現(xiàn)控課件 現(xiàn)代控制理論 主講：楊西俠山東大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院

1、1現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)2第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型1.1 狀態(tài)空間表達(dá)式1.2 建立狀態(tài)空間表達(dá)式的直接方法1.3 單變量系統(tǒng)線性微分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間 表達(dá)式1.4 單變量系統(tǒng)傳函轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式1.5 結(jié)構(gòu)圖分解法建立狀態(tài)空間表達(dá)式1.6 狀態(tài)方程的線性變換1.7 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣31.1 狀態(tài)空間表達(dá)式 在現(xiàn)代理論當(dāng)中，由于引入了狀態(tài)變量，從而形成了一整套新的理論 。它的數(shù)學(xué)模型就是狀態(tài)空間表達(dá)式。一.狀態(tài)、狀態(tài)變量及狀態(tài)空間 1.狀態(tài)：定義能夠完全描述系統(tǒng)時(shí)域行為的一個(gè)最小變量組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)，而上述這個(gè)最小變量組中的每個(gè)變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 完全描述：若給定 t =

2、t0 時(shí)刻這組變量的值（初始狀態(tài)），又已知t t0 時(shí)系統(tǒng)的輸入u(t)，則系統(tǒng)在 t t0 時(shí)，任何瞬時(shí)的行為就完全且唯一被確定。4 最小變量組：即這組變量應(yīng)是線性獨(dú)立的。 例：RC網(wǎng)絡(luò)如下圖所示，試選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 在t = t0 時(shí)，若已知uc1(t0)，uc2(t0)，uc3(t0)和u(t)，則可求得輸出y(t)（t t0），故可選uc1(t)，uc2(t)，uc3(t)作為狀態(tài)變量。u(t)RC2C1C3i1i2i3y(t)5 但因 uc1 = uc2 + uc3 ，顯然他們是線性相關(guān)的，因此，最小變量組的個(gè)數(shù)應(yīng)是二。一般的： 狀態(tài)變量個(gè)數(shù) = 系統(tǒng)含有獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù) =

3、系統(tǒng)的階數(shù) 狀態(tài)變量是具有非唯一性的。如上例中，最小變量組是2個(gè)獨(dú)立變量，可在 uc1，uc2，uc3中任選2個(gè)，選法不唯一。6 2. 狀態(tài)空間： 定義：由系統(tǒng)的n個(gè)狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，xn(t)為坐標(biāo)軸，構(gòu)成的n維歐氏空間，稱為n維狀態(tài)空間。引入狀態(tài)空間，即可把n個(gè)狀態(tài)變量用矢量形式表示出來(lái)，稱為狀態(tài)矢量又表示為：x(t) R n x(t) 屬于n維狀態(tài)空間 7 3.狀態(tài)軌線： 定義：系統(tǒng)狀態(tài)矢量的端點(diǎn)在狀態(tài)空間中所移動(dòng)的路徑，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)軌線，代表了狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律。 例如：三階系統(tǒng)應(yīng)是三維狀態(tài)空間，初始狀態(tài)是x10， x20，x30 。在u(t)作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)開(kāi)始變

4、化，運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下： 引入狀態(tài)矢量后，則狀態(tài)矢量的端點(diǎn)就表示了系統(tǒng)在某時(shí)刻的狀態(tài)。8t0t1t2t3 x1 x2 x3 x30 x10 x209二.狀態(tài)空間表達(dá)式 1。狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程式。 2。輸出方程 輸出量與x(t)和u(t)之間的代數(shù)方程。 y(t) = g x(t), u(t), t 3。狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程和輸出方程組合起來(lái)，構(gòu)成了對(duì)一個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的完整描述。10y(t)u(t)k f彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)4。建立方法：例1-1 試建立機(jī)械位移系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：列基本方程：11選擇狀態(tài)變量：?。汗实茫簩⒁陨戏匠探M寫(xiě)矩陣形式12 系統(tǒng)的完整描述，必須

5、具有兩部分內(nèi)容，前者刻畫(huà)出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)部過(guò)程，后者則表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)與外部的聯(lián)系。結(jié)論：列寫(xiě)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的一般方法 1）首先根據(jù)基本規(guī)則列基本方程； 2）選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量；（按狀態(tài)定義選） 3）列寫(xiě)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，即得狀態(tài)空間表達(dá)式。即135。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式 對(duì)于一般的n階線性定常系統(tǒng)（n個(gè)狀態(tài)，r個(gè)輸入，m個(gè)輸出）多輸入多輸出系統(tǒng)對(duì)象輸出元件u1 u2 urx1 x2 xny1 y2 ym 14其中：A 系統(tǒng)矩陣 n n 階常數(shù)矩陣B 控制矩陣 n r 階常數(shù)矩陣C 輸出矩陣 m n 階常數(shù)矩陣D 直連矩陣 m r 階常數(shù)矩陣156。一般線性時(shí)變系統(tǒng)

6、： 區(qū)別在于：上述矩陣是時(shí)間t的函數(shù)(變系數(shù)微分方程)7。 非線性定常系統(tǒng):16 9。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的簡(jiǎn)便寫(xiě)法： 對(duì)任意階次的線性系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式的基本形式是一樣的，區(qū)別在于四個(gè)矩陣不同，故可用四聯(lián)矩陣來(lái)簡(jiǎn)單表示: = (A, B, C, D) 定常 = (A(t), B(t), C(t), D(t) 時(shí)變8。非線性時(shí)變系統(tǒng)：17三 .線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖根據(jù)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式 ： 按單變量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖繪制原則，一般線性系統(tǒng)可用這種圖形象的表達(dá)出來(lái)。18結(jié)構(gòu)圖： y(t)u(t)D(t)xC(t)B(t)dtA(t)19 在采用模擬計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)模擬時(shí)，必

7、須根據(jù)實(shí)際的狀態(tài)空間表達(dá)式，畫(huà)出各分量間的結(jié)構(gòu)圖.例：?jiǎn)屋斎雴屋敵鱿到y(tǒng) 由下圖可見(jiàn)，無(wú)論系統(tǒng)階次多高，按圖都完全可用模擬計(jì)算機(jī)模擬。所以下圖又稱計(jì)算機(jī)模擬圖。20a11c1b1b2a22a21a12c2dtdt+x1x2yu21 下面舉例說(shuō)明： 例： 試建立電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫(huà)出其結(jié)構(gòu)圖。M Ra ua La iaUf=const Ea J:電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 f:負(fù)載的阻尼摩擦性質(zhì)22解：由基本規(guī)律列寫(xiě)原始方程：選狀態(tài)變量:23故得狀態(tài)方程：24而輸出方程為：最后根據(jù)上述狀態(tài)方程和輸出方程可畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖2511+u(t)x1x2x3+Y(t)26 小結(jié)：狀態(tài)空間表達(dá)式以

8、狀態(tài)變量為基本出發(fā)點(diǎn)，闡明了狀態(tài)變量對(duì)系統(tǒng)的影響，比簡(jiǎn)單的輸入輸出描述更近了一步。1.把輸入到輸出的控制過(guò)程分成了兩階段：u(t)x(t)輸出方程 y = Cx+Duy(t)狀態(tài)方程272.狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)，但狀態(tài)變量的選取不是唯一的。則描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程也不唯一。3.由于狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)相對(duì)立，一般取儲(chǔ)能元件的變量作為狀態(tài)變量。狀態(tài)初值與儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。4.狀態(tài)空間表達(dá)式地?cái)?shù)學(xué)模型形式不隨變量的增加變復(fù)雜 ，其形式是一致的。28結(jié) 束29現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)301.3 微分方程與狀態(tài)空間表達(dá)式之間的變換 對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，描述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型有

9、三種常用形式： 傳遞函數(shù) 微分方程 狀態(tài)空間表達(dá)式 這三種形式是可以相互轉(zhuǎn)換的，下面討論它們與狀態(tài)空間表達(dá)式之間的相互轉(zhuǎn)換，本節(jié)討論微分方程與狀態(tài)空間表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換。 31一.輸入項(xiàng)中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)：假設(shè)單輸入單輸出線性系統(tǒng)的微分方程為：D-E y (n) + a1 y (n1) + + an1 y + an y = b u S-E：狀態(tài)空間表達(dá)式為： 對(duì)n階系統(tǒng)要設(shè)n個(gè)狀態(tài)變量，并且已知y(0), y(0), , y n1(0)，以及輸入u就能惟一確定狀態(tài)，故按狀態(tài)孌量定義，可直接按初始條件選狀態(tài)孌量。32令 x1 = y x2 = y xn1= y (n2)xn= y (n1)即33 其中

10、：A為一種規(guī)范形稱為友矩陣，輸入矩陣的特點(diǎn)是，其最后一行元素與方程系數(shù)對(duì)應(yīng)，而其余各元皆為零。D=0無(wú)直聯(lián)通道，34例：D-E y + 6y + 11y + 6y = 6u S-E解：直接按能控標(biāo)準(zhǔn)形寫(xiě)出： a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6 b = 6 3536 二.輸入項(xiàng)中包含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)： 可見(jiàn)最后一個(gè)方程中含有u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。若按相變量法選狀態(tài)，則出現(xiàn)解的不唯一性。37 以上問(wèn)題導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在所選狀態(tài)空間中會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮大跳變：若u =1(t)，則u = (t), , u(n) = (n1)(t)，將是高階脈沖函數(shù)，從而不能唯一確定系統(tǒng)的狀態(tài)，因此在這種情況下，不能用相變量來(lái)求解該系統(tǒng)運(yùn)

11、動(dòng)，而應(yīng)尋求一種方法，使方程中不含輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。方法很多，下面介紹一種常用方法：方法二：首先引入中間變量z，令：38 若先狀態(tài)變量為：比較兩邊可得輸出為：394041而輸出方程為：42 這種形式的狀態(tài)空間表達(dá)式中A, B，所具有的特殊形式，稱為能控標(biāo)準(zhǔn)型。 注：以上D-E的規(guī)定形式中左端，首項(xiàng)系數(shù)為1，變換時(shí)應(yīng)注意整理。但在實(shí)際系統(tǒng)中，一般輸入的階次低于輸出的階次，即b0 = 0，故輸出方程可簡(jiǎn)化為：43 例 將以下高階微分方程：y + 4y + 2y + y = u + u + 3u試用方法二寫(xiě)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：按方法二，可得：44結(jié) 束45現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)46 如前所述，一個(gè)n階系

12、統(tǒng)必有n個(gè)狀態(tài)變量。然而，這n個(gè)狀態(tài)變量的選擇卻不是唯一的。但它們之間存在著線性變換關(guān)系。 狀態(tài)向量的線性變換 1.定義：狀態(tài)x與 的變換，稱為狀態(tài)的線性變換。1.6 狀態(tài)方程的線性變換x其中P為非奇異 n n陣。 由于狀態(tài)變量是狀態(tài)空間中的一組基底。因此，狀態(tài)變換的實(shí)質(zhì)就是狀態(tài)空間基底（坐標(biāo)）的變換。線性變換關(guān)系為：47 現(xiàn)取線性變換為 ,其中:是n n階非奇異陣。代入上述表達(dá)式，得 2.基本關(guān)系式: 設(shè)一個(gè)n階系統(tǒng) ，狀態(tài)矢量為x,其狀態(tài)空間表達(dá)式為48比較可得：可見(jiàn)，滿足上述條件的變換矩陣P有無(wú)窮多個(gè)。故狀態(tài)變量不是唯一的。 49例: 試建立下面RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間表達(dá)式：解：根據(jù)電路原

13、理，得基本方程501. 選x1 = i, x2 = uc5152狀態(tài)變換前后有以下關(guān)系534. 驗(yàn)證兩狀態(tài)空間表達(dá)式的變換關(guān)系54551.6.2 系統(tǒng)特征值的不變性 1.系統(tǒng)的特征值：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征值是一個(gè)重要的概念，它決定了系統(tǒng)的基本特性。有關(guān)特征值的概念是從線性代數(shù)中提出的。 - 矩陣用參數(shù)的多項(xiàng)式做元的矩陣。 特征矩陣設(shè)常數(shù)矩陣 A=(aij) , 那么-矩陣叫做 A的特征矩陣。56是首項(xiàng)系數(shù)為1的的n次多項(xiàng)式，叫做 A的特征多項(xiàng)式，其根叫做 A的特征根。特征多項(xiàng)式 特征矩陣的行列式 特征向量 若x為n維向量，齊次線性方程組：( I A) x = 0有非零解的充要條件是 I

14、 A = 0，則式 I A = 0 又稱為矩陣A的特征方程。其根為特征值i ( i =1, 2, , n)。將每一特征值代入齊次方程，得到相應(yīng)的非零解xi ( i =1, 2, , n) ，若i互異，則xi為n個(gè)線性無(wú)關(guān)解。把解向量xi稱為矩陣A對(duì)于i的特征向量。57 *系統(tǒng)特征值 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)矩陣A的特征值稱為系統(tǒng)的特征值。 2.基本性質(zhì)：定理：狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的特征值。證明：58例：試求系統(tǒng)矩陣 的特征值。并說(shuō)明 經(jīng)過(guò)線性變換后，其特征值的不變性。 由于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征值決定了系統(tǒng)的基本特性。因此，線性變換不能改變系統(tǒng)的基本特性。解：59若取變換矩陣P和P 1分別

15、為601.6.3 化系統(tǒng)矩陣為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形1. 化A陣為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形 定理1-1 線性定常系統(tǒng)，若A的特征值1 , 2 , , n 互不相同，則必存在一非奇異陣P，使A陣化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形：并且，變換矩陣61式中列向量p1，p2 ， , pn 分別中A對(duì)應(yīng)1， 2 ， , n 的特征向量。 證明：若齊次線性方程組：( I A) x = 0 的特征值1， 2 ， , n 互異，則對(duì)應(yīng)的n個(gè)特征解向量Pi ( i =1, 2, , n)線性無(wú)關(guān)，且都滿足方程 ( iI A) Pi = 06263證畢 注： A 陣轉(zhuǎn)化為對(duì)角形以后，狀態(tài)方程中各狀變量間的耦合關(guān)系即隨之消除，稱之為狀態(tài)解耦。 把A

16、 陣轉(zhuǎn)化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形變換矩陣P的求法：1。先求A的特征值： I A = 0 1， 2 ， , n 2。求A的特征向量：令 ( i I A ) Pi = 0 Pi 3。由各特征矢量構(gòu)成P 陣： P =P1 P2 Pn 64 例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求將A陣變換為對(duì)角陣后的狀態(tài)方程。解:6566673. 求變換陣68則變換后的狀態(tài)方程為69 定理1-2：線性定常系統(tǒng)，若A陣具有以下形式：70例：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：試變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形。71系統(tǒng)矩陣A為友矩陣，則變換陣P可取范德蒙陣，即：解：系統(tǒng)特征方程為：7273經(jīng)線性變換后系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：74 2. A陣有相重特征值： 若A陣具有重

17、特征值，又可分為兩種情況來(lái)討論： * 1）A陣有重特征值，但A仍有n個(gè)獨(dú)立的特征向量，此時(shí)仍可把A化為對(duì)角形，方法同情形1。例：已知矩陣將A化為對(duì)角形或約當(dāng)形。7576可等效為方程組：7778* 2） A有重特征值，但A的獨(dú)立特征矢量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)的階數(shù)n，此時(shí)A不能轉(zhuǎn)化為對(duì)角形。但一定可以轉(zhuǎn)化為以下約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：化約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題比較復(fù)雜，下面只討論一種最簡(jiǎn)單的情況：79 定理1-3：若A陣具有特征值，且對(duì)應(yīng)于每個(gè)互異的特征值的獨(dú)立特征矢量的個(gè)數(shù)為1時(shí)，則必存在一非奇異矩陣Q，可使A陣化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，即 80 確定變換陣Q的方法：8182例：8384 8586定理1-4：若A陣具有如下標(biāo)準(zhǔn)式：并

18、且對(duì)應(yīng)于重特征值只能求得一個(gè)獨(dú)立的特征向量，則化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的變換為87Q陣的規(guī)律可表示為：88例：已知系統(tǒng)矩陣試化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。解：求特征值8990結(jié) 束91現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)921.7 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣1.7.1 傳遞函數(shù)陣的概念 在經(jīng)典理論中，我們常用傳遞函數(shù)來(lái)表示單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)輸入輸出間的傳遞特性。93Gij表示第i個(gè)輸出與第j個(gè)輸入之間的傳函。表示成矩陣形式：傳遞函數(shù)陣或稱傳遞矩陣94設(shè)系統(tǒng)有r個(gè)輸入變量，m個(gè)輸出變量。則傳遞矩陣的形式為： 可見(jiàn)，所謂解耦，即表示系統(tǒng)的第i個(gè)輸出只與第i個(gè)輸入有關(guān)。與其它輸入無(wú)關(guān)，實(shí)現(xiàn)了分離性控制。 若傳遞矩陣是方陣(m=r),通過(guò)適

19、當(dāng)線形變換化為對(duì)角形，稱為傳遞矩陣的解耦形式。95例：機(jī)械位移系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)原處于靜止?fàn)顟B(tài)。 輸入：F1, F2 輸出：y1, y2求傳遞矩陣。1.7.2 傳遞函數(shù)的求法：1.由微分方程的拉氏變式求傳遞矩陣.解：寫(xiě)微分方程9697例： 1) 求出每個(gè)輸出與各個(gè)輸入的傳遞函數(shù) 2) 將結(jié)構(gòu)圖整理成從各個(gè)輸入向各個(gè)輸出前向傳遞形式. 3) 按圖中輸入輸出關(guān)系寫(xiě)傳遞矩陣. 2.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)陣：G1G2YU1U298G1G2YU1U299 1.7.3 由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣100可見(jiàn) sI A 是G(s)中每一項(xiàng)的分母多項(xiàng)式，正是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，故A的特征值就是 G(s)的極點(diǎn)。101

20、解：求傳遞函數(shù)。例：已知標(biāo)量系統(tǒng)：102定理：狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的傳遞矩陣。1.7.4 傳遞矩陣的性質(zhì)：取線性變換P：證明：設(shè)原系統(tǒng)的傳遞矩陣為： G(s) = C( sI A ) 1B + D1031.7.5 子系統(tǒng)串并聯(lián)與閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣1. 子系統(tǒng)串聯(lián)G1G2 y2u1y1 = u2Y1(s) = G1(s) U1(s)Y2(s) = G2(s) U2(s) = G2(s) G1(s) U1(s)G(s) = G2(s) G1(s)104G1G2 y2u1y1 = u21 = A1 , B1 , C1x(t) = x1(t)x2(t)2 = A2 , B2 , C2 x1(t)x2(t)

21、=x1(t)x2(t)A1 0+u1B1B2C1 A2 0y(t) =x1(t)x2(t) 0 C2 1052. 子系統(tǒng)并聯(lián) Y1(s) = G1(s) U(s)Y2(s) = G2(s) U(s) Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s) + G2(s) U(s) G(s) = G1(s) + G2(s)G1G2 yuy1 y2106G1G2 yuy1 y2x(t) = x1(t)x2(t)x1(t)x2(t)=x1(t)x2(t)A1 0+uB1 0 A2 B2y(t) =x1(t)x2(t)C1 C2 1073. 具有輸出反饋的閉環(huán)系統(tǒng)Y(s) = G(s) E(s)E(

22、s) = U(s) H(s)Y(s)1 + G(s)H(s)Y(s) = G(s) U(s)(s) = 1 + G(s)H(s) 1 G(s)H yuGe108結(jié) 束109現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)110第一章總結(jié)一、幾個(gè)重要概念 狀態(tài) 表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀況，是一些確定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的信息的集合，即一組變量的集合。 狀態(tài)變量 確定系統(tǒng)狀態(tài)的一個(gè)最少變量組中所含的變量，它對(duì)于確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是必需的，也是充分的。 狀態(tài)向量 以狀態(tài)變量為元素構(gòu)成的向量。 狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量為坐標(biāo)所構(gòu)成的空間，系統(tǒng)某時(shí)刻的狀態(tài)可用狀態(tài)空間上的點(diǎn)來(lái)表示。 狀態(tài)軌跡 在狀態(tài)空間中，狀態(tài)點(diǎn)隨時(shí)間變化的軌跡。111 狀態(tài)方程 由狀態(tài)

23、變量構(gòu)成的一階微分方程組，表示每個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與各狀態(tài)變量及輸入變量的關(guān)系式。 輸出方程 輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量之間的代數(shù)方程組，表示每個(gè)輸出變量與內(nèi)部狀態(tài)變量和輸入變量的組合關(guān)系。 狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程 + 輸出方程 狀態(tài)方程輸出方程。112狀態(tài)空間表達(dá)式的特點(diǎn)： 1）模型的形式統(tǒng)一，任意階次的系統(tǒng)，都用簡(jiǎn)單的四聯(lián)矩陣表示，即 (A, B, C, D)。 2）獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的階次n。 3）狀態(tài)變量的選取是非唯一的。 4) 模型是時(shí)域的，但可用信號(hào)流圖或結(jié)構(gòu)圖畫(huà)出系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖，直接進(jìn)行模擬仿真。113 二、狀態(tài)空間表達(dá)式的建立方法 1）直接建模法：直接建模法是一

24、種分析法，建立的模型往往具有較明顯的物理意義，由于狀態(tài)的初值根據(jù)系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)確定比較容易，一般在分析法中直接取儲(chǔ)能元件所對(duì)應(yīng)的變量做為狀態(tài)變量，且這種方法對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)也同樣適用。114 2）系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)法（僅討論單變量系統(tǒng)） a)能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn) 情況1：輸入不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)115狀態(tài)變量取等價(jià)輸出相變量，即：116情況2： 微分方程輸入含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即：117注：由此選擇的狀態(tài)變量不再具有明顯的物理意義，這是存在的不足之處。從能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)圖可以看出，各積分環(huán)節(jié)是串聯(lián)在一起的，故稱這種結(jié)構(gòu)為串聯(lián)實(shí)現(xiàn)。b) 對(duì)角形和約當(dāng)形實(shí)現(xiàn) （部分分式法）情況1：傳遞函數(shù)無(wú)重極點(diǎn) ，118119情況

25、2：傳遞函數(shù)有重極點(diǎn) 1203)結(jié)構(gòu)圖分解法a)一階環(huán)節(jié)的分解121b)二階環(huán)節(jié)的分解122c) 閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 原則1. 將結(jié)構(gòu)圖中每個(gè)方框分解成一階、二階典型狀態(tài)圖形式，然后從輸出端依次向前順序設(shè)置狀態(tài)變量，一般設(shè)在每個(gè)積分環(huán)節(jié)輸出端，即可按結(jié)構(gòu)圖關(guān)系寫(xiě)出狀態(tài)方程。 原則2. 可將結(jié)構(gòu)圖各單元分解成無(wú)零點(diǎn)的一階環(huán)節(jié)的組合，然后在每個(gè)一階環(huán)節(jié)輸出端設(shè)置狀態(tài)變量。如圖。123 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣是單變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推廣，對(duì)應(yīng)于線性定常系統(tǒng)，用拉氏變換在復(fù)數(shù)域建立多變量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。三、傳遞函數(shù)陣 2）由結(jié)構(gòu)圖及梅遜公式求傳遞函數(shù)陣原則：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，利用疊加原理，寫(xiě)出每對(duì)輸入輸出間的

26、傳遞函數(shù)，最后按順序組成傳遞函數(shù)陣。多輸入多輸出系統(tǒng)如圖所示。 1）直接法求傳遞函數(shù)陣 步驟：a)直接列寫(xiě)原始方程組。 b)取拉氏變換化為代數(shù)方程。 c)消中間變量，僅保留輸入和輸出變量。 d)寫(xiě)成矩陣方程即得傳遞函數(shù)陣。124125 3）由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣a) 獨(dú)立系統(tǒng)： b) 組合系統(tǒng)：可分別求出各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，然后按以下法則進(jìn)行運(yùn)算，得出系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)陣，見(jiàn)下頁(yè)圖 126子系統(tǒng)組合圖127四、狀態(tài)向量的線性變換a) 狀態(tài)變換的定義： 或 b) 四聯(lián)矩陣變換關(guān)系: c) 基本性質(zhì)：狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的特征值及傳遞函數(shù)陣，即： 128d) 一類重要線性變換-化A為對(duì)角形或約

27、當(dāng)形。對(duì)角形： A的特征值互異，有變換陣 ，使其中Pi為特征向量，滿足129約當(dāng)形：A有相重特征值，有變換陣 ,使其中， Qi為特征向量和廣義特征向量，而廣義特征向量應(yīng)滿足： 130結(jié) 束131現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)132第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解2.1 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.2 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的幾種求法2.3 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及連續(xù)系統(tǒng)的離散化2.4 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解133 2.1.線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 可見(jiàn)，輸出方程求解要依賴狀態(tài)方程的解。關(guān)鍵是求解狀態(tài)方程。本節(jié)重點(diǎn)來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。先討論自由運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，即求自由解。 前面我們?cè)敿?xì)討論了狀態(tài)空

28、間表達(dá)式的建立及相互轉(zhuǎn)換。在建立了新的數(shù)學(xué)模型之后，接著就是求解問(wèn)題。 由于狀態(tài)空間表達(dá)式由兩部分組成,即134一、齊次狀態(tài)方程的解所謂齊次狀態(tài)方程，與齊次微分方程類似，即輸入u(t)=0的情況。故齊次方程為： 設(shè)初始時(shí)刻 t0=0 ，初始狀態(tài)為x0 采用拉氏變換法求解：對(duì)齊次方程兩邊取拉氏變換.反變換即得齊次狀態(tài)方程的解：135下面就來(lái)討論： -解的變化是按指數(shù)形式變化的。對(duì)于狀態(tài)方程的解，是否也具有指數(shù)形式呢？分析標(biāo)量微分方程可知136137逐項(xiàng)變換即 x(t)= e-Atx0 當(dāng)初始時(shí)刻為t00,初始狀態(tài)為x(t0)時(shí)所以齊次狀態(tài)方程的解可寫(xiě)為1383.求齊次狀態(tài)解的關(guān)鍵是求轉(zhuǎn)移矩陣 e

29、At，前面已給出了兩種方法：2.系統(tǒng)狀態(tài)的變化實(shí)質(zhì)上是從初始狀態(tài)開(kāi)始的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，而轉(zhuǎn)移規(guī)律取決于 eAt ，eA(t-t0) 故稱其為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.一般用1.齊次狀態(tài)方程的解表示了系統(tǒng)在初始條件作用下的自由運(yùn)動(dòng)，又稱為零輸入解；小結(jié)：來(lái)表示。139a)拉氏變換法：例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 試求在初始狀態(tài) 時(shí)的狀態(tài)解。 由于按冪級(jí)數(shù)計(jì)算不易寫(xiě)出閉式的結(jié)果，故通常用拉氏變換法。b)冪級(jí)數(shù)法：140解：1.求eAt141所以2.求x(t):142二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：的解(t),定義為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。1.定義：線性定常系統(tǒng)，初始時(shí)刻t0 =0,滿足以下矩陣微分方程和初始條件 在狀態(tài)空間分析中狀態(tài)轉(zhuǎn)

30、移矩陣是一個(gè)十分重要的概念。143討論：（1）滿足上述定義的解為(t) =eAt (t0=0)證明：144所以當(dāng) (t)=eAt時(shí)，又因?yàn)?(t)=eAt (t=0時(shí)) eA0 =I+A0+.=I 所以 (0)=I故 eAt 是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)是A陣同階的方陣，其元素均為時(shí)間函數(shù).145 由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有矩陣指數(shù)函數(shù)的形式，故可推出如下性質(zhì)2.性質(zhì)：（1）(t-t0)是非奇異陣.且146（2）其中147（3）（4）148由此關(guān)系 可用于從 eAt 反求 A.例：已知（5）149（6）若則150151152當(dāng)系統(tǒng)輸入u0 時(shí) ，其S-E為. 直接用分離變量法積分求解

31、方程與采用拉式變換法求解方程,其結(jié)果是一致的.只討論第一種方法.三.非齊次狀態(tài)方程的解：153左乘 e- At：移項(xiàng) ：即在區(qū)間t0,t上積分154結(jié)論：非齊次狀態(tài)方程的解由兩部分組成：a).由初始狀態(tài)產(chǎn)生的自由分量零輸入解b).由輸入引起的強(qiáng)迫分量零狀態(tài)解 即或：155例：已知系統(tǒng)由前例得：解：1.求 eAt ：試求：x(0)=0,u(t)=1(t) 時(shí)的狀態(tài)解。156 2.求x(t)157 所謂脈沖響應(yīng)，即初始條件為零時(shí)，輸入u為單位脈沖函數(shù)(t)，系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)。四.系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)及脈沖相應(yīng)矩陣： 根據(jù)這個(gè)定義，可求線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。但是多變量系統(tǒng)的輸入有r個(gè)，輸出有m個(gè)。

32、則脈沖響應(yīng)顯然與傳遞函數(shù)陣的維數(shù)不同, 即系統(tǒng)地輸出為Y(s)=G(s)U(s)是 m1維的列向量.而G(s)是mr維矩陣.在單變量系統(tǒng)定義脈沖響應(yīng)函數(shù)為 h(t)=L-1G(s)158即 h(t)=L-1G(s) mr ,而 y(t)=L-1G(s)U(s) m1 為了將這一含義推廣到多變量系統(tǒng)，我們按以下方式定義脈沖響應(yīng)函數(shù)陣。以后將會(huì)知道，在多變量系統(tǒng)中,脈沖響應(yīng)函數(shù)陣雖不等于真正的脈沖響應(yīng)輸出 y(t), 但卻等于傳遞矩陣的拉式反變換。定義：mr 階矩陣 h(t)=CeAtB 稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣。159狀態(tài)解為：初始時(shí)刻t0=0初始狀態(tài)x(0)=0 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為則輸出解

33、為：160討論單變量系統(tǒng)的情況:當(dāng)輸入-卷積161 以上關(guān)系表明h(t)包含了G(s)的全部信息，也反映系統(tǒng)的基本傳遞特性。反之性質(zhì)：1. h(t)是傳遞矩陣的拉式變換162 2. h(t)在線性變換下的不變性：即證明:令 線性變換后.其中:163則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足以下性質(zhì)：一般有：164 1.齊次狀態(tài)方程的解：小結(jié)：本節(jié)主要討論了狀態(tài)求解的問(wèn)題： 2.非齊次狀態(tài)方程的解：165 4.脈沖響應(yīng)矩陣：定義：滿足矩陣微分方程 的解（t） 3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：166 結(jié) 束167現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)168線性定常連續(xù)系統(tǒng)(t)的算法 1.對(duì)低階系統(tǒng)（三階以下）計(jì)算較方便，寫(xiě)出的結(jié)果是解析式，在實(shí)際中最常用

34、。特點(diǎn)：一.拉氏變換法：前面已在求狀態(tài)解時(shí)推出 在線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解中，關(guān)鍵是求(t),本節(jié)介紹幾種算法: 2.對(duì)于高階系統(tǒng)，會(huì)遇到求逆的困難,如169 求逆陣可采用一些數(shù)值計(jì)算方法，用計(jì)算機(jī)計(jì)算。求逆變換關(guān)鍵是高階分解因式，部分分式展開(kāi)很麻煩。二.冪級(jí)數(shù)法：此法是一種直接計(jì)算法，前面已介紹過(guò)。170特點(diǎn)：是一種無(wú)窮開(kāi)式，很難寫(xiě)成閉式，一般采用近似計(jì)算，精度將取決于所取項(xiàng)數(shù)的多少，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.解：將A陣代入冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式171172三.對(duì)角形法與約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形法： 1.矩陣A的特征值 12n 互不相同，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由下式求得其中：P是使

35、A化成對(duì)角形的線性變換。173則證明： 12n 互異，必有非奇異矩陣P，將A化成對(duì)角形，即：174 小結(jié)：利用對(duì)角線法 eAt的方法: 1.求 12n（條件：12n 互異）; 2.求特征矢量： P1P2Pn; 3.寫(xiě)出變換陣 P=P1P2Pn , 求出P-1 4.求 eAt ： 特點(diǎn)：求P陣比較麻煩，常用于理論推導(dǎo)。175例：已知用對(duì)角形求（t）解 ：1.求特征值：176 2.求特征矢量：即解出：1771781793.求P，P-1：4.求 eAt ：180181 2.矩陣A有相重特征值: 定理：若矩陣A有相重特征值，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由下式求得182 eAt=QeJtQ-1 其中：Q是使A化為約

36、當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J的線性變換陣。 證明:若A陣具有重特征值，且每個(gè)互異特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征矢量，則必存在一個(gè)非奇異陣Q，使A陣化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J。即 其中 則 J=QAQ-1183其中：若Ji為J的約當(dāng)塊，則eJit為（t）中對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊。184證明:以Ji有三重特征值為例證明。此時(shí)185186 步驟：求 eAt 的方法同對(duì)角形求法相一致 1.求i ； 2.求Qi ； 3.求eAt=QeJtQ-1187四. 化 eAt 為A的有限項(xiàng)法： 由于 eAt 可展開(kāi)無(wú)窮級(jí)數(shù)，但計(jì)算時(shí)只取有限項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果是不準(zhǔn)確的，若能把無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)化成有限項(xiàng)，則計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)便準(zhǔn)確。1. 化有限項(xiàng)的有關(guān)理論： 凱哈定理及最小多項(xiàng)式

37、的概念在現(xiàn)代理論中經(jīng)常用到.下面簡(jiǎn)要介紹一下有關(guān)內(nèi)容： 1）矩陣A的零化多項(xiàng)式： 定理：設(shè)有變量s的多項(xiàng)式 ，矩陣A是nn階方陣，若滿足：188 則稱 為矩陣的零化多項(xiàng)式。 2）凱哈密頓定理定理：矩陣的特征多項(xiàng)式是的零化多項(xiàng)式。即：證明：189又因?yàn)橹懈髟獮?n-1)次多項(xiàng)式，故可一般表示為：代入上式有：用A代替s將上式展開(kāi) 得190 3）矩陣A的最小多項(xiàng)式： 定義：A的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。用 表示。的求法： 定理：設(shè)A的伴隨矩陣 全部元素的最大公因子為d(s)則.191注：1.該定理證明要用到矩陣多項(xiàng)式的概念. 2.計(jì)算 要先求 。將 各元變?yōu)橐蜃酉喑说亩囗?xiàng)

38、式。從中找出各元的最大公因子 ，且 取首1多項(xiàng)式的形式.例： 已知：試求A的最小多項(xiàng)式并驗(yàn)證凱哈定理。192解：1. 193所以最大因子：故A的最小多項(xiàng)式為：進(jìn)一步可驗(yàn)證上式是以A為根的零化多項(xiàng)式1942.驗(yàn)證凱哈定理：195則An可表示成低于n階冪矩陣的線性組合。 2. eAt 能化成有限項(xiàng)的依據(jù)： 由凱哈定理知：矩陣A的特征多項(xiàng)式是A的零化多項(xiàng)式，即196由此可推得：上式表明：對(duì)于kn，Ak均可用 An-1，A,I這n個(gè)獨(dú)立項(xiàng)的線性組合來(lái)表示。所以可將eAt無(wú)窮項(xiàng)化成有限項(xiàng)。197故可令： 設(shè)n個(gè)根為1 2 .n，按上式對(duì)每個(gè)根都有以下結(jié)果即特征方程第一種情況：A的特征值互異 2.待定系數(shù)

39、 的求法 式中， n個(gè)待定系數(shù)，是t的標(biāo)量函數(shù)。198于是對(duì)于其中系數(shù)與前面 eAt 的系數(shù)相同。當(dāng)kn 時(shí)，ik的各項(xiàng)均可用 的線性組合表示，得出下列方程組：199解此方程組，得系數(shù)例：已知試用化 為A的有限項(xiàng)法求200解：1.求特征值2.求系數(shù)2012023.求 203204第二種情況：A有相重特征值 設(shè)A有n重特征值1 ，則按以上方法必有下式 但由于是n重根，不能按同樣形式寫(xiě)出n個(gè)方程，對(duì)上式依次對(duì)1求導(dǎo)，直至（n-1）次，可得到（n-1）個(gè)導(dǎo)數(shù)方程。然后聯(lián)立這n個(gè)方程解出n個(gè)待定系數(shù)。即 205解方程組即可求得系數(shù) 。206 第三種情況：系統(tǒng)有單根，也有重特征根 設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值中

40、，1為m重特征值，m+1，n為互異的單特征值，根據(jù)情況二列寫(xiě)m個(gè)方程，根據(jù)情況一列寫(xiě)（n m）個(gè)方程，解上述n個(gè)方程，即可得出系數(shù) 的計(jì)算公式。例：已知系統(tǒng)矩陣試用化eAt為A的有限項(xiàng)法求eAt。2072.求系數(shù) i(t)：解：1.求特征值：208即2093.求 eAt ：210 可見(jiàn)，以上幾例求出的 eAt 中各元都是 的線性組合。211結(jié) 束212現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)213 2-3線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及連續(xù)系統(tǒng)的離散化一. 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.一般形式。由離散狀態(tài)方程和離散輸出方程組成。式中：T是采樣周期。方程中的矢量，各系數(shù)矩陣的名稱和維數(shù)都與連續(xù)系統(tǒng)相同，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)常省去T

41、將方程寫(xiě)成如下形式 214即：2.結(jié)構(gòu)圖。上述方程可用結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示215 3.差分方程和脈沖傳遞函數(shù)與離散狀態(tài)空間表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換 在單變量離散系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)模型分為差分方程和脈沖傳遞函數(shù)兩類，它們與離散狀態(tài)空間表達(dá)式之間的變換，和連續(xù)系統(tǒng)分析相類似。連續(xù) D.E離散 差分方程脈沖傳函 狀態(tài)空間表 T.F S.E 達(dá)式216解：1,G(z) 差分方程 狀態(tài)空間表達(dá)式例：已知脈沖傳遞函數(shù)為試求其狀態(tài)空間表達(dá)式差分方程為217所以2182.G（z） 部分分式法 狀態(tài)空間表達(dá)式則2193.狀態(tài)空間表達(dá)式 G（z）220 對(duì)連續(xù)系統(tǒng)，若常用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制或求解，首先必須把連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成離散系統(tǒng)，

42、這個(gè)過(guò)程稱之為連續(xù)系統(tǒng)的離散化。二.定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化離散方程設(shè)定常連續(xù)系統(tǒng)221連續(xù)系統(tǒng)其狀態(tài)解為：即取t0=Kt, t=(k+1)T 1、直接離散化： 離散化的實(shí)質(zhì)就是用一個(gè)矩陣差分方程去代替一個(gè)矩陣微分方程。222在 其輸入向量u(t)=u(kT)，初始時(shí)刻t0 = kT，則狀態(tài)方程的解為 對(duì)第二項(xiàng)積分作變量代換：令t=（k+1）T-； dt=-d上限：=（k+1）T，t=(k+1)T -=0下限：=kT, t= (k+1)T -=T223224 例：求 的離散化方程解：先求eAt：由拉氏變換法得225226227U(s)G0(s)Y(s)2、由脈沖傳函實(shí)現(xiàn)離散化步驟：1首先求連續(xù)系統(tǒng)

43、的傳遞函數(shù)2按照離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求脈沖傳函3按脈沖傳函與標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的關(guān)系寫(xiě)出離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式228U(s)解：因?yàn)殡x散化后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為：上圖的傳遞函數(shù)為：例1-26 已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ，試求其離散化狀態(tài)空間表達(dá)式229對(duì)上式取z變換：最后由G（z）寫(xiě)出其能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式2302-4 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解k=0時(shí),x(1)=Gx(0)+Hu(0)k=1時(shí),x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1) 一.定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解：（兩種方法）1迭代法：狀態(tài)方程本身就是一個(gè)基本的迭代方程依次將采樣時(shí)刻k=0，1，2，3代入上式即可。已

44、知：初始時(shí)刻KT=0，初始狀態(tài)為x(0)231幾點(diǎn)討論：2).第k個(gè)采樣時(shí)刻的狀態(tài)，只與采樣時(shí)刻0,1,2k-1時(shí)的輸入值有關(guān)系，而與第k個(gè)次采樣時(shí)刻輸入值無(wú)關(guān)，這是慣性系統(tǒng)的一個(gè)基本特征；由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)反映系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)零輸入響應(yīng)由輸入引起的響應(yīng)反映系統(tǒng)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)零狀態(tài)響應(yīng)。1).定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)解由兩部分組成：232(k)也滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的兩個(gè)定義條件：矩陣差分方程：(k+1)=G(k)初始條件： (0)= G0=I證明： 3).與連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)解比較上式中的Gk稱為定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為(k)= Gk233 4).(k)的基本性質(zhì)234序列：或5).引入(k)后，狀態(tài)

45、解又可表示為：序列：2352.z變換法：對(duì)方程兩邊取z變換與第一種方法比較可知：求反變換：236所以2372.迭代法求出的解是一個(gè)數(shù)值解。只能求出某一時(shí)刻的數(shù)值。但迭代公式本身就是狀態(tài)方程，簡(jiǎn)單方便，而且不用求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Gk；如果已求出(k)=Gk，則可用解的迭代公式求出自由分量和強(qiáng)迫分量.1.z變換求出的解是一個(gè)完整解，其中解的結(jié)構(gòu)可分為自由解和強(qiáng)迫解兩部分，可分別求出，對(duì)分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程有本質(zhì)的幫助。解的形式是一個(gè)閉式，即解析式。注：238例：求線性定常離散系統(tǒng)的解解： (1) 用迭代法求解已知239直至240(2)用標(biāo)準(zhǔn)型求Gk,再代入解的迭代公式也可先求出241又知 u(k) = 1

46、于是（3）用z變換法求解:先計(jì)算( zI G )-1242243令k = 0，1，2，3， 代入上式，可得以上兩種方法計(jì)算結(jié)果完全一致，只是迭代法是一個(gè)數(shù)值解，而z變換法則得到了一個(gè)解析表達(dá)式。244二、離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k)的求取與連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣(t)極為類似。 2z變換法 根據(jù)z變換法求取離散系統(tǒng)狀態(tài)方程解中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k)為來(lái)計(jì)算。該方法簡(jiǎn)單，易于計(jì)算機(jī)來(lái)解，但不易得到(k)的封閉式。1直接法根據(jù)離散系統(tǒng)遞推迭代法中的定義245那么，離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k)為式中， 為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形，若特征方程I G= 0的特征根為1，2，n，則有 3化系統(tǒng)

47、矩陣G為標(biāo)準(zhǔn)形法（1）當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣G的特征值均為單根時(shí) 當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣G的特征根均為單根時(shí)，經(jīng)過(guò)線性變換可將系統(tǒng)矩陣G化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形，即246式中，P為化系統(tǒng)矩陣G為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。 247例:齊次離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k)。解：其特征值 1 = 0.2 2化系統(tǒng)矩陣G為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P為248則249(2) 當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣G的特征值有重根時(shí)式中J 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形； Q 化系統(tǒng)矩陣G為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。4化為G的有限項(xiàng)法 應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理，系統(tǒng)矩陣G滿足其自身的零化多項(xiàng)式。離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可化為G的有限項(xiàng)，即250式中i(k) ( i = 0，1，

48、 n 1)為待定系數(shù)，可仿照連續(xù)系統(tǒng)的方法來(lái)求取。例: 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k)。解：離散系統(tǒng)特征方程為251其特征值 1 = 1 2 = 2待定系數(shù)可按下式求取解之得則離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為252253結(jié) 束254現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)255第二章總結(jié)一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)1. 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 它包含了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全部信息，可以完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。（i）定義條件（ii）求法(1) 冪級(jí)數(shù)法 256(2) 拉氏變換法 (3)對(duì)角形法或約當(dāng)形法對(duì)角形:257約當(dāng)形:化eAt為A的有限項(xiàng)法 凱萊-哈密爾頓定理：矩陣A滿足其本身的零化特征多項(xiàng)式。 258則有i(t

49、)的計(jì)算按A的特征值互異或有重根時(shí)分別計(jì)算。(5) 最小多項(xiàng)式法最小多項(xiàng)式為 式中d(s)為伴隨矩陣( sI A )各元的最大公因子。則A也要滿足其零化的最小多項(xiàng)式，即(A) = 0。求eAt的方法與化eAt為的有限項(xiàng)法完全相似。2592. 線性定常系統(tǒng)齊次方程的解可表示為3. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)非齊次方程的解分為零輸入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移和零狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，即二、線性定常離散系統(tǒng)1.線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2602.線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化1）直接法: 采樣周期為T(mén)，離散化后系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為二、線性定常離散系統(tǒng)1.線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2612) 脈沖傳遞函數(shù)法:U(s)G

50、0(s)Y(s)狀態(tài)空間表達(dá)式其中離散化過(guò)程是通過(guò)求脈沖傳函來(lái)完成的.262(1) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k) c. 性質(zhì):a.定義:b. 求法:3.線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解或263(2). 狀態(tài)方程的解1) 迭代法 a.狀態(tài)方程法 把初始條件和輸入函數(shù)直接代入狀態(tài)方程表達(dá)式即可。 b.狀態(tài)解法 如果已求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Gk,則把初始條件和輸入函數(shù)直接代入狀態(tài)解表達(dá)式即可。2642) z變換法例: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 設(shè)采樣周期T = 1s，求離散化后系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。265解：先求連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣266267離散化后系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為268結(jié) 束現(xiàn)代控制理論主講

51、：楊西俠山東大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院第3章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析3.1 線性系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的概述3.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性3.3 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性3.4 線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3.5 對(duì)偶性原理3.6 系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)陣的關(guān)系3.7 系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形3.8 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題271線性系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的概述 系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)很重要的基礎(chǔ)性概念，是由卡爾曼（Kalman）在六十年代初提出的?，F(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上，狀態(tài)方程描述了輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)的變化過(guò)程；輸出方程則描述了由狀態(tài)x(t)變化引起的輸出

52、y(t)的變化。 能控性，指的是控制作用對(duì)被控系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行控制的可能性； 能觀測(cè)性，則反映由系統(tǒng)輸出的量測(cè)值確定系統(tǒng)狀態(tài)的可能性。 對(duì)狀態(tài)的控制能力和測(cè)辨能力兩個(gè)方面，揭示了控制系統(tǒng)構(gòu)成中的兩個(gè)基本問(wèn)題。 272線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性3.2.1 狀態(tài)能控性 定義：若系統(tǒng)(A(t)，B(t)對(duì)初始時(shí)刻t0，存在另一時(shí)刻tf（tf t0），對(duì)t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0) = x0，可以找到一個(gè)允許控制u(t)，能在有限時(shí)間tf t0內(nèi)把系統(tǒng)從初態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移至任意指定的終態(tài)x(tf )，那么就稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)是能控的。若系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都能控，那么就稱系統(tǒng)在（t0，tf

53、）時(shí)間間隔內(nèi)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱狀態(tài)能控的或能控系統(tǒng)。 若系統(tǒng)存在某一個(gè)狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件，則此系統(tǒng)稱為不能控系統(tǒng)。273 說(shuō)明： （1）根據(jù)定義，如果系統(tǒng)在（t0，t1）時(shí)間間隔內(nèi)完全能控，那么對(duì)于t2 t1，該系統(tǒng)在（t0，t2）時(shí)間間隔內(nèi)也一定完全能控。 （2）如果在系統(tǒng)的狀態(tài)方程右邊迭加一項(xiàng)不依賴于控制u(t)的擾動(dòng)f(t)，那么，只要f(t)是絕對(duì)可積函數(shù)，就不會(huì)影響系統(tǒng)的能控性。2743.2.2 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 定理3-1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B)其狀態(tài)完全能控的充要條件是其能控性矩陣Qc = B AB A2B An 1B 的秩為n，即 rankQc = n

54、 證明 已知狀態(tài)方程的解為 在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始時(shí)刻為零，即t0 = 0以及終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即x(tf ) = 0。則有275因tf 是固定的，所以每一個(gè)積分都代表一個(gè)確定的量，令 利用凱萊-哈密爾頓（Cayley-Hamilton）定理eA = 0() I + 1() A + + n1() A n1276 若系統(tǒng)是能控的，那么對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都應(yīng)從上述方程中解出 0，1，n 1來(lái)。這就要求系統(tǒng)能控性矩陣的秩為n，即rank B AB A2B An 1B = n277 例3-1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)能控性。 解：系統(tǒng)的能控性矩陣為Qc = B AB

55、 A2B = rankQc= 2 n 所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 2 1 1 11 1 3 2 2 22 2 5 4 4 44 4278 首先證明系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后狀態(tài)能控性不變。 由前章可知，系統(tǒng)(A，B)和( ， )之間做線性非奇異變換時(shí)有： 定理3-2： 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B)具有兩兩相異的特征值，則其狀態(tài)完全能控的充要條件，是系統(tǒng)經(jīng)線性變換后的對(duì)角線矩陣 中, 不包含元素全為零的行。279P是非奇異陣 其次證明不包含元素為零的行是系統(tǒng)(A，B)狀態(tài)完全能控的充要條件。280 將對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形的每一行寫(xiě)成如下展開(kāi)形式 顯見(jiàn)，上述方程組中，沒(méi)有變量間的耦合。因此， ( i = 1，2，

56、n)能控的充要條件是下列元素 不同時(shí)為零。 例3-3 考察下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。 (1)281(2)(3)282 定理3-3 若線性連續(xù)系統(tǒng)(A，B)有相重的特征值時(shí)，即A為約當(dāng)形時(shí)，則系統(tǒng)能控的充要條件是： （1）輸入矩陣B中對(duì)應(yīng)于互異的特征值的各行，沒(méi)有一行的元素全為零； （2）輸入矩陣B中與每個(gè)約當(dāng)塊最后一行相對(duì)應(yīng)的各行，沒(méi)有一行的元素全為零。 上述結(jié)論的證明與具有兩兩相異特征值的證明類同，故省略。283例3-4 考察下列各系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。（1）（2） 最后指出一點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形，但在含有相同的對(duì)角元素情況下，定理3-2不成立；或系統(tǒng)矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，但有兩個(gè)或兩個(gè)以上的

57、約當(dāng)塊的特征值相同時(shí)，定理3-3不成立。2843.2.3 線性定常系統(tǒng)的輸出能控性 在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的許多情況下，系統(tǒng)的被控制量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)，而是系統(tǒng)的輸出，因此有必要研究系統(tǒng)的輸出是否能控的問(wèn)題。 定義 對(duì)于系統(tǒng)(A，B，C，D)，如果存在一個(gè)無(wú)約束的控制矢量u(t)，在有限時(shí)間間隔t0，tf內(nèi)，能將任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任一指定的最終輸出y(tf )，那么就稱(A，B，C，D)是輸出完全能控的，或簡(jiǎn)稱輸出是能控的。 定理3-4 線性定常系統(tǒng)(A，B，C，D)，其輸出完全能控的充要條件是輸出能控性矩陣滿秩，即rankQ =rank CB CAB CAn -1B D =

58、m285 例3-6 設(shè)某一系統(tǒng)，其方塊圖如下圖所示，試分析系統(tǒng)輸出能控性和狀態(tài)能控性。 +u(t)x1(t)x2(t) y(t)x1(t)x2(t)解：描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為286rankQc = rank B AB =1 10 0 狀態(tài)是不完全能控的。 rankc = rank CB CAB D = 2 0 0 輸出是完全能控的。 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性是不等價(jià)的，也就是兩者之間沒(méi)有必然的聯(lián)系。2873.3 線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性 3.3.1 狀態(tài)能觀測(cè)性 定義 對(duì)任意給定的輸入信號(hào)u(t)，在有限時(shí)間tf t0，能夠根據(jù)輸出量y(t)在t0，tf內(nèi)的測(cè)量值，唯一地確定系統(tǒng)在時(shí)刻t0的

59、初始狀態(tài)x(t0)，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)能觀測(cè)的。 值得注意的是，在討論系統(tǒng)的能觀測(cè)性時(shí)，只需考慮系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)即可。3.3.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性 定理3-5 線性定常系統(tǒng)(A，C)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件是能觀測(cè)性矩陣288Qo = CCACA2CAn1滿秩，即rankQo = n 證明 不失一般性，假設(shè)t0 = 0， 則齊次狀態(tài)方程的解為 x(t) = eAt x(0) y(t) = CeAt x(0)289 因?yàn)橐话鉳 n，此時(shí)，方程無(wú)唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時(shí)刻進(jìn)行觀測(cè)，得到y(tǒng)(t1)，y(t2)，y(tf )，此時(shí)把方程個(gè)數(shù)擴(kuò)展到n個(gè)，即2

60、90 上式表明，根據(jù)在（0，tf）時(shí)間間隔的量測(cè)值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能將初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來(lái)的充要條件是能觀測(cè)性矩陣Qo滿秩。291 2 12 1Qo = = CCA 1 01 0 例3-7 考察系統(tǒng)的能觀測(cè)性。 rankQo = 2 = n所以系統(tǒng)是能觀測(cè)的。292 定理3-6 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件，是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形中，不包含全為零的列。 293 定理3-7 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)具有重特征值，則其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件，是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中，和每個(gè)約當(dāng)塊Ji（