含參不等式探究

1、含參不等式探究 粟 建 軍含有參數(shù)的不等式在高中數(shù)學(xué)里面是一類(lèi)很常見(jiàn)的問(wèn)題，考查方式主要是在一些恒成立的不等式里設(shè)置兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量，告訴一些變量的取值范圍，求剩余變量的取值問(wèn)題。此類(lèi)題目綜合性強(qiáng)，解法靈活多變，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高，是高考中常見(jiàn)的題目，本文通過(guò)一些具體的例題來(lái)探究其解法。一、圖像法，這種解法就是充分利用函數(shù)圖像的直觀性，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問(wèn)題。例1、已知函數(shù)，若在上恒成立，那么求的取值范圍。分析：很顯然，該函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，其圖像是一條完整的開(kāi)口向上的拋物線，要使得恒成立，只要函數(shù)圖像與軸無(wú)交點(diǎn)或最多一個(gè)交點(diǎn)，所以只需要考慮判別式小于等于零即可。即： 所以為

2、所求的的取值范圍。二、分離參數(shù)法，這種解法就是把要求的參數(shù)分離出來(lái)，剩下的不等式就是一個(gè)函數(shù)和相關(guān)參數(shù)的不等關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的最值來(lái)解決參數(shù)的取值。例2、已知函數(shù)，若在時(shí)恒成立，那么求的取值范圍。分析：顯然這個(gè)問(wèn)題用圖像法就不方便了，因?yàn)樽宰兞康姆秶l(fā)生了變化，我們就可以單獨(dú)分離出來(lái)解決問(wèn)題。即：應(yīng)用基本不等式，由于，所以所以有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)，有最小值0所以為所求的范圍。三、巧換自變量法，這種解法就是通過(guò)變換自變量來(lái)解決問(wèn)題。例3、已知函數(shù)對(duì)所有都成立，那么求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：對(duì)于二次函數(shù)來(lái)說(shuō)，前述的兩種解法就不好用了，但我們可以換位思考，假如把它當(dāng)成是關(guān)于為自變量的函數(shù)，那么問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。即：原不等式可變?yōu)閯t只需要所以有解得為所求的范圍。四、分類(lèi)討論法，有些時(shí)候要使得不等式恒成立，只要知道函數(shù)的最值就可以了，由于參數(shù)在變，所以得分類(lèi)討論。例4、已知函數(shù)對(duì)所有都成立，那么求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：在已知的自變量范圍上，我們不知道函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)分類(lèi)討論找到函數(shù)在所給區(qū)間的最小值便可解決問(wèn)題。即：（1）可得（2）可得綜上知，的范圍是當(dāng)然這類(lèi)問(wèn)題絕對(duì)不只有這幾種解法，對(duì)于具體的問(wèn)題我們需要具體分析，一定要找到題目中的已知