2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第5章 第4節(jié) 第1課時　余弦定理、正弦定理

1、 解三角形第1課時余弦定理、正弦定理考試要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題. 1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC的外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)2Ra2b2c22bc_cos_A；b2c2a22ca_cos_B；c2a2b22ab_cos_C變形(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3) eq f(abc,sin Asin Bsin C) eq f(a,sin

2、A)2Rcos A eq f(b2c2a2,2bc)；cos B eq f(c2a2b2,2ac)；cos C eq f(a2b2c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S eq f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S eq f(1,2)ab sin C eq f(1,2)ac_sin_B eq f(1,2)bc_sin_A；(3)S eq f(1,2)r(abc)(r為內(nèi)切圓半徑).常用結(jié)論1三角形內(nèi)角和定理在ABC中，ABC；變形： eq f(AB,2) eq f(,2) eq f(C,2).2三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin (AB)sin C；(2)cos (AB)co

3、s C；(3)sin eq f(AB,2)cos eq f(C,2)；(4)cos eq f(AB,2)sin eq f(C,2).3三角形中的射影定理在ABC中，ab cos Cc cos B；ba cos Cc cos A；cb cos Aa cos B.4三角形中的大角對大邊在ABC中，ABabsin Asin B 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，則AB.()(3)在ABC中， eq f(a,sin A) eq f(abc,sin Asin Bsin C).()(4)當(dāng)b2c2a20時

4、，ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時，ABC為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時，ABC為鈍角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A eq f(,6)，B eq f(,4)，a1，則b()A2B1C eq r(3)D eq r(2)D由 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B)得b eq f(a sin B,sin A) eq f(sin f(,4),sin f(,6) eq f(r(2),2)2 eq r(2).2在ABC中，若a2，c4，B60，則b等于()A2 eq r(3) B12 C2 eq r(

5、7) D28A由余弦定理b2a2c22accos B，得b2416812，所以b2 eq r(3).3ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C60，b eq r(6)，c3，則A_75由正弦定理，得sin B eq f(b sin C,c) eq f(r(6)sin 60,3) eq f(r(2),2)，所以B45或135，因為bc，所以BC，故B45，所以A75.4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a4，b5，c6，則cos A_，ABC的面積為_ eq f(3,4) eq f(15r(7),4)依題意得cos A eq f(b2c2a2,2bc) eq f(3,

6、4)，所以sin A eq r(1cos2A) eq f(r(7),4)，所以ABC的面積為 eq f(1,2)bc sinA eq f(15r(7),4). 考點一利用正、余弦定理解三角形 eq avs4al(典例1)(1)已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b sin 2Aa sin B，且c2b，則 eq f(a,b)等于()A2B3C eq r(2)D eq r(3)(2)在 eq f(ab,cb) eq f(sin C,sin Asin B)；cos A eq r(3)sin A1； eq r(3)cos eq f(A,2)sin A這三個條件中任選一個，補充在下面

7、的橫線上，并加以解答問題：已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，bc4，ABC的外接圓半徑為2 eq r(3)，且_，求角A及ABC的邊BC上的高h(yuǎn).(1)D由正弦定理及b sin 2Aasin B，得2sin Bsin Acos Asin Asin B，又sin A0，sin B0，則cos A eq f(1,2).又c2b，所以由余弦定理得a2b2c22bccos Ab24b24b2 eq f(1,2)3b2，得 eq f(a,b) eq r(3).故選D.(2)解選擇：由 eq f(ab,cb) eq f(sin C,sin Asin B)，得(ab)(sin Asin B

8、)sin C(cb)，由正弦定理，得(ab)(ab)c(cb)，整理得a2b2c2bc，所以cos A eq f(b2c2a2,2bc) eq f(bc,2bc) eq f(1,2)，又0A0，sin B eq r(1cos2B) eq f(r(5),3)，sinA eq r(1cos2A) eq f(4r(5),9)，故cosCcos (AB)cos (AB)cos A cos Bsin A sin B，則cos C eq f(1,9) eq f(2,3) eq f(4r(5),9) eq f(r(5),3) eq f(22,27).(2)ab cos C88，ab eq f(22,27)8

9、8，解得：ab108，由 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B)得： eq f(a,sin 2B) eq f(b,sin B)，故 eq f(a,b) eq f(2sin B cos B,sin B)2cos B eq f(4,3)，由 eq blc(avs4alco1(ab108，,3a4b，) 解得 eq blc(avs4alco1(a12，,b9，) 由余弦定理得c2a2b22ab cos C，則c2144812129 eq f(22,27)49，故c7，故ABC的周長是abc129728. 考點二判斷三角形的形狀 eq avs4al(典例2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對

10、的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D不確定A法一：(化角為邊)因為b cos Cc cos Bb eq f(a2b2c2,2ab)c eq f(a2c2b2,2ac) eq f(2a2,2a)a，所以a sin Aa，即sin A1，故A eq f(,2)，因此ABC是直角三角形法二：(化邊為角)因為bcos Cccos Basin A，所以sin Bcos Csin Ccos Bsin2A即sin (BC)sin2A，所以sinAsin2故sin A1，即A eq f(,2)，因此ABC是直角三角形法三：(射

11、影定理)b cos Cc cos Baa sin A，sin A1，故A eq f(,2)，因此ABC是直角三角形母題變遷若本例條件變?yōu)?eq f(a,b) eq f(cos B,cos A)，判斷ABC的形狀解由 eq f(a,b) eq f(cos B,cos A)，得 eq f(sin A,sin B) eq f(cos B,cos A)，所以sin A cos Acos B sin B，所以sin 2Asin 2B因為A，B為ABC的內(nèi)角，所以2A2B或2A2所以AB或AB eq f(,2)，所以ABC為等腰三角形或直角三角形判定三角形形狀的兩種常用途徑提醒：在判斷三角形的形狀時一定要

12、注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件跟進(jìn)訓(xùn)練2在ABC中，a，b，c分別表示三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若(a2b2)sin (AB)(a2b2)sin (AB)，則三角形的形狀為()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D法一：已知等式可化為a2sin (AB)sin (AB)b2sin (AB)sin (AB)，即2a2cos A sin B2b2cos B sin A結(jié)合正弦定理，上式可化為sin2A cosA sin Bsin2B cosB sin A，即sin A sin B(sin A cos Asin B cos B eq f(1,2)sin A sin

13、B(sin 2Asin 2B)0，A，B均為ABC的內(nèi)角，sin A0，sin B0，sin 2Asin 2B0，即sin 2Asin 2B，又A，B(0，)，02A2，02B2，2A2B或2A2B，即AB或AB eq f(,2)ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選D.法二：已知等式可化為a2sin (AB)sin (AB)b2sin (AB)sin (AB)，即2a2cos A sin B2b2cos B sin A由正、余弦定理，可得a2 eq f(b2c2a2,2bc)bb2 eq f(a2c2b2,2ac)a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(a2b2c2

14、)0，ab或a2b2c2，ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選D. 考點三與三角形面積有關(guān)的問題典例3如圖，在ABC中，D為BC的中點，AB4，AD eq r(10)，AC6.(1)求ABC的面積；(2)求cos eq blc(rc)(avs4alco1(2Cf(,3)的值解(1)設(shè)BDCDx，在ABD和ACD中，利用余弦定理：cos ADB eq f(x21042,2r(10)x)，cos ADC eq f(x21062,2r(10)x)，又cos ADBcos ADC，整理得 eq f(x21062,2r(10)x) eq f(x21042,2r(10)x)，解得x4或4(舍去)，故

15、cos C eq f(7,8)，所以sin C eq f(r(15),8)，故SABC eq f(1,2)68 eq f(r(15),8)3 eq r(15).(2)cos 2Ccos2Csin2C eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(15),8)2 eq f(17,32)，sin2C2sin C cos C2 eq f(7,8) eq f(r(15),8) eq f(7r(15),32)，故cos eq blc(rc)(avs4alco1(2C f(,3) cos 2C cos eq f(,3)sin 2C sin eq

16、 f(,3) eq f(1721r(5),64).求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵跟進(jìn)訓(xùn)練3(1)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為 eq f(a2b2c2,4)，則C()A eq f(,2)B eq f(,3)C eq f(,4)D eq f(,6)(2)在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2b2c2 eq r(3)ab，且ac sin B2 eq r(3)sin C，則ABC的面積為_(1)C(2) eq f(r(3),2)(1)因為SABC eq f(1,2)absin C，所以 eq f(a2b2c2,4) eq f(1,2)absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2ab sin C，即cos Csin C，所以tan C1.