教學(xué)目標(biāo)掌握空間元素的垂直關(guān)系的判定方法與性質(zhì)

1、PAGE 第22頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.空間元素的位置關(guān)系(2)垂直【教學(xué)目標(biāo)】掌握空間元素的垂直關(guān)系的判定方法與性質(zhì)定理，并能運用這些知識解決與垂直有關(guān)的問題?！窘虒W(xué)重點】空間線線、線面、面面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是重點?！窘虒W(xué)難點點】線面面垂直關(guān)關(guān)系、線線線垂直直關(guān)系的的判定?！窘虒W(xué)過程程】一.課前預(yù)預(yù)習(xí)1（055天津）設(shè)為平面，為直線，則的一個充分條件是 ( )。(A) (B) (C) (D) 2（055浙江）設(shè)設(shè)、 為兩兩個不同同的平面面，l、m為兩條條不同的的直線，且且l，

2、m，有如如下的兩兩個命題題：若，則lm；若lm，則那么（ ）。(A) 是真命命題，是假命命題 (B) 是假命命題，是真命命題(C) 都是是真命題題 (D) 都是是假命題題3（055重慶）對對于不重重合的兩兩個平面面與，給定定下列條條件：存在平面面，使得得、都垂直直于； 存在平平面，使使得、都平行行于；內(nèi)有不共共線的三三點到的的距離相相等；存在異面面直線ll、m，使得得l/，l/，m/，m/，其中，可以以判定與與平行的的條件有有（ ）。A1個個, B2個, C3個, D4個4如圖，三三棱錐SS-ABBC的底底面是等等腰直角角三角形形ABCC，ACBB=900，S在在以ABB為直徑徑的半圓圓上移動

3、動，當(dāng)半半平面與與底面垂垂直時，對對于棱SSC而言言下列結(jié)結(jié)論正確確的是（ ）A有最大值值，無最最小值； B有最最小值，無無最大值值； C無最大值值，也無無最小值值； DD是一個個定值5正四棱棱錐的側(cè)側(cè)棱與底底面所成成角的余余弦值為為自變量量x,則則相鄰兩兩側(cè)面所所成二面面角的余余弦值ff(x)與x之之間的函函數(shù)解析析式是（ ）A. BB C. D. 6設(shè)x,y,zz是空間間的不同同直線或或不同平平面，且且直線不不在平面面內(nèi)，那那么下列列條件中中，能保保證“xz,且且yz,則xy”為真命命題的是是_（填填上所有有正確的的代號）。(1)x為為直線，yy,z為為平面；(2)x,yy,z均均為平面面

4、；(33)x,y為直直線，zz為平面面；(4)x,y為平平面，zz為直線線；(55)x,y,zz均為直直線。二.梳理知知識 直線與與平面的的垂直是是聯(lián)系直直線與直直線垂直直，平面面與平面面垂直的的紐帶，更更是求有有關(guān)角，距距離的重重要方法法。重要判定定定理一條直線與與平面內(nèi)內(nèi)兩條相相交直線線都垂直直，則這這條直線線與這個個平面垂垂直(線線面垂直直判定定定理)平面內(nèi)的一一條直線線與另一一個平面面垂直，則則這個平平面互相相垂直(面面垂垂直判定定定理)三垂線定理理及其逆逆定理三典型例例題選講講例1（005江西西）如圖圖，在長長方體AABCDDA1B1C1D1，中，AAD=AAA1=1，AAB=22，

5、點EE在棱AAB上移移動。 （11）證明明：D11EA1D；（2）當(dāng)EE為ABB的中點點時，求求點E到到面ACCD1的距離離；（3）AEE等于何何值時，二二面角DD1ECD的大大小為。例2（005浙江江）如圖圖，在三三棱錐PPABCC中，ABBBC，ABBCkPA，點點O、D分別是是AC、PC的中中點，OOP底面ABBC ()當(dāng)k時，求求直線PPA與平平面PBBC所成成角的大大??； () 當(dāng)k取何值值時，OO在平面面PBCC內(nèi)的射射影恰好好為PBCC的重心心？例3.如圖圖，四棱棱錐PABCCD的底底面是矩矩形，側(cè)側(cè)面PAAD是正正三角形形，且側(cè)側(cè)面PAAD底面ABBCD，E 為側(cè)側(cè)棱PDD的中

6、點點。（1）求證證：PBB/平平面EAAC； （2）求求證：AAE平面PCCD；（3）若AAD=AB，試試求二面面角APCD的正切切值；（4）當(dāng)為為何值時時，PBBAC ？PEPEDCBA例（055湖北）如如圖，在在四棱錐錐PABCC右，底底面ABBCD為為矩形，側(cè)棱棱PA底面AABCDD，ABB=，BBC=11，PAA=2，EE為PDD的中點點（）求直直線ACC與PBB所成角角的余弦弦值；（）在側(cè)側(cè)面PAAB內(nèi)找找一點NN，使NNE面PAAC，并并求出NN點到AB和APP的距離離。四、鞏固練練習(xí)D11 C1A1 B11.如圖正正方體AABCDDA1B1C1D1,在它的的12條棱棱及122條面

7、對對角線所所在直線線中，選選取若干干條直線線確定D11 C1A1 B1D CA B過B1C且且與BDD平行的的平面有有且只有有一個；D CA B過B1C且且與BDD垂直的的平面有有且只有有一個；BD與過BB1C的平面面所成的的角等于于30.上述命題中中是真命命題的個個數(shù)為( )0個 (BB)1個個 (C)22個 (D)33個2.如圖，在在正三棱棱錐PABCC中，M、N分別是是側(cè)棱PPB、PC 的中中點，若若截面AAMN側(cè)面PBBC，則則此三棱棱錐的側(cè)側(cè)棱與底底 面所所成角的的正切值值是 （ ）A B CD3.如圖PP是四邊邊形ABBCD所所在平面面外一點點，O是是AC與與BD的的交點，且且PO

8、平面AABCDD。當(dāng)四四邊形AABCDD具有條條件_時時，點PP到四邊邊形四條條邊的距距離相等等。（注注：填上上你認(rèn)為為正確的的一種條條件即可可。不必必考慮所所有可能能的情況況。）4.已知mm、l是異面面直線，那那么：必存在在平面過m且與l平行；必存在在平面過m且與l垂直；必存在在平面與m、l都垂直直；必存在在平面與m、l距離都都相等，其其中正確確的結(jié)論論為（ ）A. B. C. D.5.如圖在在水平橫橫梁上AA、B兩點處處各掛長長為500 cmm的細(xì)繩繩AM、BN，在在MN處栓栓長為660 ccm的木木條，MMN平行行于橫梁梁，木條條繞過MMN中點點O的鉛垂垂線旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)60，則木木條比原原來升

9、高高了（ ）A.10 cm B.5 ccmC.10 cm D.55cm 圖26（055湖南）如如圖1，已知知ABCCD是上上下底底邊長分分別為22和6，高為為的等腰腰梯形，將將它沿對對稱軸O 圖2成直二面角角，如圖圖2.（）證證明：AACBO1； （）求二二面角OOACO1的大小.7（055福建）如如圖，直直二面角角DABE中，四四邊形AABCDD是邊長長為2的正方方形，AAE=EEB，F(xiàn)為CE上的的點，且且BF平面ACCE.（）求證證AE平面BCCE；（）求二二面角BBACE的大小??；（）求點點D到平面面ACEE的距離離.8（055遼寧）已已知三棱棱錐PABCC中，E、F分別是是AC、AB的

10、中中點,ABCC，PEFF都是正正三角形形，PFFAB.（）證明明PC平面PAAB；（）求二二面角PPABC的平面面角的余余弦值；（）若點點P、A、B、C在一個個表面積積為122的球面上，求求ABCC的邊長長。9（055全國II）已知知四棱錐錐P-AABCDD的底面面為直角角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。（）證明明：面PPAD面PCDD；（）求AAC與PB所成成的角；（）求面面AMCC與面BMMC所成成二面角角的大小小。10. 如圖，MM、N、PP分別是是正方體體AC11的棱AAB、BBC、DDD1上的點點，(1)若，求求證：無無證點PP在D11D

11、上如如何移動動總有BBPMN；(2)棱DDD1上是否否存在這這樣的點點P，使使得平面面APCC1平面AACC，證證明你的的結(jié)論。參考答案課前預(yù)習(xí): 1DD 2 D 33 B 4D 5 CC 6三典型例例題選講講例1、解法法（一）（1）證明明：AE平面AAA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）設(shè)點點E到面ACCD1的距離離為h，在ACDD1中，ACC=CDD1=，AD1=，故（3）過DD作DHCE于H，連D1H、DE，則則D1HCE，DHDD1為二面面角D1ECD的平面面角. 設(shè)AE=x，則BEE=2x解法（二）：以D為坐標(biāo)標(biāo)原點，直直線DAA，DC，DD1分別為為x,yy,z軸軸，建立立

12、空間直直角坐標(biāo)標(biāo)系，設(shè)設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因為為E為AB的中點點，則EE（1，1，0），從而， ，設(shè)平面ACCD1的法向向量為，則則也即，得，從從而，所所以點EE到平面面AD1C的距離離為（3）設(shè)平平面D1EC的法法向量，由 令bb=1, c=22,a=2x，依題意 （不合合，舍去去）， . AE=時，二二面角DD1ECD的大小小為。例2解：方法一一：() O、DD分別為為AC、PPC中點點， ()， 又， PA與與平面PPBC所所成的角角的大小小等于， （）由()知，F(xiàn)是OO在平面面PBCC內(nèi)的射

13、射影D是PCC的中點點，若點點F是的的重心，則則B，F(xiàn)F，D三三點共線線，直線OBB在平面面PBCC內(nèi)的射射影為直直線BDD，即反之，當(dāng)當(dāng)時，三三棱錐為為正三棱棱錐，O在平平面PBBC內(nèi)的的射影為為的重心心方法二： ，以O(shè)為原點點，射線線OP為為非負(fù)zz軸，建建立空間間直角坐坐標(biāo)系（如如圖）設(shè)則，設(shè)，則()D為為PC的的中點，又， ()，即即，可求得平面面PBCC的法向向量，設(shè)PA與平平面PBBC所成成的角為為，則，（）的重重心，又，即，反之之，當(dāng)時時，三棱棱錐為正正三棱錐錐，O在平面面PBCC內(nèi)的射射影為的的重心。例3.（11）證明明：連DDB，設(shè)設(shè)，則在在矩形AABCDD中，O為BD中點點

14、。連EO。因因為E為DP中點點，所以以，。又因為平面面EACC，平面EAAC，所所以，PPB/平面EEAC。（2）正三角形PPAD中中，E為PD的中中點，所所以，又，所以，AE平面PCD。（3）在PPC上取取點M使得。由于正三角角形PAAD及矩矩形ABBCD，且且AD=AB，所所以所以，在等等腰直角角三角形形DPCC中，連接，因為為AE平面PCCD，所所以，。所以，為二二面角AAPCD的平面面角。在中，。即二面角AAPCD的正切切值為。（4）設(shè)NN為AD中點點，連接接PN，則則。又面PADD底面ABBCD，所所以，PPN底面ABBCD。所以，NBB為PB在面面ABCCD上的的射影。要要使PBB

15、AC，需需且只需需NBAC在矩形ABBCD中中，設(shè)AAD11，ABBx則，解之得：。所所以，當(dāng)當(dāng)時，PBBAC。證法二：（按按解法一一相應(yīng)步步驟給分分）設(shè)N為ADD中點，QQ為BC中點點，則因因為PAAD是正正三角形形，底面面ABCCD是矩矩形，所所以，又因因為側(cè)面面PADD底面ABBCD，所所以，以N為坐標(biāo)標(biāo)原點，NA、NQ、NP所在直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)，則，。（2），所以，。又，所以以，AEE平面PCCD。（3）當(dāng)時時，由（22）可知知：是平平面PDDC的法法向量；設(shè)平面PAAC的法法向量為為，則，即，取，可得得：。所所以，。向量與所成成角的余余弦值為為：。所所以，。又由

16、圖可知知，二面面角APCD的平面面角為銳銳角，所所以，二二面角AAPCD的平面面角就是是向量與與所成角角的補(bǔ)角角。其正正切值等等于。（4），令令，得，所所以，。所以，當(dāng)時時，PBBAC。備用題解法一：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0，0，0）， B（，0，0）， C（，1，0）， D（0，1，0）， P（0，0，2）， E（0，2），從而=（，1，0），=（，0，-2），設(shè)與的夾角為，則 ，AC與PB所成角的余弦值為（）由于于N點在在側(cè)面PPAB內(nèi)內(nèi)，故可可設(shè)N點點坐標(biāo)為為（x，00，z），則， 由NNE面PAAC可得得：即化簡得即N點的坐坐標(biāo)為（

17、，0，1），從而N點到AB、AP的距離分別為1，解法二：（）設(shè)ACBD=O，連OE，則OE/PB，EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角在AOEE中，AAO=11，OEE=PBB=，AAE=PPD=，即AC與PPB所成成角的余余弦值為為，（）在面面ABCCD內(nèi)過過D作AAC的垂垂線交AAB于FF，則連PF，則則在RttADFF中DFF=設(shè)N為PFF的中點點，連NNE，則則NE/DFF，DFAC，DDFPA，DF面PAAC從而而NE面PAACN點到AAB的距距離=AAP=11，N點點到APP的距離離=AFF=。四、鞏固練練習(xí)1B 2CC 3ABCCD 是正方方形；ABCCD是圓圓的外切切四邊形形；

18、ABCCD是菱菱形；AB=BC=CD=DA等等。4DD 5AA6（055湖南）ABOCO1D圖4F E解法一（I）證明 ABOCO1D圖4F EF E 所所以AOBB是所折折成的直直二面角角的平F E即OAOB. 從而而AO平面OBBCO11，OC是AAC在面面OBCCO1內(nèi)的射射影.因為 ，所以O(shè)OO1B=660，O1OC=30，從而而OCBO1ABOCO1D圖4由三垂線ABOCO1D圖4（II）解解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BOO1平面AOOC.設(shè)OCO1B=EE，過點點E作EFAC于F，連結(jié)結(jié)O1F（如圖圖4），則則EF是O1F在平面面AOCC內(nèi)的射影影，由三三垂線定定理得OO

19、1FAC.所以O(shè)1FE是二二面角OOACO1的平面面角. 由題設(shè)知知OA=3，OO1=，O1C=11，所以，從而，又O1E=OOO1sinn30=，所以 即二面面角OACO1的大小小是解法二（II）證明明 由題設(shè)設(shè)知OAAOO1，OBOO1.所以AOBB是所折折成的直直二面角角的平面面角，即OAOOB. 故可以以O(shè)為原點點，OAA、OB、OO1ABOCO1DF E所在直線分分別為軸軸、y軸、ABOCO1DF E如圖，則相相關(guān)各點點的坐標(biāo)標(biāo)是A（3，0，0），B（0，33，0），C（0，1，）O1（0，0，）.從而所以以ACBO1. （II）解解：因為為所以BOO1OC，由（I）AACBO1，所

20、以以BO1平面OAAC，是平面面OACC的一個個法向量量.設(shè)是0平面面O1AC的一一個法向向量，由 得. 設(shè)二面角OOACO1的大小小為，由由、的方向向可知，所以coss，=即二二面角OOACO1的大小小是。7（055福建）證明：（I）（II）連連結(jié)ACC、BDD交于GG，連結(jié)結(jié)FG，ABCCD為正正方形，BDAC，BF平面ACE，F(xiàn)GAC，F(xiàn)GB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=， 在直角三角形BCE中，CE=在正正方形中中，BGG=，在在直角三三角形BBFG中中，二面角BB-ACC-E為為。（III）由由（III）可知

21、知，在正正方形AABCDD中，BBG=DDG，DD到平面面ACBB的距離離等于BB到平面面ACEE的距離離，BFF平面AACE，線線段BFF的長度度就是點點B到平平面ACCE的距距離，即即為D到到平面AACE的的距離所所以D到到平面的的距離為為另法：過點點E作交AB于點點O. OE=1.二面角角DABE為直二二面角，EO平面ABCD.設(shè)D到平面ACE的距離為h， 平面BCEE， 點D到平平面ACCE的距距離為解法二：（）同解解法一.（）以線線段ABB的中點點為原點點O，OE所在在直線為為x軸，ABB所在直直線為yy軸，過過O點平行行于ADD的直線線為z軸，建建立空間間直角坐坐標(biāo)系OOxyzz，

22、如圖圖.面BCE，BE面BCEE， ，在的中點， 設(shè)平面AAEC的的一個法法向量為為，則 解解得令得是平面面AECC的一個個法向量量.又平面面BACC的一個個法向量量為， 二面角角BACE的大小小為（III）AD/z軸軸，ADD=2，點D到平面面ACEE的距離離8（055遼寧）（）證明： 連結(jié)CF. （）解法法一：為所求二面面角的平平面角. 設(shè)AB=a，則ABB=a，則 解法二：設(shè)設(shè)P在平面面ABCC內(nèi)的射射影為OO. 得PA=PPB=PPC. 于是O是ABCC的中心心. 為所所求二面面角的平平面角.設(shè)AB=aa，則 （）解法法一：設(shè)設(shè)PA=x，球半半徑為RR. ，的邊長為為。解法二：延延長P

23、OO交球面面于D，那么么PD是球球的直徑徑.連結(jié)OA、AD，可可知PADD為直角角三角形形. 設(shè)AB=x，球半半徑為RR.。9（055全國II） 方法法一：（II）證明明：PA面ABBCD，CCDAD，由三垂垂線定理理得：CCDPD.因而，CCD與面面PADD內(nèi)兩條條相交直直線ADD，PDD都垂直直，CD面PAAD.又CD面PPCD，面PADPCD.（II）解解：過點點B作BBECA，且且BE=CA，則則PBEE是ACC與PBB所成的的角.連結(jié)AE，可可知ACC=CBB=BEE=AEE=，又又AB=2，所所以四邊邊形ACCBE為為正方形形.由PA面面ABCCD得PEBB=900，在RRtPEBB中BEE=，PPB=，cosPPBE=AC與與PB所所成的角角為arrccoos.(III)解：作作ANCM，垂垂足為NN，連結(jié)結(jié)BN.在RttPABB中，AAM=MMB，又又AC=CB，AMCBMC，BNCCM，故故ANBB為所求求二面角角的平面面角。CBAAC，由由三垂線