2023考研數(shù)二真題及解析

1、2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).(1)設(shè)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()01 23yC(0, f(a) AyC(0, f(a) A(a, f(a) y=f(x)O B(a,0) xD函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么定積分等于()曲邊梯形面積. 梯形面積.曲邊三角形面積.三角形面積. (3)在以下微分方程中，以(為任意常數(shù))為通解的是().(4)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的情況( )有1個(gè)可去間斷點(diǎn)，1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)有1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，1個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)有兩個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)有兩個(gè)跳躍間斷點(diǎn)(5)設(shè)函數(shù)

2、在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，以下命題正確的是()假設(shè)收斂，那么收斂. 假設(shè)單調(diào)，那么收斂.假設(shè)收斂，那么收斂.假設(shè)單調(diào)，那么收斂.O xvx2+y2=u2x2O xvx2+y2=u2x2+y2=1Duvy(7)設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣. 假設(shè)，那么()不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. (8)設(shè)，那么在實(shí)數(shù)域上與合同的矩陣為(). . 二、填空題：9-14小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9)連續(xù)，那么(10) 微分方程的通解是(11)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(12)求函數(shù)的拐點(diǎn)_.(13)，那么.(14)矩陣的特征值是，其中未知，且，那么=_.三

3、、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(此題總分值9分)求極限.(16) (此題總分值10分)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解. 求.(17)(此題總分值9分)計(jì)算(18)(此題總分值11分)計(jì)算其中(19)(此題總分值11分)設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且. 對(duì)于任意的，直線，曲線以及軸所圍成曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體. 假設(shè)該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式.(20)(此題總分值11分)(I) 證明積分中值定理：假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么至少存在一點(diǎn)，使得；(II)

4、假設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，那么至少存在一點(diǎn)，.(21)(此題總分值11分)求函數(shù)在約束條件和下的最大和最小值.(22)(此題總分值12分)設(shè)元線性方程組，其中，(I) 證明行列式(II) 當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求(III) 當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有無(wú)窮多解，并求通解(23(此題總分值10分)設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足，(I)證明線性無(wú)關(guān)；(II)令，求2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題(1)【答案】【詳解】因?yàn)椋闪_爾定理知至少有，使，所以至少有兩個(gè)零點(diǎn). 由于是三次多項(xiàng)式，三次方程的實(shí)根不是三個(gè)就是一個(gè)，故D正確.(2)【答案】

5、【詳解】其中是矩形ABOC面積，為曲邊梯形ABOD的面積，所以為曲邊三角形的面積(3)【答案】【詳解】由微分方程的通解中含有、知齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的特征方程有根，所以特征方程為，即. 故以函數(shù)為通解的微分方程是(4)【答案】【詳解】時(shí)無(wú)定義，故是函數(shù)的間斷點(diǎn)因?yàn)?同理 又 所以 是可去間斷點(diǎn)，是跳躍間斷點(diǎn).(5)【答案】【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)有界，且單調(diào). 所以單調(diào)且有界. 故一定存在極限.(6)【答案】【詳解】用極坐標(biāo)得所以 (7)【答案】【詳解】，故均可逆(8)【答案】【詳解】記，那么，又所以和有相同的特征多項(xiàng)式，所以和有相同的特征值.又和為同階實(shí)對(duì)稱矩陣，所以和相似由于實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同

6、，故正確.二、填空題(9)【答案】2【詳解】所以 (10)【答案】【詳解】微分方程可變形為所以 (11)【答案】【詳解】設(shè)，那么，將代入得，所以切線方程為，即(12)【答案】【詳解】時(shí)，；時(shí)，不存在在左右近旁異號(hào)，在左右近旁，且故曲線的拐點(diǎn)為(13)【答案】【詳解】設(shè)，那么所以 所以 (14)【答案】-1【詳解】三、解答題(15)【詳解】方法一：方法二：(16)【詳解】方法一：由得，積分并由條件得，即 所以 方法二：由得，積分并由條件得，即 所以 所以 (17)【詳解】方法一：由于，故是反常積分. 令，有，方法二： 令，有，故，原式O 0.5 2 xD1D3O 0.5 2 xD1D3 D2個(gè)區(qū)

7、域和，為了便于計(jì)算繼續(xù)對(duì)區(qū)域分割，最后為O 0.5 2 xO 0.5 2 xD1D3 D2(19)【詳解】旋轉(zhuǎn)體的體積，側(cè)面積，由題設(shè)條件知 上式兩端對(duì)求導(dǎo)得 ， 即 由別離變量法解得 ， 即 將代入知，故，于是所求函數(shù)為 (20)【詳解】(I) 設(shè)與是連續(xù)函數(shù)在上的最大值與最小值，即由定積分性質(zhì)，有 ，即 由連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得 即 (II) 由(I)的結(jié)論可知至少存在一點(diǎn)，使 又由 ，知 對(duì)在上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，并注意到，得在上對(duì)導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有(21)【詳解】方法一：作拉格朗日函數(shù) 令 解方程組得 故所求的最大值為72，最小值為6.方法二：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化

8、為求在條件下的最值 設(shè) 令 解得，代入，得 故所求的最大值為72，最小值為6.(22)【詳解】(I)證法一：證法二：記，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論對(duì)小于的情況成立將按第1行展開得故證法三：記，將其按第一列展開得，所以即(II)因?yàn)榉匠探M有唯一解，所以由知，又，故由克萊姆法那么，將的第1列換成，得行列式為所以(III)方程組有無(wú)窮多解，由，有，那么方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為，所以方程組有無(wú)窮多解，其通解為為任意常數(shù) (23)【詳解】(I)證法一：假設(shè)線性相關(guān)因?yàn)榉謩e屬于不同特征值的特征向量，故線性無(wú)關(guān)，那么可由線性表出，不妨設(shè)，其中不全為零(假設(shè)同時(shí)為0，那么為0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又