《二次函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與固知識(shí)講（基礎(chǔ)）【習(xí)標(biāo)1通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題情境的分析定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義；2會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的象，能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；3會(huì)根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)開(kāi)口方向和對(duì)稱(公式不要求記憶和推)，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際 問(wèn)題；4會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一二次方程的近似.【識(shí)絡(luò)【點(diǎn)理要一二函的義一般地，如果 要詮：是常數(shù)， ，么叫做 的次函數(shù)如果 y=ax+bx+c(a,b,c 常數(shù)，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函這里，當(dāng) a=0 就不是二次函 數(shù)了，但 b 可別為零，也以同時(shí)都為零a 的絕值越大，拋物線的開(kāi)口越.要二二函的象性二次函由殊一，分以幾形式 ； ；

2、 ； ，其中 ； .以上式子 a）幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸(軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)當(dāng)時(shí)(軸(0， )開(kāi)口向上( ，0)當(dāng)時(shí)( ， )開(kāi)口向下( )拋物線三素開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).(1) 的號(hào)決定拋物線的開(kāi)口向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相.(2)平行于軸或合的直線記作.特別地，軸記作直線 .拋物線 axbx a0 )中 , , c的用(1) 決開(kāi)口方向及開(kāi)口大小這與中的 完一樣(2) 和 共決定拋物線對(duì)稱的位由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為 軸 ( 、 同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在 軸左側(cè)；(即、 異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)(3)

3、 的小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位.當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0， )：，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； ，與軸交于正半軸；，與軸交于負(fù)半.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成如拋物線的對(duì)稱軸在 用待定數(shù)求次數(shù)解式軸右側(cè)，則.(1)一般式：（a0）.已知圖象上三點(diǎn)或三 、的值，通常選擇一般.(2)頂點(diǎn)式：(可以看成（a0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)S，通常選擇頂點(diǎn). 的圖象平移后所對(duì)應(yīng)的函.(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、 ，常選用交點(diǎn)式：（a0）.(由得根與系數(shù)的關(guān)：).要詮：求拋物線y 2 （a0的稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法方法公式法代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用

4、要三二函與元次程關(guān)函數(shù) ，時(shí)，得到一元二次方程 ，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與 x 軸點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與 x 軸的點(diǎn)情況定一 元二次方程根的情況(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí) (3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸沒(méi)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根； ，則方程沒(méi)有實(shí)根.通過(guò)下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：的圖象方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解的解要詮：二次函數(shù)圖象與 x 軸的點(diǎn)的個(gè)由的值來(lái)確定(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有個(gè)交點(diǎn)，這

5、時(shí)(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸有只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí) (3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x 軸沒(méi)交點(diǎn)，這時(shí)要四利二函解實(shí)問(wèn)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根； ，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；，則方程沒(méi)有實(shí)根.1 1 11 1 1利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中在 的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題 .在研究實(shí)際 問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)把實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)；(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4)利用二次函

6、數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題、解決問(wèn).要詮：常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大小值如最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng))、涵洞、橋梁、拋物體、拋 線的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù) 關(guān)系式【型題類一求二函的解式1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原及點(diǎn)1 1, 2 4，且圖象與 x 軸的另一交點(diǎn)到原的距離為 1則該二次函數(shù)的解析式為_(kāi) _【答案】y 1 1x 3 3或y 2 【解析】 正找出圖象與 x 軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵 由題意知另一交點(diǎn)為(，0)或(-1，0)因此所求拋物線的解析式有兩種設(shè)二次函數(shù)解析式為y 2bx 0, 0, 則有 a ， a 4 4 2 4 2 0

7、, 解之 ， 因此所求二次函數(shù)解析式為y 1 1x 3 3或y x 2 【點(diǎn)評(píng) 此題易出錯(cuò)漏解的錯(cuò)舉反：【變】知：拋物線 y=x+bx+c 的對(duì)稱軸為 x=1， x 軸于 A、B(A 在 的側(cè)，且 AB=4，交 y 于點(diǎn) C.求此拋物線的函數(shù)解析及其頂點(diǎn) 坐. 【答案對(duì)稱軸 x=1，且 AB=4拋物線與 x 軸交點(diǎn)為A(-1，0)，B(3，0) b b=-2y=x-2x-3 為所,x=1 時(shí) y=-4 M(1，-4)對(duì)稱軸 x=1，且 AB=4拋物線與 x 軸交點(diǎn)為A(-1，0)，B(3，0) b y=x-2x-3 為所, x=1 時(shí) y=-4 ，M(1，-4). b=-2類二根據(jù)次數(shù)圖及質(zhì)判

8、代式的號(hào)2二次函數(shù)y 2 的圖象如圖 1 所示反比例函數(shù)y ax與正比例函數(shù) y(b+c)x 在一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是 【答案B；【解析由y 的圖象開(kāi)口向上得 a0，又b2a， b0由拋物線與 y 軸半軸相交得 c0 a， a的圖象在第一、三象限 b+c0， y(b+c)x 的象在第二、四象限同時(shí)滿足 a和 b ) x圖象的只有 B2 2 2 2 2 2 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 1 22 【點(diǎn)評(píng)由圖 1 得 a、b、c 的號(hào)及其相互關(guān)系，去判斷選項(xiàng)的正.類型三、形結(jié)合3西模擬）已知二次函數(shù) （）過(guò)點(diǎn) M，和點(diǎn) N1，2 軸 于 A， 兩，交 軸 C則：；該次函數(shù)圖象與 y

9、 軸于負(fù)半軸；存這樣一個(gè) ，使得 M、 三在同一條直線上；若 a=1， OAOB=OC 以上說(shuō)法正確的有（ ）A B 【思路點(diǎn)撥】二函數(shù) y=ax +bx+c（）過(guò)點(diǎn) （1）和點(diǎn) N，而將 、 兩坐標(biāo)代 入即可消去 a、 解 b 值根圖象的特點(diǎn)及與直線 MN 比，可知當(dāng) 時(shí)，二次函數(shù)圖象在直線 的方 同理當(dāng) 時(shí)用根與系數(shù)的關(guān)系，可得到 OA 值，當(dāng) x=0 時(shí)可得到 OC 的通過(guò) c 建立等 量關(guān)系求證【答案】C；【解析】 次函數(shù) y=ax +bx+c（0經(jīng)過(guò)點(diǎn) M，）點(diǎn) （，2，解得 b=該選項(xiàng)正確方一 二函數(shù) +bx+c，0 該次函數(shù)圖象口向上 點(diǎn) M（，）和點(diǎn) （， 直 MN 的析式為

10、2=即 y=，根據(jù)拋物線的圖象的特點(diǎn)必然是當(dāng)1x 時(shí)二次函數(shù)圖象在 的下方， 該次函數(shù)圖象 y 軸交于負(fù)半軸；方法二：由可 b=，a+c=0， c=，所以二次函數(shù)圖象與 y 軸交于負(fù)半軸故該選項(xiàng)正確根拋物線圖象的特點(diǎn)、 三點(diǎn)不可能在同一條直線上該選項(xiàng)錯(cuò)誤 當(dāng) 時(shí)c=， 該物線的析式為 y=x 當(dāng) 時(shí)，0=x，用根與系數(shù)的關(guān)系可得 x =c，即 OAOB=|c|，當(dāng) x=0 時(shí)， OC=|c|=1=OC ， 若 ， OAOB=OC2，故該選項(xiàng)正確 總上所正確故選 C2 2 2 2 2 2 【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，熟練掌握所學(xué)函數(shù)的圖象性質(zhì)及特點(diǎn) 對(duì)于解題很重要；同

11、時(shí)也要靈活應(yīng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)彼此之間的聯(lián)系類型四、數(shù)與方程4灣如圖，坐標(biāo)平面上，次函數(shù) y=x +k 的圖形與 x 軸交于 A、B 兩，與 y 軸于 C 點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 ， k 與 的面積比為 ：4則 值何？（ ）A BCD【思路點(diǎn)撥】求出頂點(diǎn)和 的標(biāo)，由三角形的面積關(guān)系得出關(guān)于 的方程，解方程即可【答案【解析】解： （） 4，頂點(diǎn) 2，4（k，ABC 的積 AB k 的積 （ABC 與 的積比為 ：， （4k解得： 【點(diǎn)評(píng)本題考查了拋物線與 x 軸交點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)；根據(jù)三角形的面積關(guān)系得出方程是解決問(wèn) 題的關(guān)鍵舉反：【變 1】論 x 為實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象永遠(yuǎn)在 x 軸下方的條件( )AC【答案二次

12、函數(shù)即BD的圖象與 軸交點(diǎn)，則說(shuō)明 y=0 ，方程又圖象永遠(yuǎn)在 x 軸方，則 答：無(wú)解，【變 2于二次函數(shù) 則二次函數(shù)們使函數(shù)值等于 0 的數(shù) 叫做個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，(m 為實(shí))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)( )A B C0 D不能確定【答案】當(dāng) y=0 時(shí)，即二次函數(shù)故選 B. 類五分類論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 25已知點(diǎn) A(1，1)在二次函數(shù)y x2 ax 的圖象上用 的代式表示 b；如該二次函數(shù)的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo) 【思路點(diǎn)撥】(1)將 A(1，1)代入函數(shù)解析式(2)由b-4ac 求出 【答案與解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn) A(1，1)在二次函數(shù)y 的圖象上，所以 11-2a+b，以

13、 b2a(2)根據(jù)題意，方程x 有個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以 b a 2 ，解得 a 或 a當(dāng) a0 時(shí)，x，個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(，0)當(dāng) a2 時(shí)，y x ，這個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(，0)所以，這個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(，0)(2，0)【點(diǎn)評(píng)二次函數(shù)y ax2 ( a 0)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程2 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以 eq oac(, )b2 ac 類六二次數(shù)實(shí)際題6陂區(qū)校級(jí)模擬）進(jìn)價(jià)為每 元某商品，售價(jià)為每件 元，每星期可出 500 件，市 場(chǎng)調(diào)查反映：如果每件的售價(jià)每降價(jià) 元每星期可多賣(mài)出 100 件但售價(jià)不能低于每件 42 元且每 星期至少要銷售 800

14、件設(shè)每件降價(jià) x 元 （ 為整數(shù)星期的利潤(rùn)為 y 元（） y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量 的值范圍；（）某星期利潤(rùn)為 元此利潤(rùn)是否是該星期的最大利潤(rùn)？說(shuō)明理由（）接寫(xiě)出價(jià)為多少時(shí)，每星期的利潤(rùn)不低于 5000 元【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)利潤(rùn) y=每件利潤(rùn)銷量，每件利=40 x銷售量=500+100 x，而售價(jià) 5042， 銷售量500+100 x800，列不等組求 x 的取范圍；（2根據(jù)（）關(guān)系式配方后確定最大利潤(rùn)，與 5600 比較后即可發(fā)現(xiàn)是否為最大利潤(rùn)；2 2 22 2 2（3設(shè)當(dāng) y=5000 時(shí) x 有兩個(gè)解可推出 0 x5 ，y5000【答案與解析】解）依題意，得 y=（5040 x（5