第二章用拉格朗日方程建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1、 2.1概述拉格朗日方程屬于能量法，推導(dǎo)中使用標量，直接對整個系統(tǒng)建模特點：列式簡潔、考慮全面、建模容易、過程規(guī)范適合于線性系統(tǒng)也適合于非線性系統(tǒng)，適合于保守系統(tǒng)，也適合于非保守系統(tǒng)。2.2拉格朗日方程1 哈密爾頓原理系統(tǒng)總動能T T(q , q , q , q , q , q )q , （2）（2）（2）（24）123n123N系統(tǒng)總勢能U U(q , q , q , q ,t)123N非保守力的虛功 W Q q Q q Q q1122NN哈密爾頓原理的數(shù)學(xué)描述：tT U)dt W dt 0t22nct1t12 拉格朗日方程：拉格朗日方程的表達式：d T( )T U（25）Q i N) qq

2、 qiiiiTqTqTqTqTqTqq q q q q q t2(12N12Nt1（2）12N12NUUTq q q q Q q Q q Q q )dt 0qq12N1122NN12N利用分步積分TqTqTt dq qti t（27）t( ) q 222 qtiit11ii1i并注意到端點不變分（端點變分為零）（28）（2）q (t ) q (t ) 0i1i2故TTt d( ) q tq i22q qtit1i1i從而有d TT UtN（ ( )Q q ) 0（2）2 qq qiit1i1iii由變分學(xué)原理的基本引理：（設(shè) n維向量函數(shù)，在區(qū)間t ,t t ,t 0f0ft ,t n 維向量

3、函數(shù) t)0f t t)Mt)dt0Tft0t ,t Mt)0）0f我們可以得到：d T ( )T UQ 0（211）（2） qq qiiii即d T( )T UQ qq qiiii則阻尼力與廣義速度 成正比，在這種情況下，可引入瑞利耗散（耗能）函數(shù)，1 T C2 13（ ）D2阻尼力產(chǎn)生的廣義非保守力為：DQ （214）（215）qii對于僅受有勢力和線性阻尼力作用的系統(tǒng)，其拉格朗日方程為：d T( )T U D0q q q qiii如果系統(tǒng)上還作用了除有勢力和阻尼力以外的非保守力，如結(jié)構(gòu)受到的外激勵力（對應(yīng)的廣義非保守力可通過非保守力的虛功求得，仍記為Q i格朗日方程為：d T( )T U

4、 DQ（216）q qq qiiii2.3 拉格朗日方程在振動系統(tǒng)建模中應(yīng)用在某些結(jié)構(gòu)振動問題中，取分離體、確定各分離體的受力情況，然后利用牛頓第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，這時，采用拉格朗日方程來建立振動方程就很方便。1 集中參數(shù)模型中應(yīng)用O【例】質(zhì)量為 M的長直桿上有一個集中質(zhì)量 m可在桿上滑動。桿繞固定點擺動，建立其自由振動方程。uLL勢能U Mg mgucos ( 以 O 點為勢能零點)21 1動能T ( ML2 31 mu u )222222選廣義坐標為u, ，且Q 0，Q 0u代入拉格朗日方程得到： cos 0 21L 0( ) 2 mgusin 22 32以上是

5、對離散系統(tǒng)應(yīng)用拉格朗日方程建立振動方程，如果利用拉格朗日方程建立連續(xù)系統(tǒng)的方程，則它是一種同時將系統(tǒng)離散化、變量分離并達到系統(tǒng)降階的途徑。2 連續(xù)參數(shù)模型中應(yīng)用與假設(shè)模態(tài)法聯(lián)合使用對一維連續(xù)系統(tǒng)，假設(shè)位移為：Nu(t) (x)q t)（2）iii1則系統(tǒng)具有 N個自由度，N個廣義坐標為q (t) (i N)， ( )不一定是系 xii統(tǒng)的真實模態(tài)，可以是假設(shè)的一種變形模態(tài)。只要 (x)滿足以下條件：i（1） 是位移形函數(shù)，反映某種可能的位移形狀（2） 構(gòu)成一組線性無關(guān)向量（3） 連續(xù)導(dǎo)數(shù)階次滿足勢能中所要求的階次（4） 滿足位移邊界條件（不一定滿足力邊界條件）2.1桿的縱向振動軸向位移為 (

6、, )u u x t1l 2(2 14)T Au )dx20 x1l0LUu) dx2(215)2將u(x,t) (x)q (t)代得到：iii11 iT(2 18) q M qTm qq22jij11U k qq K19)T22ijij其中 A20)m lk lijij00分布軸力 p(x，t) 在廣義坐標上的虛功 （2）l0( , ( , )W p x t u x t dx p x t( , )( ( ( )lx q t dx p qiii0ii廣義力p t) p(x,t (x)（222）lii0代入拉格朗日方程得： ( )(2 23)m q k q p iNijjijjijj或M K q

7、 P（2）y（2008-3-26）2.2梁的橫向振動x橫向位移函數(shù)Lu(x,t) (x)q (t)（222）iii動能勢能121A u) m q（225）T Lq22ij0ij121LUu) 2k q qi（226）（227）2j0ijL k ，LmAijij00分布外力做的功：L0W ( , ( , )p x t u x t dx ( , )( ( ( )p x tx q t dxLii0（2）（229）i ( )L ( p(x,t) x dx q t Q q t ( ) ( )iiii0iiQ pL(x,t) (x)ii0代入拉格朗日方程：或矩陣方程： m q ( 2,N)k q Q i（

8、230）ijjijjijj K q QM （231）注意假設(shè)模態(tài)法與有限元素法的區(qū)別：這里的 (x)是對整個結(jié)構(gòu)的假i雜結(jié)構(gòu)，確定精度（品質(zhì)）較高的假設(shè)模態(tài)是比較困難的。3. 粘性阻尼系統(tǒng)中阻尼的處理假設(shè)結(jié)構(gòu)中具有分布粘性阻尼力p(x,t) (x(x,t)（232）廣義力p(x,t) (x) (x)q t (x)LL (x)Q iijji00（233）（2）（235）j Lt (x) (x) (x)dxC q t) q jijj0jj CL(x)ij0代入拉格朗日方程得到MCK上式中 Q 為其他的廣義非保守力 2.4 坐標約束與拉格朗日乘子通常對一個 N 維結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，采用拉格朗日方程建立振動方

9、程時，廣義坐標q ,q ,q 12N。記系統(tǒng)不獨立的坐標為q ,q ,q (M N)12M則被約束坐標數(shù)C=M-N（2）（2）對廣義坐標，有 C個約束方程：f (q ,q , q ) 0 (j 2, C)j12M如果令每一個坐標q 取變分，則：iffff q q q 0（2）（2）jjjqqqj12M12Mfq 0 (j C)jiqii上式說明這 M個 q 不獨立，而是由上述 C個方程聯(lián)系起來。i在哈密爾頓原理式中，將坐標數(shù)由 N擴展到 ，即得到：d TT UM ( )Q q 0（2）t2 qq qii1i1iii注意，由于此時的q 不獨立，不能直接由變分學(xué)基本原理，得出方括i號內(nèi)的項等于零的

10、結(jié)論。對上面的約束方程引入拉格朗日乘子（或稱為 數(shù)）(t) (j C)，得到：jff CMMCq q 0（2）jijiqqjijij1i1i1j1代入哈密爾頓原理方程式中，fdTT UMC ( )Q q dt 0 （2）t2jidt qq qqiji1i1jiii我們可以選擇 C個 C個q jiN=M-C個獨立的 q 對應(yīng)的方括號內(nèi)的項必為零。i從而得到帶約束的拉格朗日方程（）為：fd T( )T UCQ i M)jidt qq qq43)jij1iiij f (q ,q ,q ) 0 ( )Cj12M聯(lián)立上兩個方程，就可確定 M+C個未知數(shù)q , (i M; j C)ij【應(yīng)用實例】求兩端固

11、定桿的軸向自由振動微分方程。 xx【解】令，u(x,t) ( )q ( ) q（2）2L1L2x即假設(shè)模態(tài)為Lxx ( )x , ( ) ( )（245）（2）x 21L2L約束邊界條件：u(0,t) 0u(L,t) 0第一個條件由形函數(shù)滿足，第二個條件實際為：f(q ,q ) u(L,t) q q 0（2）1212這就是約束方程。根據(jù) 2.31 11 1EA3 41 1M ALK448)1L 34 5現(xiàn)在用修正的拉格朗日方程來建立方程:本例只有一個約束方程，故只需一個拉格朗日乘子 ，即在拉格朗日方ffq程中引入 ( )和 ( )項，且q12ff1（2）qq12代入修正的拉格朗日方程中，并聯(lián)立

12、約束方程得到：1 11 13 4 qq10EA ( )AL3 11（2）1 1qL q 0 4224 5q q 012可由此解出q ,q , 。122.5 受約束結(jié)構(gòu)的振動添加了質(zhì)量或彈簧而對結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為一種約束，而不是指通常的坐標約束。一般說來，給結(jié)構(gòu)添加一個彈簧，彈簧將對結(jié)構(gòu)的運動表現(xiàn)為一種彈性約束而使系統(tǒng)的固有頻率增加，相反，添加一個質(zhì)量，也表現(xiàn)為對系統(tǒng)的慣性約束，但使其固有頻率降低?？匆粋€例子： f(x,t)和分布力矩 (x,t)作用，現(xiàn)求其強迫振動。假定其主模態(tài) (x)、固有頻率 已知，則其任一點處的撓度可以表示ii為：y(x,t) (x)q (t)（2）52)iii代入拉格朗日方程可

13、得到廣義坐標滿足的方程：1( , ( )f x t( , ( ) x x tx ( ) ( )q t q t LL2Miiiii00iM 為對應(yīng)主模態(tài) (x)的廣義質(zhì)量。ii如果在x a處還作用了集中力F(a,t)和集中力矩 (a,t)，則相應(yīng)的廣義力虛功由下式確定：a t y a t( , ( , ) ( , ( , )W F a t y a t （253）（254）55) F(a,t) ( ( ) ( , ) ( ( )a q t a t a q tiiiiii則廣義力為：a tQ F(a,t (a)( , ( )aiii所以，運動方程為：1 ( ) ( )q t q t F a t a

14、t aa ( , ( ) ( , ( 2Miiiiii方程 就是本節(jié)分析受約束結(jié)構(gòu)振動的基本方程。當結(jié)構(gòu)上x a處添加一個剛度系數(shù)為k 的彈簧時F(a,t) ky(a,t) k (a)q t)（256）jjj當結(jié)構(gòu)上x a處添加一個集中質(zhì)量m 時0（257）F(a,t) m y(a,t) m(a)q t)00jjj【注意】在討論受約束結(jié)構(gòu)時，均假定未受約束結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)是已知的，相當于在結(jié)構(gòu)有修改時，求解修改后結(jié)構(gòu)的振動問題。Kka【例】如圖所示的一個簡支梁，受彈簧約束，求其運動方程對線彈簧 ，kF(a,t)ky(a,t)k (a)q t)（258）（259）jjj對扭簧 ，KF(a,t)Ky

15、(a,t)K( ) ( )a q tjjj代入上基本方程：1q t K a ( ) ( )q t q t ( ) ( ) ( ) ( ) ( （260）k aa q t2Miiiijjijjijj受彈性約束后結(jié)構(gòu)的主振動仍然是簡諧的，所以：q q ei t（2）ii代入上方程得到：1 ( ) ( )a K a( q aq i (a)qM ( )2 2ijjijjjjiii N)（2）由上式中 N個q 的系數(shù)行列式為零，就得到受約束結(jié)構(gòu)的頻率方程。im0a【例】如圖所示，在簡支梁的 x a處添加一個質(zhì)量m ，求運動方程。0a t m(a,t) m ( , )q ( )a（2）F00jjj與上例推導(dǎo)相同，可得到：1 ( ) ( )q t q t ( ) ( ) ( )（2）maa q t2M0iiiijjij從而：1 m (a) q (a（265）q i2 M ( )0ijj22jii當僅取未受約束簡支梁的第一階振型時，上方程簡化為： （2）（2）M ( ) m(a)222211011( ) 2m1(a)021M11由此式可以看到，如果添加的質(zhì)量放置在該階振型的節(jié)點處，由于0，故此時 。同樣，如果添加的彈簧放置在該處，同樣不會對 (a)11因此，要通過附加質(zhì)量或附件彈簧（剛度）的方式來對結(jié)構(gòu)進行修改，要避