求解；當x1時，yabc0，即可求解；分別判斷出a,b,c的取值，即可求解；時，函數(shù)的表達式為：y（x1）（x1）=，則點A、B、D的坐標分別為：（1，0）、（1，0）（1，2），即可求解【詳解】其圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為1和1，則函數(shù)的對稱軸為：x1，x1，即b2a，故不符合題意；當x1時，yabc0，符合題意；由圖可得開口向上，a0，對稱軸x=1,a,b異號，b0，圖像與y軸交于負半軸，c00，不符合題意；時，函數(shù)的表達式為：y（x1）（x1）=，則點A、B、D的坐標分別為：（1，0）、（1，0）（1，2），AB2（-1-1）2+02=16，AD2（

15、-1-1）2+（0-2）28，BD2（1-1）2+（0-2）28，故ABD是等腰直角三角形符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用11、B【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點坐標，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線上方部分的的取值范圍即可【詳解】解：聯(lián)立，解得，兩函數(shù)圖象交點坐標為，由圖可知，時的取值范圍是或故選：B【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目利用數(shù)形結合的思想求解更加簡便12、B【分析】根據(jù)需要保證不少于50%的騎行是免費的，可得此次調(diào)查的參考統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中

16、位數(shù).【詳解】因為需要保證不少于50%的騎行是免費的，所以制定這一標準中的a的值時，參考的統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故選B【點睛】本題考查了中位數(shù)的知識，中位數(shù)是以它在所有標志值中所處的位置確定的全體單位標志值的代表值，不受分布數(shù)列的極大或極小值影響，從而在一定程度上提高了中位數(shù)對分布數(shù)列的代表性二、填空題（每題4分，共24分）13、 (8075,1)【分析】旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)切圓的圓心分別為P1，P2，P3，過圓心作垂直于x軸，分別交x軸于點為E1，E2，E3，根據(jù)已知A(0,3)，B(4,0)，可求得AB長度和三角形內(nèi)切圓的半徑，依次求出OE1，OE2，OE3，OE4，OE5，OE6

17、的長，找到規(guī)律，求得OE2018的長，即可求得直角三角形紙片旋轉(zhuǎn)2018次后，它的內(nèi)切圓圓心P的坐標【詳解】如圖所示，旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)切圓的圓心分別為P1，P2，P3，過圓心作垂直于x軸，分別交x軸于點為E1，E2，E3設三角形內(nèi)切圓的半徑為rAOB是直角三角形，A(0,3)，B(4,0)P是AOB的內(nèi)切圓即r=1BE=BF=OB-OE=4-1=3BO1A1是AOB繞其B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到BE1=BF=3OE1=4+3A1E2=3-1=2OE2=4+5+2OE3=4+5+3+1同理可推得OE4=4+5+3+4+3，OE5=4+5+3+4+5+2，OE6=4+5+3+4+5+3+120183

18、=6722OE2018=672(4+5+3)+(4+5+2)=8075三角形在翻折后內(nèi)切圓的縱坐標不變P2018(8075,1)故答案為：(8075,1)【點睛】本題是坐標的規(guī)律題，考查了圖形翻折的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)后圖形對應的邊和角不變，本題應用了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，及三角形內(nèi)切圓半徑的求法，用勾股定理解直角三角形等知識14、4或1【分析】要使直線l與O相切，就要求CH與DH，要求這兩條線段的長只需求OH弦心距，為此連結OA，由直線lOC，由垂徑定理得AH=BH，在RtAOH中，求OH即可【詳解】連結OA直線lOC，垂足為H，OC為半徑，由垂徑定理得AH=BH=AB=8OA=OC=10，在RtAOH

19、中，由勾股定理得OH=，CH=OC-OH=10-6=4，DH=2OC-CH=20-4=1，直線l向左平移4cm時能與O相切或向右平移1cm與O相切故答案為：4或1【點睛】本題考查平移直線與與O相切問題，關鍵是求弦心距OH，會利用垂徑定理解決AH，會用勾股定理求OH，掌握引輔助線，增加已知條件，把問題轉(zhuǎn)化為三角形形中解決15、2【解析】通過分析圖可知：ODB經(jīng)過旋轉(zhuǎn)90后能夠和OCA重合（證全等也可），因此圖中陰影部分的面積=扇形AOB的面積-扇形COD的面積，所以S陰=（9-1）=2【詳解】由圖可知，將OAC順時針旋轉(zhuǎn)90后可與ODB重合，SOAC=SOBD；因此S陰影=S扇形OAB+SOBD

20、-SOAC-S扇形OCD=S扇形OAB-S扇形OCD=（9-1）=2故答案為2【點睛】本題中陰影部分的面積可以看作是扇形AOB與扇形COD的面積差，求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求16、1【分析】根據(jù)垂徑定理與勾股定理即可求出答案【詳解】解：連接OC，設OE3x，EB2x，OBOC5x，AB20cm10 x20 x2cm，OC=10cm，OE=6cm，由勾股定理可知：CEcm，CD2CE1cm，故答案為：1【點睛】本題考查垂徑定理的應用，解題的關鍵是根據(jù)勾股定理求出CE的長度，本題屬于基礎題型17、【分析】設BEx，CFy，則EC5x，構建二次函數(shù)了，利用二次函數(shù)

21、的性質(zhì)求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解決問題【詳解】解：設BEx，CFy，則EC5x，AEEF，AEF90，AEB+FEC90，而AEB+BAE90，BAEFEC，RtABERtECF，yx2+x（x）2+，0，x時，y有最大值，CF的最大值為，DF的最小值為5，AF的最小值，故答案為【點睛】本題考查了幾何動點問題與二次函數(shù)、相似三角形的綜合問題，綜合性較強，解題的關鍵是找出相似三角形，列出比例關系，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而求出AF的最小值18、30【分析】連接OC、CD，由切線的性質(zhì)得出OCP90，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出ODC180A60，由等腰三角形的性質(zhì)得出OCDODC60，求出D

22、OC60，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結果【詳解】如圖所示：連接OC、CD，PC是O的切線，PCOC，OCP90，A120，ODC180A60，OCOD，OCDODC60，DOC18026060，P90DOC30；故填：30【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵三、解答題（共78分）19、 (1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)BD=2.【分析】(1)連接BC，根據(jù)直角三角形中，30度所對的直角邊是斜邊的一半，可得：AB2BC，BC2 BH，可得結論；(2)由(1)得AB2BC，AB2OA，得OABC，利用ASA證明

23、OAEBCD，可得結論；(3) 過O作OMAD于M，先證明OEABAC30，設OMx，則MEx，由OAEBCD，則DCE30，設AMMDy，則AEy+x，DEyx，根據(jù)AE2DE列等式得：y3x，根據(jù)勾股定理列方程可得x的值，可得：BD2OM2.【詳解】(1)證明：如圖1，連接BC，AB是O的直徑，ACB90，CAB30，ABC60，AB2BC，CHAB，BCH30，BC2BH，AB4BH，AH3BH，(2)證明：連接BC、DC，CAD+CBD180，BOECAD，BOE+CBD180，BOE+AOE180，AOECBD，OAE，BCD是弧BD所對的圓周角OAEBCD，由(1)得AB2BC，A

24、B2OA，OABC，OAEBCD，OEBD； (3)解：過O作OMAD于M，AMMD，AOOB， BD2OM，BOECAD，BOEBAE+OEA，CADBAE+BAC，OEABAC30，設OMx，則MEx，由(2)得：OAEBCD，AECD，ADC，ABC是弧AC所對的圓周角，ADCABC60，CEAD，DCE30，CD2DE，AECD，AE2DE，設AMMDy，則AEy+x，DEyx，y+x2(yx)，y3x，在RtOAM中，OA14，AM3x，OMx，OM2+AM2OA2，解得：x1，x2(舍)，OM，BD2OM2.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)的綜合問題，添加合適的輔助線，綜

25、合應用直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理，垂徑定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是解題的關鍵.20、（1）；（2），；（3）答案見解析；（4）1.1【分析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題（2）求出當點F與點A重合時BE的值即可判斷x的取值范圍（3）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可（4）畫出兩個函數(shù)圖象，量出點P的橫坐標即可解決問題【詳解】解：（1）由，可得，.故答案為：（2）由題意：由，可得，故答案為：；.（3）函數(shù)圖象如圖所示：（4）觀察圖象可知兩個函數(shù)的交點P的橫坐標約為1.1，故BE=1.1故答案為1.1【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖象等知識，學會利用圖象法解決

26、問題是解題的關鍵21、（1）；（2）；（3）【解析】（1）將A，B兩點的坐標代入拋物線解析式中，得到關于a，b的方程組，解之求得a，b的值，即得解析式，并化為頂點式即可；（2）過點A作AHy軸交BC于H，BE于G，求出直線BC，BE的解析式，繼而可以求得G、H點的坐標，進一步求出GH，聯(lián)立BE與拋物線方程求出點F的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式求出FHB的面積；（3）設點M坐標為（2，m），由題意知OMB是直角三角形，進而利用勾股定理建立關于m的方程，求出點M的坐標，從而求出MD，最后求出時間t.【詳解】（1）拋物線與軸交于A（1，0），B(3，0)兩點， 拋物線解析式為. （2）如圖1，過點A

27、作AHy軸交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，-2），B（3，0），直線BC解析式為y=x-2，H（1，y）在直線BC上，y=-，H（1，-），B（3，0），E（0，-1），直線BE解析式為y=-x-1，G（1，-），GH=，直線BE：y=-x-1與拋物線y=-x2+x-2相較于F，B，F(xiàn)（，-），SFHB=GH|xG-xF|+GH|xB-xG|=GH|xB-xF|=(3-)=（3）如圖2，由（1）有y=-x2+x-2，D為拋物線的頂點，D（2，），一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，設M（2，m），（m），OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，O

28、MB=90，OM2+BM2=OB2，m2+4+m2+1=9，m=或m=-（舍），M（2，），MD=-，t=-.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，角平分線上的點到兩邊的距離相等，勾股定理等知識點，綜合性比較強，不僅要掌握性質(zhì)定理，作合適的輔助線也對解題起重要作用.22、（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑定理、切線的性質(zhì)求出ABCD，ABBF，即可證明；（2）根據(jù)圓周角定理求出COD，根據(jù)弧長公式計算即可【詳解】（1）證明：AB是O的直徑，DECE，ABCD，BF是O的切線，ABBF，CDBF；（2）解：連接OD、OC，A35，BOD2A70，CO

29、D2BOD140，的長為：【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、弧長的計算，掌握切線的性質(zhì)定理、垂徑定理和弧長的計算公式是解題的關鍵23、（1）同弧所對的圓周角相等；兩角分別對應相等的兩個三角形相似（2）勾股定理（3） AC =【分析】（1）根據(jù)圓周角定理的推論以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和托勒密定理，即可得到答案；（3）連接BD，過點C作CEBD于點E由四邊形ABCD內(nèi)接于O，點C是弧BD的中點，可得BCD是底角為30的等腰三角形，進而得BD=2 DE=CD，結合托勒密定理，列出方程，即可求解【詳解】（1）依據(jù)1指的是：同弧所對的圓周角相等；依據(jù)2指的是：

30、兩角分別對應相等的兩個三角形相似 故答案是：同弧所對的圓周角相等；兩角分別對應相等的兩個三角形相似；（2）當圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時，AC=BD，BC=AD，AB=CD，由托勒密定理得：ACBD=ABCD+BCAD，故答案是：勾股定理； （3）如圖，連接BD，過點C作CEBD于點E 四邊形ABCD內(nèi)接于O，BAD+BCD =180，BAD=60， BCD =120， 點C是弧BD的中點， 弧BC=弧CD， BC =CD，CBD =30. 在RtCDE中，DE=CDcos30，DE=CD ， BD=2 DE=CD 由托勒密定理得： ACBD=ABCD+BCADACCD=3CD+5CDAC =【點睛】本題主要考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與相似三角形的綜合，添加輔助線，構造底角為30的等腰三角形，是解題的關鍵24、（1）；（2）見解析【分析】（1）連接OB、OC，得到，然后根據(jù)垂徑定理即可求解BC的長；（2）延長OD交圓于E點