第八章 彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析-2

1、工程力學(xué)第八章彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析一、彎曲正應(yīng)力 當(dāng)外加力偶或橫向力作用于桿件縱向的某一平面內(nèi)時，桿件將發(fā)生彎曲變形，其軸線將彎曲成曲線。8-2 對稱彎曲正應(yīng)力AB對稱軸縱向?qū)ΨQ面梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線對稱彎曲 在AC和DB段，梁的橫截面既有彎矩，又有剪力，這種情況稱為橫力彎曲。 在CD段內(nèi)，梁的橫截面上剪力為零，而彎矩為常量，這種情況稱為純彎曲。 梁在純彎曲變形時，橫截面上只有與彎矩有關(guān)的正應(yīng)力。 二、梁在純彎曲時的正應(yīng)力 1、變形幾何關(guān)系 作如下假設(shè)： 梁的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于變形后 的軸線，即彎曲變形的平面假設(shè)。(2) 縱向纖維間無擠壓作用，各縱向

2、纖維均處于單向受拉 或受壓狀態(tài)。 中性層 中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長也不收縮的纖維層。中性軸：橫截面與中性層的交線。 縱向線aa變形后的長度為: aa 變形前的長度等于中性層的長度 縱向線aa的應(yīng)變?yōu)?即：純彎曲時橫截面上各點的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性分布。 中性層長度不變, 所以2、物理關(guān)系 因為縱向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律有: 即：純彎曲時橫截面上任一點的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。3、靜力學(xué)關(guān)系 對橫截面上的內(nèi)力系，有: 根據(jù)靜力平衡條件，純彎曲梁只有對z軸的力偶矩M 即： 由: z 軸通過形心即：中性軸通過形心。由:因為y

3、軸是對稱軸，上式自然滿足。EIz 梁的抗彎剛度將上式代入由:慣性矩在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點處，正應(yīng)力最大。 令:式中Wz稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。例：懸臂梁受力及截面尺寸如圖，求梁的1-1截面上A、B兩點的正應(yīng)力。解：（1）計算1-1截面上的彎矩（2）確定中性軸位置，并計算慣性矩（3）確定所求應(yīng)力點到中性軸的距離，計算各點的應(yīng)力。A點：B點： 將彎矩M和坐標(biāo)y按規(guī)定的正負(fù)號代入，所得到的正應(yīng)力若為正值，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)值，即為壓應(yīng)力。 也可根據(jù)梁變形的情況來判斷，即以中性層為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，而凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力，此時,M和y可以直接代入絕對值。例：一水平放置的N

4、o.10普通熱軋槽鋼制懸臂梁，受力如圖。外力都作用在鉛垂對稱面內(nèi)。已知Fp=1.2KN,M=2.2KN.m,求：（1）1-1截面上A、B兩點的正應(yīng)力；（2）梁內(nèi)最大正應(yīng)力。解：（1）畫彎矩圖確定1-1截面上的彎矩與梁內(nèi)最大彎矩。1-1截面：2-2截面：（2）確定中性軸位置及慣性矩查表，No.10普通熱軋槽型鋼（3）確定所求點到中性軸的距離，計算指定點的應(yīng)力A點：B點：（4）計算梁內(nèi)最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力發(fā)生在2-2截面上距中性軸最遠(yuǎn)的點。例：如圖所示圓軸在A、B兩處的軸承可近似地視為簡支，軸的外伸部分是空心的，求軸內(nèi)的最大正應(yīng)力。解：1.作軸的彎矩圖，判斷可能的危險截面2、計算實心與空心截面的慣

5、性矩B截面：C截面：3、計算最大應(yīng)力B截面：C截面：軸中的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面處（即實心部分）。例：T形截面鑄鐵外伸梁的載荷和尺寸如圖，試求梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：（1）作彎矩圖截面B有最大負(fù)彎矩，MB=-5kNm在x=0.87m處截面D剪力為零， 彎矩有極值，其值為MD=3.8kNm（3）計算慣性矩 平行軸定理式（2）確定中性軸位置設(shè)截面形心到頂邊的距離為yc，取頂邊軸z1為參考軸(3)求最大正應(yīng)力截面B：上邊緣有最大拉應(yīng)力，下邊緣有最大壓應(yīng)力截面D：正彎矩，可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力四種基本變形：拉伸（壓縮）、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲xyzcPxyzcPxyzcM8-3 斜彎曲與拉(壓)

6、彎組合一、組合變形組合變形：由兩種或兩種以上基本變形組合的變形。xyzcP1P2xyzcP1P2F分析組合變形時，可以先將外力進(jìn)行簡化或分解，轉(zhuǎn)化為幾組靜力等效的載荷，其中每一組載荷對應(yīng)著一種基本變形（拉壓、扭轉(zhuǎn)或彎曲）。xyzcP1xyzcP2xyzcP1P2二、疊加原理 這樣，可以分別計算每一種基本變形各自引起的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移，然后把所得的結(jié)果進(jìn)行疊加，便是構(gòu)件在組合變形下的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移。這就是疊加原理。條件：要求內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移等與外力呈線性關(guān)系xyzcP1xyzcP2xyzcP1P2 當(dāng)載荷作用面不在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁的彎曲軸線將不在載荷作用面內(nèi)，即發(fā)生斜彎

7、曲。此時，中性軸不再與載荷的作用面垂直。yzcP平面彎曲的兩大特征：1、彎曲后的軸線在載荷作用面內(nèi)；2、中性軸與載荷的作用面垂直。要求：載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)三、斜彎曲兩相互垂直平面內(nèi)彎曲的組合1.外力分解：2.內(nèi)力計算：3. 應(yīng)力計算：上拉、下壓前壓、后拉利用疊加原理得x 截面上C 點處的正應(yīng)力為可知截面C上任一點的正應(yīng)力是：固定端截面上任一點的正應(yīng)力是：截面上C 點處的正應(yīng)力為 上述分析計算中，式中各物理量均可取絕對值，而各項應(yīng)力的正、負(fù)號可按拉為正，壓為負(fù)直觀地判斷。中性軸與z 軸的夾角q 為上式表示中性軸為通過截面形心的直線。 式中， 為力F與y軸的夾角。 斜彎曲平面彎曲根據(jù)中性軸定義

8、，中性軸上各點處的正應(yīng)力均為零，令 代表中性軸上任意點的坐標(biāo)令 ，即得中性軸方程為中性軸將橫截面分為兩部分，一部分受拉應(yīng)力，一部分受壓應(yīng)力。作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面的周邊相切，這兩個切點D1，D2就是該截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點。危險點的應(yīng)力狀態(tài)對于有外凸角點的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大應(yīng)力一定發(fā)生在角點處。例: 求圖示懸壁梁的最大正應(yīng)力，并指出作用點的位置。P1=1 kNP2=1.6 kN1m1myzzy9cm18cmAB解：最大拉應(yīng)力在固端截面A點，最大壓應(yīng)力在固端截面B點，二者大小相等。固端截面： 在外力作用下同時發(fā)生拉伸 (壓縮 ) 與彎曲兩種基本變形，稱為

9、拉彎組合變形。xP1xP2軸向拉壓平面彎曲四、拉伸（壓縮）與彎曲組合變形橫向力和軸向力同時存在；力作用于截面形心，但作用線與x軸成一定夾角；力作用線與軸線平行，但不通過截面形心； 在這些情況下，桿將產(chǎn)生彎曲與軸向拉壓的組合變形，簡稱拉(壓)彎組合變形。xPxP1P2PxPyxP拉（壓）彎組合的三種情況外力分解橫向力與軸向力共同作用2內(nèi)力計算在 m-m 截面上+FxFyPxFNMzPyll+疊加FN對應(yīng)的應(yīng)力Mz對應(yīng)的應(yīng)力3應(yīng)力計算疊加后，橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律只可能為以下三種情況：危險點的位置很容易確定，在截面的最上緣或最下緣。由于危險點的應(yīng)力狀態(tài)為簡單應(yīng)力狀態(tài)(單向拉伸或單向壓縮)中性軸發(fā)生

10、平移.軸力FN s=FN /A彎矩Mz s=Mz y/Iz彎矩My s=Myz/IyxyzABMyFNMzCD橫截面上任一點（y,z）處的正應(yīng)力中性軸方程截面上同時作用有軸力以及兩對稱面內(nèi)的彎矩中性軸方程中性軸是一條不通過截面形心的斜直線是兩垂直平面內(nèi)彎曲的情況，中性軸是通過截面形心的斜直線。xyzABMyFNMzCDD處：C處：例：如圖所示起重機的最大吊量為F=12KN，若橫梁 AB為NO.16工字鋼，試求梁AB內(nèi)的最大正應(yīng)力。解：（1）取橫梁AB為研究對象，畫受力分析圖，列平衡方程（2）畫內(nèi)力圖可知截面C為危險截面。（3）應(yīng)力計算由附錄查16號工字鋼的數(shù)據(jù)：最大應(yīng)力發(fā)生在截面C的下邊緣，為最大壓應(yīng)力例：開口鏈環(huán)由直徑d=12mm 的圓鋼彎制而成，其形狀如圖所示。鏈環(huán)的受力及其他尺寸均適于圖中，試求：（1）鏈環(huán)直段部分橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；（2）中性軸與