2023年專題10-(幾何)最值問題(含詳細答案)

1、幾何最值 專題10 幾何最值問題【十二個根本問題】1如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm假設(shè)一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，那么螞蟻爬行的最短路徑長為AEQ R(,61)cm B11cm C13cm D17cm第1題第2題第3題第4題2圓錐的底面半徑為r20cm,高hEQ20 R(,15)cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點A出發(fā)在側(cè)面上爬行一周又回到A點，螞蟻爬行的最短距離為_3如圖，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P為邊BC上一動點，PEAB于E，PFAC于F，那么EF的最小值為A2B2.2C2.4D2.54如圖，在矩形ABCD中，AB10，BC5假設(shè)點M

2、、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，那么BMMN的最小值為A10B8C5EQ R(,3)D65如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處與墻面和地面均沒有縫隙，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜外表爬到柜角EQCSDO(1)處1請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；2當AB4,BCEQ4,CCSDO(1)5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長3在2的條件下，求點EQBSDO(1)到最短路徑的距離6如圖，P為AOB內(nèi)任意一點，且AOB30，點EQPSDO(1)、EQPSDO(2)分別在OA、OB上，求作點EQPSDO(1)、EQPSDO(2),使EQPPSDO(1)PSDO(2)的周長最小，連接OP，假設(shè)OP1

3、0cm，求EQPPSDO(1)PSDO(2)的周長7如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AEDF連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H假設(shè)正方形的邊長為2，那么線段DH長度的最小值是_第7題第8題第9題8如圖，在等腰RtABC中,BAC90,ABAC,BCEQ4 R(,2),點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，那么線段CE長度的最小值為9如圖，O的半徑為1，弦AB1，點P為優(yōu)弧EQ oac(SUP7(),AB)上一動點,ACAP交直線PB于點C，那么ABC的最大面積是AEQ F(1,2) BEQ F(R(,2),2) CEQ F(R(,3),2)

4、DEQ F(R(,3),4)10如圖，拋物線yEQxSUP6(2)bxc與一直線相交于A(1，0)，C(2，3)兩點，與y軸交于點N其頂點為D(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點M(3，m)，求使MNMD的值最小時m的值；(3)假設(shè)拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？假設(shè)能，求點E的坐標；假設(shè)不能，請說明理由；(4)假設(shè)P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值11如圖，拋物線l交x軸于點A(3，0)、B(1，0)，交y軸于點C(0，3)將拋物線l沿y軸翻折得

5、拋物線EQlSDO(1)(1)求EQlSDO(1)的解析式；(2)在EQlSDO(1)的對稱軸上找出點P,使點P到點A的對稱點EQASDO(1)及C兩點的距離差最大，并說出理由；(3)平行于x軸的一條直線交拋物線EQlSDO(1)于E、F兩點，假設(shè)以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑12(2023朝陽小穎在學習“兩點之間線段最短查閱資料時發(fā)現(xiàn)：ABC內(nèi)總存在一點P與三個頂點的連線的夾角相等，此時該點到三個頂點的距離之和最小【特例】如圖1，點P為等邊ABC的中心，將ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到ADE,從而有DEPC，連接PD得到PDPA，同時APBAPD12060180,ADPADE18

6、0,即B、P、D、E四點共線，故PAPBPCPDPBDEBE在ABC中，另取一點P，易知點P與三個頂點連線的夾角不相等，可證明B、P、D、E四點不共線，所以PAPBPCPAPBPC,即點P到三個頂點距離之和最小13問題提出1如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，填空：當點A位于時，線段AC的長取得最大值，且最大值為用含a，b的式子表示問題探究2點A為線段BC外一動點，且BC=6，AB=3，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE，找出圖中與BE相等的線段，請說明理由，并直接寫出線段BE長的最大值問題解決：3如圖3，在平面直角坐標系中

7、，點A的坐標為2，0，點B的坐標為5，0，點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，BPM=90，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BC=4EQ R(,2)，假設(shè)對角線BDCD于點D，請直接寫出對角線AC的最大值14如下圖，拋物線ya(x3)(x1)(a0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線yEQ R(,3)xb與拋物線的另一個交點為D(1)假設(shè)點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；(2)假設(shè)在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與ABC相似，求點P的坐標；(3)在(1)的

8、條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒EQ F(2 R(,3),3)個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？答案1平面展開最短路徑問題解：如下圖：長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cmPA424212(cm),QA5cm,PQEQ R(,PASUP6(2)AQSUP6(2)13cm應(yīng)選：C2解：設(shè)扇形的圓心角為n，圓錐的頂為E,r20cm,hEQ20 R(,15)cm由勾股定理可得母線lEQ R(,rSUP6(2)hSUP6(2)80cm,而

9、圓錐側(cè)面展開后的扇形的弧長為220EQ F(n80,180),n90即EAA是等腰直角三角形，由勾股定理得：AAEQ R(,AESUP6(2)AESUP6(2)EQ80 R(,2)cm答：螞蟻爬行的最短距離為EQ80 R(,2)cm故答案為：EQ80 R(,2)cm3解：連接AP,在ABC中，AB3,AC4,BC5，EQABSUP6(2)ACSUP6(2)EQBCSUP6(2),即BAC90又PEAB于E,PFAC于F，四邊形AEPF是矩形，EFAP，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4,EF的最小值為2.4,故答案為：2.44解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E

10、點，過E作EF垂直AB交AB于F點，ACEQ5 R(,5),AC邊上的高為EQ F(ABBC,AC)EQ2 R(,5),所以BEEQ4 R(,5)ABCEFB,EQ F(AB,EF)EQ F(AC,BE),即EQ F(10,EF)EQ F(5 R(,5),4 R(,5)EF8應(yīng)選：B5解：1如圖，木柜的外表展開圖是矩形EQABCSDO(1)DSDO(1)或EQACCSDO(1)ASDO(1)故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的EQACSDO(1)或EQACSDO(1);2螞蟻沿著木柜外表矩形EQABCSDO(1)DSDO(1)爬過的路徑EQACSDO(1)的長是EQlSDO(1)EQ R

11、(,4SUP6(2)(45)SUP6(2)螞蟻沿著木柜外表矩形矩形EQABSDO(1)CSDO(1)D爬過的路徑EQACSDO(1)的長EQlSDO(1)EQ R(,97),螞蟻沿著木柜外表EQACCSDO(1)ASDO(1)爬過的路徑EQACSDO(1)的長是EQlSDO(2)EQ R(,(44)SUP6(2)5SUP6(2)EQlSDO(1)lSDO(2),故最短路徑的長是EQlSDO(2) R(,89)3作EQBSDO(1)EACSDO(1)于E，EQCSDO(1)EBSDO(1)EQCSDO(1)ASDO(1)A,ASDO(1)CSDO(1)A是公共角，EQAASDO(1)CSDO(1

12、)BSDO(1)ECSDO(1),即EQ F(BSDO(1)E,AASDO(1)EQ F(BSDO(1)CSDO(1),ACSDO(1),那么EQBSDO(1)EEQ F(BSDO(1)CSDO(1),ACSDO(1)AASDO(1)EQ F(4,R(,89)5EQ F(20,89)為所求6解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，分別交OA、OB于點EQPSDO(1)、EQPSDO(2),連接OM、ON、EQPPSDO(1)、EQPPSDO(2),此時EQPPSDO(1)PSDO(2)的周長最小EQ ,PPSDO(1)PSDO(2)的周長EQPSDO(1)PSDO(2),PPSD

13、O(1)PSDO(1)PSDO(2)PPSDO(2)EQMPSDO(1)PSDO(1)PSDO(2)NPSDO(2)MN，M、N分別是P關(guān)于OA、OB的對稱點，MOAAOP,NOBEQBOP,PPSDO(1)EQPSDO(1)M,PPSDO(2)EQPSDO(2)N,MOPONO，MONMOAAOPNOBBOP2AOB,AOB30,MON23060,OMN是等邊三角形，又EQPPSDO(1)PSDO(2)的周長EQPSDO(1)PSDO(2),PPSDO(1)PSDO(1)PSDO(2)PPSDO(2)EQMPSDO(1)PSDO(1)PSDO(2)NPSDO(2)MN，MNP的周長MNMOP

14、O10cm7解：在正方形ABCD中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG,在ABE和DCF中,EQ Blc(aal(ABCD,BADCDA,AEDF),ABEDCF(SAS),12,在ADG和CDG中,EQ Blc(aal(ADCD,ADGCDG,DGDG),ADGCDG(SAS),23,13,BAH3BAD90,1BAH90,AHB1809090,取AB的中點O,連接OH、OD,那么OHAOEQ F(1,2)AB1,在RtAOD中,ODEQ R(,AOSUP6(2)ADSUP6(2)EQ R(,1SUP6(2)2SUP6(2)EQ R(,5),根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OHDHOD,當O、D

15、、H三點共線時,DH的長度最小,最小值ODOHEQ R(,5)1(解法二：可以理解為點H是在RtAHB,AB直徑的半圓EQ oac(SUP7(),AB)上運動當O、H、D三點共線時,DH長度最小)故答案為：EQ R(,5)18解：連結(jié)AE，如圖1，BAC90,ABAC,BCEQ4 R(,2),ABAC4，AD為直徑，AED90,AEB90,點E在以AB為直徑的O上，O的半徑為2，當點O、E、C共線時，CE最小，如圖2,在RtAOC中，OA2,AC4，OCEQ R(,OASUP6(2)ACSUP6(2)EQ2 R(,5),CEOCOEEQ2 R(,5)2,即線段CE長度的最小值為EQ2 R(,5

16、)2故答案為EQ2 R(,5)29解：連結(jié)OA、OB，作ABC的外接圓D，如圖1，OAOB1,AB1，OAB為等邊三角形，AOB60,APBEQ F(1,2)AOB30,ACAP,C60,AB1，要使ABC的最大面積，那么點C到AB的距離最大，ACB60,點C在D上，ADB120,如圖2，當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時ABC為等邊三角形，且面積為EQ F(R(,3),4)ABSUP6(2)EQ F(R(,3),4),ABC的最大面積為EQ F(R(,3),4)應(yīng)選：D10解：(1)由拋物線yEQxSUP6(2)bxc過點A(1,0)及C(2,3)得,EQ Blc(aal(1

17、bc0,42bc3),解得EQ Blc(aal(b2,c3),故拋物線為yEQxSUP6(2)2x3又設(shè)直線為ykxn過點A(1,0)及C(2,3)得EQ Blc(aal(kn0,2kn3),解得EQ Blc(aal(k1,n1)故直線AC為yx1;(2)如圖1,作N點關(guān)于直線x3的對稱點N,那么N(6,3),由(1)得D(1,4),故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為yEQ F(1,5)x F(21,5),當M(3,m)在直線DN上時,MNMD的值最小,那么mEQ F(1,5)3 F(21,5)EQ F(18,5);(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),點E在直線AC上,設(shè)E(x,x1),

18、如圖2,當點E在線段AC上時,點F在點E上方,那么F(x,x3),F在拋物線上,x3EQxSUP6(2)2x3,解得,x0或x1(舍去)E(0,1);當點E在線段AC(或CA)延長線上時,點F在點E下方,那么F(x,x1)由F在拋物線上x1EQxSUP6(2)2x3解得xEQ F(1 R(,17),2)或xEQ F(1 R(,17),2)EQEbbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,17),2)或EQ bbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,17),2)綜上,滿足條件的點E的坐標為(0,1)、EQ bbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,1

19、7),2)或EQ bbc(l( F(1 R(,17),2), F(3 R(,17),2);(4)方法一：如圖3,過點P作PQx軸交AC于點Q,交x軸于點H；過點C作CGx軸于點G,設(shè)Q(x,x1),那么EQPbbc(l(x,xSUP6(2)2x3)PQEQ bbc(l(xSUP6(2)2x3)(x1)EQxSUP6(2)x2又EQSSDO(APC)EQSSDO(APQ)SSDO(CPQ)EQ F(1,2)PQAGEQ F(1,2)bbc(l(xSUP6(2)x2)3EQ F(3,2)bbc(l(x F(1,2)SUP6(2) F(27,8)面積的最大值為EQ F(27,8)方法二：過點P作PQ

20、x軸交AC于點Q,交x軸于點H；過點C作CGx軸于點G,如圖3,設(shè)Q(x,x1),那么EQPbbc(l(x,xSUP6(2)2x3)又EQSSDO(APC)S_(APH)S_(直角梯形PHGC)S_(AGC)EQ F(1,2)(x1)bbc(l(xSUP6(2)2x3) F(1,2)bbc(l(xSUP6(2)2x33)(2x) F(1,2)33EQ F(3,2)xSUP6(2) F(3,2)x3EQ F(3,2)bbc(l(x F(1,2)SUP6(2) F(27,8)APC的面積的最大值為EQ F(27,8)11解：(1)如圖1所示,設(shè)經(jīng)翻折后,點A、B的對應(yīng)點分別為EQASDO(1)、E

21、QBSDO(1),依題意,由翻折變換的性質(zhì)可知EQASDO(1)(3,0),BSDO(1)(1,0),C點坐標不變,因此,拋物線EQlSDO(1)經(jīng)過EQASDO(1)(3,0),BSDO(1)(1,0),C(0,3)三點,設(shè)拋物線EQlSDO(1)的解析式為yEQaxSUP6(2)bxc,那么有：EQ Blc(aal(9a3bc0,abc0,c3),解得a1,b2,c3,故拋物線EQlSDO(1)的解析式為：yEQxSUP6(2)2x3(2)拋物線EQlSDO(1)的對稱軸為：xEQ F(b,2a)1,如圖2所示,連接EQBSDO(1)C并延長,與對稱軸x1交于點P,那么點P即為所求此時EQ

22、 ,|PASDO(1)PC|EQ |PBSDO(1)PC|EQBSDO(1)C設(shè)P為對稱軸x1上不同于點P的任意一點,那么有：EQ |PASDO(1)PC|PB_(1)PC|B_(1)C(三角形兩邊之差小于第三邊),故EQ |PBSDO(1)PC|PASDO(1)PC|,即EQ |PASDO(1)PC|最大設(shè)直線EQBSDO(1)C的解析式為ykxb,那么有：EQ Blc(aal(kb0,b3),解得kb3,故直線EQBSDO(1)C的解析式為：y3x3令x1,得y6,故P(1,6)(3)依題意畫出圖形,如圖3所示,有兩種情況當圓位于x軸上方時,設(shè)圓心為D,半徑為r,由拋物線及圓的對稱性可知,

23、點D位于對稱軸x1上,那么D(1,r),F(1r,r)點F(1r,r)在拋物線yEQxSUP6(2)2x3上,rEQ (1r)SUP6(2)2(1r)3,化簡得：EQrSUP6(2)r40解得EQrSDO(1)EQ F(R(,17)1,2),rSDO(2) (gh(17)1)/(2)(舍去),此圓的半徑為EQ F(R(,17)1,2);當圓位于x軸下方時,同理可求得圓的半徑為EQ F(R(,17)1,2)綜上所述,此圓的半徑為EQ F(R(,17)1,2)或EQ F(R(,17)1,2)12解：1如圖1，將ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到ADE,PAD60,PACDAE,PADA、PCDE、AP

24、CADE120,APD為等邊三角形，PAPD,APDADP60,APBAPD12060180,ADPADE180,即B、P、D、E四點共線，PAPBPCPDPBDEBEPAPBPC的值最小2方法一：如圖2，分別以AB、BC為邊在ABC外作等邊三角形，連接CD、AE交于點P，ABDB、BEBC8、ABDEBC60,ABEDBC,在ABE和DBC中，EQ Blc(aal(ABDB,ABEDBC,BEBC)，ABEDBC(SAS),CDAE、BAEBDC,又AOPBOD,APOOBD60,在DO上截取DQAP，連接BQ，在ABP和DBQ中，EQ Blc(aal(ABDB,BAPBDQ,APDQ)，A

25、BPDBQ(SAS),BPBQ,PBAQBD,又QBDQBA60,PBAQBA60,即PBQ60,PBQ為等邊三角形，PBPQ，那么PAPBPCDQPQPCCDAE，在RtACE中，AC6、CE8，AECD10，故點P到三個頂點的距離之和的最小值為10方法二：如圖3，由2知，當APBAPCBPC120時,APBPPC的值最小，把CPB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60得CPB,由2知A、P、P、B共線，且APBPPCAB,PCBPCB,PCBPCAPCBPCA30,ACB90,ABEQ R(,ACSUP6(2)BCSUP6(2)EQ R(,ACSUP6(2)BCSUP6(2)1013解：1點A為線段BC外一

26、動點，且BCa,ABb，當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BCABab,故答案為：CB的延長線上,ab;2CDBE，理由：ABD與ACE是等邊三角形，ADAB,ACAE,BADCAE60,BADBACCAEBAC,即CADEAB,在CAD與EAB中，EQ Blc(aal(ADAB,CADEAB,ACAE)，CADEAB(SAS),CDBE；線段BE長的最大值線段CD的最大值，由1知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，最大值為BDBCABBC369；3如圖1，連接BM，將APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90得到PBN,連接AN，那么APN是等腰直角三角形,PN

27、PA2,BNAM，A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),OA2,OB5，AB3，線段AM長的最大值線段BN長的最大值，當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值A(chǔ)BAN,ANEQ R(,2)APEQ2 R(,2),最大值為EQ2 R(,2)3;如圖2，過P作PEx軸于E，APN是等腰直角三角形，PEAEEQ R(,2),OEBOABAEEQ53 R(,2)EQ2 R(,2),2ff976c3.pngEQP(2 R(,2), R(,2)4如圖4中，以BC為邊作等邊三角形BCM,ABDCBM60,ABCDBM,ABDB,BCBM，ABCDBM,ACMD，欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，BCEQ4 R(,2)定值,BDC90,點D在以BC為直徑的O上運動，由圖象可知，當點D在BC上方,DMBC時，DM的值最大，最大值EQ2 R(,2)2 R(,6),AC的最大值為EQ2 R(,2)2 R(,6)14解：(1)ya(x3)(x1),點A的坐標為(3,0)、點B兩的坐標為(1,0),直線yEQ R(,3)xb經(jīng)過點A,bEQ3 R(,3),yEQ R(,3)x3 R(,3),當x2時,yEQ5 R(,3),那么點D的坐標為EQ (2,5 R(,3),點D在拋物線上,a(23)(21)EQ5 R(,3),解得,aEQ R(,3),那么拋物線的解