課件概率論第3章5jg

1、5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布25xyzx+y=zx y zf ( x, y)dxdyz xf ( x, y)dydxf(z) F(z)ZZzf ( x, y)dy)dx( z xzz x(f ( x, y)dy) dxf ( x, z x)dx(I) 二維連續(xù)型r.v.的情況:一、Z X Y 的分布設(shè)( X ,Y ) 的概率密度為f ( x, y)則 Z 的分布函數(shù)為FZ (z) PZ z P X Y z26Zf (z y, y)dy類似可得，f(z) fZf (z y, y)dyf ( x, z x)dx (z) (f( z ) zz xf ( x, y )dy )dx f ( x, z x)

2、dxf (z, y)dyz221111f(z, y)dy f (z, (z)(z) f (z, (z) (z)G(z) zG(z) 2 ( z) ( z)2 ( z) ( z)z xz xG( z ) f ( x, y )dyG ( z ) fz ( x, y )dy f ( x, z x )( z x ) f ( x, )( )f ( x, z x )f Z ( z ) f ( x, z x )dxfYXYXZf(z y) f( y)dy(z x)dx ( x) ff(z) 26 x, y ef X ( x ) fY ( z x ) 2 x2 ( z x )212fZf (z y, y)dy

3、 x)dx f ( x, z(z) 當(dāng) X ,Y 相互獨(dú)立時(shí),率密度.例題: 設(shè) X , Y 相互獨(dú)立，且X ,Y N (0,1), 試求Z X Y 的概解Z f(z) f X ( x) fY (z x)dx dxe2 x 2 ( z x )2122e( x ) x212 ( x) ez2z22 1 2dxez2 z2( x ) 24 x zx 4 4 dx 1 e22722z2t 1 e 4edt(令 t x z )22z21e 42(2 )21z2e22即Z N (0,2)一般有以下結(jié)論若 X N( , 2 ), 且 X( i 1,2, ,n ) 相互獨(dú)立，則有iiii2i 1ni 1ii

4、nni N ( Xi 1,)12 22 e ( x )2f ( x ) 0,其它.0 x 1, 0 z x 1,f ( x, z x) 1,28x11z 2Z=1+xZ=x例題: 設(shè)( X ,Y ) 的概率密度為求 Z X Y 的概率密度.FX ( x), FY ( y)Fmax (z);Fmin (z);二、max( X ,Y ), min( X ,Y ) 的分布 設(shè) X ,Y 相互獨(dú)立，分布函數(shù)分別為試求 (1). Z max( X ,Y ) 的分布函數(shù)(2). Z min( X ,Y ) 的分布函數(shù)(1). 最大值 Z max( X ,Y ) 的分布則Fmax (z) Pmax( X ,

5、Y ) z P X z,Y z P X z PY z FX (z)FY (z)推論：設(shè) X1 , X 2 , Xn 相互獨(dú)立，Z max( X1 , X 2 , Xn ),Fmax (z) FX(z) FX(z) FX(z) 12n2930(2). 最小值 Z min( X ,Y ) 的分布Fmin (z) Pmin( X ,Y ) z 1 Pmin( X ,Y ) z 1 P X z,Y z 1 P X zPY z 1 1 P X z1 PY z 1 1 FX (z)1 FY (z)推論：設(shè) X1 , X 2 , Xn 相互獨(dú)立，Z min( X1 , X 2 , Xn ),則Fmin (z

6、) 1 1 FX(z)1 FX(z)1 FX(z)12nL1L2L1L2L1L2f X ( x) e x0 x 00 x 0y 0y 0fY ( y) e y們的概率密度分別為例題：系統(tǒng)L 由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) L1 , L2 聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為(1) 串聯(lián)，(2) 并聯(lián)，(3) 備用(當(dāng)系統(tǒng) L1 損壞時(shí)， L2 開始工作)，如圖所示. 設(shè) L1 , L2 的壽命分別為X ,Y，已知它其中 0, 0 且 . 試分別就以上三種聯(lián)接方式求出L的壽命 Z 的概率密度.310FX ( x) 1 e xx 0 x 00y 0y 0FY ( y) 1 e y32FZ (z) 1 1 FX (z

7、)1 FY (z)0z 0z 01 e( ) z解： X , Y 的分布函數(shù)為(1). 串聯(lián)的情況.L的壽命 Z min( X ,Y )0z 0z 0 fmin(z) ( )e ( ) zL1L2)(1 e)z 00z 0(1 e z zz 0z 0fmax (z) ( ) z ( )e 0 e ze zL的壽命 Z max( X ,Y )(2). 并聯(lián)的情況.FZ (z) FX (z)FY (z)L1L20 x 0 x 0FX ( x) 1 e x0y 0y 0FY ( y) 1 e yL的壽命 Z X Y(3). 備用的情況.YXZ f(z y) f( y)dyf(z) L1L2x 00

8、x 0f X ( x) e x0y 0y 0fY ( y) e yYXf( z y ) f( y )0z y 0, y 0其它e ( z y ) y ezZ0f(z) y ( z y )eez e z edy e z ,z 0z 0 e z0, 所以f Z ( z ) 當(dāng) z 0 時(shí)，fZ (z) 0當(dāng) z 0 時(shí)YXf( z y ) f( y )0z y 0, y 0其它e ( z y ) y ez=yyzYXZ f(z y) f( y)dyf(z) x y zf ( x, y )dy dx x z fZ (z) FZ (z) ( x zf ( x, y )dy )dx z zx z(f (

9、 x, y )dy )dxf ( x, x z )dx G ( z ) x zfz ( x, y )dy f ( x, )( ) f ( x, x z )( x z )x-y=zxy G( z ) x zf ( x, y )dy三、一般函數(shù) Z g( X ,Y )例題: 設(shè)( X ,Y ) 的概率密度為求 Z X Y 的概率密度.解：FZ ( z ) P Z z P X Y z f ( x, y )dxdyz1f(z, y)dy f (z, 2 (z)2 (z) f (z, 1 (z)1 (z)G(z) 2 ( z) ( z)其它.f ( x, y ) 0,0 x 2,0 y 21 / 4,f

10、 Z ( z ) f ( x, x z )dxz 2x-z=0 x-z=22x-2xyz2x+y=z解：Z 的分布函數(shù)為FZ (z) PZ z P2X Y z f (x, y)dxdy2xyzf (x, y)dy dxz 2x f (x, y)dxdy2zy z 2xz 2x(zz 2xf (x, y)dy ) dxf (x, z 2x)dxzf (x, y)dy )dx(fZ (z) FZ (z) z 2xf (x, y)dy dxz 2xFZ (z) fX (x) fY (z 2x)dxG(z) f (x, y)dyG(z) fz (x, y)dy f (x, z 2x)(z 2x)f(x

11、,)() f (x, z 2x)z22111f(z, y)dy f (z, (z)(z) f (z, (z) (z)G(z) 2 ( z) ( z)f (, y)222, y)(2)f(, y)()z yz yfz (x, y)dx f (G(z) zy 22zyf (x, y)dxG(z) f (x, y)dx ) dy (zzy 2, y)dy2f ( 21z yz2(f (x, y)dx )dy fZ (z) FZ (z) zy) f(y)dy2z yf(2 1YX（II）二維離散型r.v.的情況:Zf (x, y)dxdyzy 2f (x, y)dy dx z 2xF(z)121z21

12、 (z)(z) f ( (z), z)f(x, z)dx f (z), z)G(z) 2 ( z) ( z)f (x, z)dx2 ( z)1 ( z)1z yG(z) 例. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X與Y的分布列分別為X012Y01pk 1/23/81/8pk1/32/3且X與Y相互獨(dú)立, 求:(1) Z=X+Y的分布列;(2) (X,Y)的聯(lián)合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).解:Z0123pk1/611/247/241/12 PZ=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=1/6.PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=11/24. PZ=2=PX=1,Y=1+

13、PX=2,Y=0=7/24.PZ=3=PX=2,Y=1=1/12.11/3(2)xY001/611/81/421/241/12PX=0,Y=0=PX=0PY=0=1/6. PX=0,Y=1=PX=0PY=1=1/3.(3)M01pk1/617/2421/8PM=0=pmax(X,Y)=0=PX=0,Y=0=1/6; PM=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=1/4+1/8+1/3=17/24; PM=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=1/8;(4)N01pkPN=0= pmin(X,Y)=0= PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1, Y=0+PX=2,Y=0

14、=1/6+1/3+1/8+1/24=2/3;2/31/3PN=1=PX=1,Y=1+PXX0=2,Y=1=1/312Y01pk 1/23/81/8pk1/32/3341212iiii12k !i!i!Ck ! k e2e1 2 k ik kikk 0k 0i!e1 2 k !(i k )!k !(i k )!PZ=i=12 ek 0PX=k 1 , k 0,1, 2,PY=k 2 , k 0,1, 2,而Z X Y可能取的值為0，1，2，且X,Y相互獨(dú)立。=ikkiki!e1 2 1 2 i 0,1, 2,證：因X 1 ,Y 2 ，故 k e1 Z 1 2 iiik!( i k )!i k )k 0 1 2 ( p X k p Yk 0p Z i p X Y i p X k ,Y i k k 0ke1i ke2231P( X u 2 )P( X u 1 )f ( x )dxf ( x )dx u2u123313(III) 混合型情況:例：設(shè)隨機(jī)變量X