高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：8.3《圓的方程》(含詳解)

1、第三節(jié)圓的方程圓的方程(1)掌握確定圓的幾何要素(2)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程知識點一圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫作圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r0)圓心C(a，b)半徑為r一般,x2y2DxEyF0充要條件：D2E24F0圓心坐標(biāo)：eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)半徑req f(1,2)eq r(D2E24F)易誤提醒(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)中易忽視右端為半徑r的平方，而不是半徑(2)對于方程x2y2DxEyF0表示圓時易忽視D2E24F0這一成立條件必備方法求圓的方程時，要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)簡化運算

2、(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中垂線上(3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線自測練習(xí)1圓x2y24x8y50的圓心與半徑分別為()A(2,4)，5B(2，4)，5C(2,4)，eq r(15) D(2，4)，eq r(15)解析：圓心坐標(biāo)為(2，4)，半徑req f(1,2) eq r(428245)5.答案：B2圓心在直線x2y30上，且過點A(2，3)，B(2，5)的圓的方程為_解析：法一：設(shè)點C為圓心，因為點C在直線x2y30上，所以可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a3，a)又該圓經(jīng)過A，B兩點，所以|CA|CB|，即eq r(2a322a32)eq r(2a32

3、2a52)，解得a2，所以圓心C的坐標(biāo)為(1，2)，半徑req r(10).故所求圓的方程為(x1)2(y2)210.法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，由題意得eq blcrc (avs4alco1(2a23b2r2，,2a25b2r2，,a2b30，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b2，,r210，)故所求圓的方程為(x1)2(y2)210.答案：(x1)2(y2)210知識點二點與圓的位置關(guān)系1確定方法：比較點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系2三種關(guān)系：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點M(x0，y0)(1)(x0a)2(y0b)2r2點在圓上(2

4、)(x0a)2(y0b)2r2點在圓外(3)(x0a)2(y0b)2r2點在圓內(nèi)易誤提醒若圓的方程為x2y2DxEyF0，點M(x0，y0)注意點M與圓的位置關(guān)系滿足條件自測練習(xí)3若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A1a1 B0a1或a1 Da1解析：因為點(1,1)在圓的內(nèi)部，(1a)2(1a)24，1a0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則eq f(4,b)eq f(1,c)的最小值是()A9 B8C4 D2解析：將x2y22y50化為x2(y1)26，圓心(0,1)，代入axbyc10得bc1.eq f(4,b)eq f(1,c)(bc)eq blc(

5、rc)(avs4alco1(f(4,b)f(1,c)5eq f(4c,b)eq f(b,c)52eq r(f(4c,b)f(b,c)9.答案：A求解與圓有關(guān)的最值問題的兩大規(guī)律(1)借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的考點三與圓有關(guān)的軌跡問題|已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ

6、90，求線段PQ中點的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點為M(x0，y0)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x02,2y0)因為P點在圓x2y24上，所以(2x02)2(2y0)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.求與圓有關(guān)的軌跡方程時，常用以下方法(1)直接法：根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程(2)定義法：根據(jù)圓的定義寫出方程(3)幾何法：利用圓的性質(zhì)列方

7、程(4)代入法：找出要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式(唐山一中調(diào)研)點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：設(shè)圓上任意一點為(x1，y1)，中點為(x，y)，則eq blcrc (avs4alco1(xf(x14,2)，,yf(y12,2)，)即eq blcrc (avs4alco1(x12x4，,y12y2，)代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24.化簡得(x2)2(y1)21.答案：A25.方程思想在圓中的應(yīng)用【典例】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y

8、x26x1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上，求圓C的方程思維點撥曲線yx26x1與坐標(biāo)軸有3個交點，可設(shè)圓的一般式方程或標(biāo)準(zhǔn)式方程，通過列方程或方程組可求解法一：曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)與x軸的交點為(32eq r(2)，0)，(32eq r(2)，0)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則有eq blcrc (avs4alco1(1EF0，,32r(2)2D32r(2)F0，,32r(2)2D32r(2)F0，)解得eq blcrc (avs4alco1(D6，,E2，,F1，)故圓的方程是x2y26x2y10.法二：曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的

9、交點為(32eq r(2)，0)，(32eq r(2)，0)，故可設(shè)圓C的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2eq r(2)2t2，解得t1，則圓C的半徑為eq r(32t12)3，所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.方法點評(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個交點，設(shè)圓的方程為一般式，代入點的坐標(biāo)求解析式(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡化計算顯然幾何法比代數(shù)法的計算量小，因此平時訓(xùn)練多采用幾何法解題跟蹤練習(xí)已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1,0)且被x軸分成兩段，弧長比為12，則圓C

10、的方程為_解析：由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為eq f(2,3)，設(shè)圓心(0，a)，半徑為r，則rsin eq f(,3)1，rcos eq f(,3)|a|，解得req f(2,r(3)，即r2eq f(4,3)，|a|eq f(r(3),3)，即aeq f(r(3),3)，故圓C的方程為x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),3)2eq f(4,3).答案：x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),3)2eq f(4,3)A組考點能力演練1以線段AB：xy20(0 x2)為直徑的圓的方程為()A(x1)2(y1)22B(x1)2(

11、y1)22C(x1)2(y1)28D(x1)2(y1)28解析：直徑的兩端點分別為(0,2)，(2,0)，圓心為(1,1)，半徑為eq r(2)，故圓的方程為(x1)2(y1)22.答案：B2(北京西城期末)若坐標(biāo)原點在圓(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1,1)B(eq r(3)，eq r(3)C(eq r(2)，eq r(2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)解析：(0,0)在(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則有(0m)2(0m)24，解得eq r(2)meq r(2)，選C.答案：C3(開封模擬)已知直線l：xy4

12、0與圓C：(x1)2(y1)22，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為()A.eq r(2) B.eq r(3)C1 D3解析：由題意知，圓C上的點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去圓的半徑，即eq f(|114|,r(1212)eq r(2)eq r(2).答案：A4(洛陽期末)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若曲線C：x2y22ax4ay5a240上所有的點均在第四象限內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，2) B(，1)C(1，) D(2，)解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y2a)24，所以圓心為(a,2a)，半徑r2，由題意知eq blcrc (avs4alco1(a2,|2

13、a|2)a0，,r(m)r(m2m2)，得mr(2).,m0.)答案：eq r(2)，)8圓C通過不同的三點P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點P處的切線斜率為1，則圓C的方程為_解析：設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0，則k,2為x2DxF0的兩根，k2D,2kF，即D(k2)，F(xiàn)2k，又圓過R(0,1)，故1EF0.E2k1.故所求圓的方程為x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圓心坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(k2,2)，f(2k1,2).圓C在點P處的切線斜率為1，kCP1eq f(2k1,2k)，k3.D1，E5，F(xiàn)6.所求圓C的方程為x2y2

14、x5y60.答案：x2y2x5y60.9(洛陽統(tǒng)考)已知圓S經(jīng)過點A(7,8)和點B(8,7)，圓心S在直線2xy40上(1)求圓S的方程；(2)若直線xym0與圓S相交于C，D兩點，若COD為鈍角(O為坐標(biāo)原點)，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)線段AB的中垂線方程為yx，由eq blcrc (avs4alco1(2xy40，,yx，)得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y4，)所以圓S的圓心為S(4,4)，圓S的半徑為|SA|5，故圓S的方程為(x4)2(y4)225.(2)由xym0變形得yxm，代入圓S的方程，消去y并整理得2x22mxm28m70.令(2m)28(m28m7

15、)0，得85eq r(2)m85eq r(2).設(shè)C，D的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1x2m，x1x2eq f(m28m7,2).依題意，得eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()O，則x1x2(x1m)(x2m)0，即m28m70，解得1m7.故實數(shù)m的取值范圍是m|85eq r(2)m85eq r(2)m|1m7m|1m0)，若圓C上存在點P，使得APB90，則m的最大值為()A7 B6C5 D4解析：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因為APB90，連接OP，易知|OP|eq f(1,2)|AB|m.要求m的最大值，即

16、求圓C上的點P到原點O的最大距離因為|OC|eq r(3242)5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.答案：B2(高考全國卷)已知三點A(1,0)，B(0，eq r(3)，C(2，eq r(3)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.eq f(5,3) B.eq f(r(21),3)C.eq f(2r(5),3) D.eq f(4,3)解析：設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0，eq blcrc (avs4alco1(1DF0，,3r(3)EF0，,72Dr(3)EF0，)eq blcrc (avs4alco1(D2，,Ef(4r(3),3)，,F1，)ABC外接圓的圓心為eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(2r(3),3)，故ABC外接圓的圓心到原點的距離為eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3),3)2)eq f(r(21),3).答案：B3(2014高考陜西卷)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關(guān)于直線yx對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：根據(jù)題意得點(1,0)關(guān)于直線yx對稱的點(0,1)為圓心，又半徑r1，所以圓C