立體幾何入門課

1、立體幾何入門課(一)立體幾何入門課(一)立體幾何入門課(一)立體幾何入門課第一講嘉賓單位職稱王尚志國都師范大學教授張思明北大附中特級教師孫逵山師大附中骨干教師王君唐山一中特級教師張思明老師：各位老師大家好，歡迎各位老師連續(xù)參加我們高中數(shù)學新課程遠程培訓，我們這一講是第二模塊的詳盡教課方案設計的一個課，選擇的內(nèi)容是立體幾何的入門課，為了做好這節(jié)課我們介紹一下參加我們談論的幾位嘉賓：國都師范大學博士生導師王尚志教授，河北省唐山一中出名特級教授王君老師，山東示范大學隸屬中學孫逵老師，歡迎各位參加我們的談論。先請王老師解析一下為什么在第二模塊里面要選立體幾何入門課作為我們的課例。王尚志老師：在第二模塊

2、里面我們選了三個課例，一個是立體幾何的入門課，一個是關于垂直與平行的判斷，別的一個是解讀幾何的復習課。新課程的課程標準對峙領悟集初步定位做了調整，希望在經(jīng)過學習立體幾何的初步培養(yǎng)學生空間想象能力和幾何直觀能力。為了實現(xiàn)這樣的目標，我們關于邏輯推理能力做了必然程度的壓縮放入選修課程空間向量與立體幾何。我們希望經(jīng)過向量幾何的方法來幫助學生完滿他們的邏輯推理能力。因此，如何幫助學生形成他們的空間想象力是一個特別重要的事情。我們希望經(jīng)過入門課幫助學生成立學生的空間想象能力。另一個考慮就是立體幾何入門課以及其他部分的入門的課程設計。我們可否能夠在入門課上用學生所熟悉的東西幫助學生整體的認識一下這部分內(nèi)容

3、，包括我們學習的思想方法，若是我們能完成這樣的目標，使學生在學習這部分內(nèi)容向來有一個整體的認識，這樣對學生提升學習的效率，對學習數(shù)學的理解都是特別重要的。因此我們選擇立體幾何的入門課作為一個商議和試一試，希望能夠給大家一些參照和借鑒。張思明老師：王老師把選擇這節(jié)課的想法做了一個介紹，下面我們一起來看一下孫逵老師立體幾何入門課的教課方案設計的一個授課。孫逵老師：大家好，我來自山東師范大學隸屬中學的孫逵，今天我給大家授課的課題是組成空間幾何體的基本元素?！敖M成空間幾何體的基本元素”這一節(jié)是人教B版必修數(shù)學二“第一章立體幾何初步”中的第一節(jié)內(nèi)容。自己依照新課程標準對這部分內(nèi)容的要求，依照學生的認識規(guī)

4、律，設定以學生為主體的原則設計本節(jié)課的教課方案。自己將從教材、教法、學法和教課方案設計等方面，來闡述對本節(jié)課的理解與認識。一、說教材本節(jié)內(nèi)容的數(shù)學解析：本節(jié)是立體幾何初步的初步課，為學習立體幾何的知識作鋪墊。在立體幾何初步的教課方案中，如何培養(yǎng)學生的空間想象能力和幾何直觀能力不但是立體幾何初步教課方案中的核心問題，也是貫穿于整個高中數(shù)學教課方案的主線之一。第一節(jié)內(nèi)容是對事物的感性認知作為理論研究的基礎，內(nèi)容安排更加吻合學生的認知規(guī)律，將使學生經(jīng)歷更加科學的獲取悉識的過程，更扎實的掌握立體幾何的初步知識；教材充分注意到對學生思想能力的培養(yǎng)，要修業(yè)生對空間圖形的認識不但停留在直觀感知和觀察上，而且

5、還要進行空間想象、抽象概括，使學生對空間圖形的認識在初中幾何的基礎上能合適的上升到理性的層面.教材在練習中讓學生列舉出點動成線，線動成面，面動成體的實例，以及既不訂交也不平行的直線的例子，無一不是在重申培養(yǎng)學生的空間想象能力和親密聯(lián)系實質的設計思路；在練習B中更是提出了制作模型的詳盡任務，注意了學生對教課方案過程的充分參加，在利用教材的教課方案過程中可借助此練習安排學生分小組共同制作模型，促使學生學習積極主動，培養(yǎng)學生在學習過程中側重合作研究的學習方式。教材是課標的一個范本，留給教師發(fā)揮的空間很大，依照不相同的學生能夠設計不相同的課型，在教課方案過程中教師可表現(xiàn)出是用教材而不是教教材。本節(jié)課的

6、重點解析本節(jié)課的重點是以長方體為載體直觀認識和理解空間點、線、面之間的地址關系。在立體幾何初步的教課方案中，要重視模型的作用，引導學生經(jīng)過對實質模型的認識、觀察，概括空間線面、面面地址關系。長方體是立體幾何中的一個重要模型，在教課方案中要特別重視長方體這一模型的應用，經(jīng)過長方體讓學生在直觀感知的基礎上認識空間中一般點、線、面之間的地址關系。在本節(jié)課中，要突出長方體的重要作用，側重引導學生將生活中點、線、面的關系都集中到長方體模型中研究，實現(xiàn)立體幾何學習中由詳盡到抽象、由直觀感知到抽象概括的目標。本節(jié)課的教課方案目標結合上面對本節(jié)內(nèi)容的數(shù)學解析和重點解析，自己確定本節(jié)課的教課方案目標為知識與技術

7、目標：1、利用實物模型計算機軟件觀察大量空間圖形，認識簡單幾何體的結構特色。2、借滋生方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的地址關系的基礎上抽象出現(xiàn)線、面地址關系的定義。過程與方法目標：學生從對空間幾何體的整體觀察下手，依照從整體到局部，從具體到抽象的原則，認識空間圖形，即采用先直觀感知，后推理論證的學習方法。感情、態(tài)度與價值觀目標：經(jīng)過成立友善的課堂教課方案氛圍，相同的師生關系，激發(fā)學生的學習興趣，調動學習積極性，注意培養(yǎng)學生著手操作能力，善于合作與交流的優(yōu)異感情和積極研究的學習態(tài)度.二、說教法與學法為了實現(xiàn)本節(jié)課的教課方案目標，突出重點，本節(jié)課將依照以學生為主體的原則促使學生的自主學習

8、；并將經(jīng)過教師合時引導使學生的認識由整體到局部、詳盡到抽象，由直觀感知到考慮要進行推理論證。詳盡而言，本節(jié)課的教課方案關注以下原則：1.以學生的基本生活經(jīng)驗為教課方案的起點：第一課前讓學生拍攝收集大量的圖片，豐富的圖形世界讓學生感覺到立體幾何的學習內(nèi)容是現(xiàn)實的、有意義的.以學生的認識為教課方案的起點吻合“近來發(fā)展區(qū)”原理.突出“長方體”模型的作用：引導學生經(jīng)過對長方體模型的制作、觀察，在直觀感知的基礎上認識空間中一般點、線、面之間的關系.經(jīng)過長方體模型去認識空間圖形的平行、垂直關系.這樣學生經(jīng)過直觀感知和操作確認簡單成立空間感，利用實物培養(yǎng)學生的空間想象能力和幾何直觀能力是很有幫助的.教課方案

9、內(nèi)容依照從整體到局部，從詳盡到抽象的原則：整個教課方案過程依照從整體到局部的方式張開，先經(jīng)過圖片和模型，再以長方體為載體直觀認識和理解空間中點、線、面的地址關系，這樣安排更加吻合學生的認知規(guī)律，以直觀感知和操作確以為重點，重申成立和提升學生的空間想象能力和幾何直觀能力.突出學生的主體地位：學生是學習的主體，因此本節(jié)課的各個教課方案環(huán)節(jié)都考慮如何發(fā)揮學生的學習主動性，惹起學生的主動思慮。本節(jié)課的教課方案就是經(jīng)過學生的自主參加、著手操作、合作研究等形式張開的.三、說教課方案過程整個教課方案過程分為以下六個環(huán)節(jié)：新課引入制作模型空間幾何體的組成與形成復習小結應用與拓展空間點、線、面的地址關系第一個環(huán)

10、節(jié)：新課引入學生活動：依照課前要求，學生分小組課下收集、拍攝以簡單幾何體為模型的圖片.上課初始，小組代表顯現(xiàn)成就并對其拍攝的圖片作簡單描述.教師行為：借助計算機、多媒體、實物模型向學生顯現(xiàn)更多的實例，并引導進入課題.設計妄圖：促使學生積極主動的參加到教課方案活動中來，激發(fā)學生學習立體幾何的興趣；拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離，讓學生感覺到數(shù)學從生活中來，到生活中去，并為導入本節(jié)課的有關看法做好鋪墊.補充說明：在學生介紹圖片中的組成要素和地址關系時，教師利用準備好的長方體模型教具顯現(xiàn)各樣要素和地址關系，意在指出圖片中的各樣組成要素和地址關系在長方體模型中都能找到，讓學買賣識到該模型是一種特別重要的模型，并

11、依照最后圖片水立方安排學生分小組制作長方體模型.第二個環(huán)節(jié)：長方體的制作學生活動：利用課前準備好的工具，小組合作制作長方體的模型.顯現(xiàn)并觀察自己的作品，學生談對長方體模型的已有認識，從直觀上認知長方體的面、長方體的棱、長方體的極點.教師行為：介紹數(shù)學看法本源于生活，但也有別于生活，以點、線、面為例進行說明.在立體幾何中，平面是無量延展的，平時畫一個平行四邊形表示一個平面，一般用希臘字母等來命名，如：平面，還可以夠用平行四邊形對角極點的字母來表示，如：平面AC，板書示范平面的畫法及其表示方法.設計妄圖：經(jīng)過小組合作制作模型，一是培養(yǎng)學生著手操作的能力，這一點是當前學生寬泛欠缺的，也是廣大中學教師

12、所忽略的，解決這一問題應理念上轉變，思想上重視；二是培養(yǎng)學生從平面到立體的思想意識的轉變；三是培養(yǎng)學生漸漸掌握合作研究的學習模式.板書示范平面畫法的目的是從立體幾何的初始課就開始要修業(yè)生養(yǎng)成畫圖的習慣，經(jīng)過觀察圖形、繪制圖形漸漸培養(yǎng)學生的立體幾何直觀能力.第三個環(huán)節(jié)：空間幾何體的組成與形成教師行為：從靜態(tài)觀察完長方體模型后為了更進一步認識結構特色及地址關系，教師利用幾何畫板從動向角度演示點動成線、線動成面、面動成體的過程.學生活動：領悟演示過程，并列舉現(xiàn)實生活中常有例子，如：流星劃過夜空；粉筆筆尖在黑板上滑動成線；電動黑板設計原理：擦刷線動成面；折疊式紙燈籠面動成體，旅店里的旋轉門等.設計妄圖

13、：利用動向演示，讓學生領悟空間幾何體的組成和生成，先在學生的腦海里形成空間的感覺，爾后再形成空間想象力；而且隨時利用所學數(shù)學知識解析和解決現(xiàn)實生活中的有關問題，傳達給學生所學的內(nèi)容是現(xiàn)實的、有意義的信息，表現(xiàn)出數(shù)學源于生活,應用于生活.第四個環(huán)節(jié)：空間點、線、面的地址關系問題1：觀察手中的長方體模型，假設長方體的棱可延伸為直線，面可延展為平面，那么長方體的極點與直線和平面有哪些地址關系？長方體的棱所在的直線之間都有哪些地址關系？D1C1A1B1DCAB學生活動：積極思慮，回答以下問題.教師行為：引導學生發(fā)現(xiàn)既不訂交也不平行的這種地址關系的直線，如：直線AC與A1B1.給出異面直線的簡單看法，并

14、讓學生舉出現(xiàn)實生活中這種地址關系的實例，如：交叉走向的高壓線，縱橫交叉的高架橋，教室里的異面直線就更多了.讓學生充發(fā)散揮空間想象力.設計妄圖：因為課標對異面直線不作要求，教材編寫時可是提及，但理解空間點、線、面地址關系的重點，是理解異面直線的看法，因此，在此處讓學生列舉實例是為了進一步加強對異面直線的理解.問題2：長方體的棱所在的直線與長方體的面所在的平面之間及平面與平面之間又有哪些地址關系呢？學生活動：積極思慮，回答以下問題.教師行為：引導學生經(jīng)過對長方體模型的認識、觀察，概括空間線面關系.板書各樣地址關系的符號語言表達形式，如：直線AC平面ABCD。直線AA1平面ABCD。直線A1B1平面

15、ABCD。平面ABCD平面ABB1A1,。平面ABCD平面A1B1C1D1.設計妄圖：整部教材都特別重視長方體這一模型的應用，經(jīng)過長方體，讓學生在直觀感知的基礎上，認識空間中點、線、面之間的關系，經(jīng)過長方體去認識空間圖形的平行、垂直關系，要讓學生感知到長方體是本書中的重要模型，同時利用實物培養(yǎng)學生的空間想象和幾何直觀能力是很有幫助的.在黑板上板書各樣地址關系的表示形式是為了培養(yǎng)學生能夠正確的使用數(shù)學語言的能力，并漸漸學會使用自然語言、符號語言和圖形語言來表述數(shù)學問題.第五個環(huán)節(jié)：應用與拓展提出問題：再次觀察上課初始階段顯現(xiàn)的建筑物圖片，經(jīng)過所學知識進一步解析圖片中所包括的各樣地址關系.學生活動

16、：回答以下問題，其他同學補充.設計妄圖：經(jīng)過對同一物體前后不相同的認識，再次牢固新授知識，并運用所學數(shù)學知識解決實責問題，表現(xiàn)數(shù)學的應用性.針對學以致用這個環(huán)節(jié)，設計從長方體中切割出三棱錐并依照所學知識指出其中的線面地址關系這個問題，目的一是觀察借滋生方體模型中的線面地址關系來解析三棱錐中的線面地址關系，突出長方體模型的重要性；二是為下一節(jié)學習三棱錐的幾何特色做好鋪墊；三是為后續(xù)學習線面垂直關系的判斷埋好伏筆.自然，這個問題能夠設計成開放性的，比方：從長方體中切割出三棱錐的面能夠有幾個直角三角形.為學有余力的同學供應思慮空間.第六個環(huán)節(jié)：復習小結概括小結：概括小結是牢固新知不能夠或缺的環(huán)節(jié)之一

17、，這個教課方案環(huán)節(jié)對培養(yǎng)學生的概括概括能力、語言表達能力都是十分重要的.本節(jié)課我采用讓學生談學習收獲的方式對所學知識進行概括，重點是讓學生利用二聯(lián)表的形式概括出點、線、面之間的各樣地址關系.地址關系點與線點在線上點不在線上點與面點在面內(nèi)點不在面內(nèi)線與線直線與直線平直線與直線訂交垂直）直線與直線異行面線與面直線在平面內(nèi)直線與平面訂交垂直）直線與平面平行面與面平面與平面平平面與平面訂交垂直）行部署作業(yè)：依照學生狀況作業(yè)分為必做和選做兩部分，設置必做題的目的是為了牢固本節(jié)所學內(nèi)容，能夠制作簡單模型，利用本節(jié)所學知識解析簡單幾何體的結構特色及其幾何元素之間的地址關系，面向全體學生，人人都需完成，如：在

18、你周圍的建筑物中，選一個由簡單幾何體組成的建筑物可忽略它的細節(jié)），觀察其幾何特色，試制作模型，并運用所學知識解析組成它的幾何元素之間的地址關系.設置選做題的目的是為了提升能力，為后續(xù)內(nèi)容埋下伏筆.如：經(jīng)過觀察長方體模型中的直線與平面的地址關系，思慮1：如何判斷空間中的直線與平面平行、垂直？思慮2：如何判斷空間中的平面與平面平行、垂直？綜上所述，本節(jié)課是這一章的第一節(jié)內(nèi)容，對本章內(nèi)容起到大綱挈領的作用，對這一節(jié)的主要設計思路是讓學生先從對空間幾何體的整體下手，認識空間圖形；再以長方體等為載體，直觀認識和理解空間點線面的地址關系，重申成立和提升學生的空間想象力了和幾何直觀能力，為今后的學習確定一個

19、好的基礎。張思明老師：我們剛剛看了孫逵老師給我們做的一個教課方案設計的授課，給孫老師提個問題，為什么會想到這樣去設計你立體幾何的授課，想法是從哪來呢？孫逵老師：當我們教研組拿到這個課題此后，我們先參閱了有關的初中課程標準，初中課程標準中間對學生的要求停留在對長方體，正方體，圓柱以及球圖形的認識上，我們又仔細研究了高中的課程標準，而初高中的差別在于初中可是停留在直觀感知的層面上，而高中還要進行相應的空間想象和抽象的概括。而初高中的差別在課程教材和備課中間都有所表現(xiàn)。我們山東師實驗區(qū)在實驗前后也有相應的變化。實驗以前更多的時候在立體幾何這一塊更多重申的是定理以及證明這一部分的內(nèi)容。在新課改此后除了

20、相應的推理論證之外還要進行對峙體幾何全貌的認識。張思明老師：我也感覺特別是第一節(jié)課，全貌的認識可能更加重要。孫逵老師：對，昨年參加課程培訓的時候，也要重申了整體掌握教材，經(jīng)過長方體關于長方體的面，長方體的棱，以及極點都有一個整體上的認識。把更多生活中間的一些物體概括到長方體中間進行研究，更簡單培養(yǎng)學生的空間感、空間想象能力和幾何直觀能力。張思明老師：我也感覺整體設計表現(xiàn)了這個意思。想聽聽王老師您對孫逵老師的設計有什么談論呢？王尚志老師：我以為他們掌握住了剛剛說的這一點，空間想象能力的培養(yǎng)應該從我們的課一開始要讓學生知道。在我們的周圍有各樣各樣的圖形能夠為學生成立空間想象力作為我們的載體。這些模

21、型集中在點、線、面的地址關系上可能比較好的抽象規(guī)劃成為一個長方體的模型。我想補充孫老師一點就是從數(shù)學和數(shù)學將來發(fā)展上來說，我們大部分人將來所要用到的數(shù)學基本上是直角坐標系大框架下去研究他圖形各樣各樣的性質。而我們平時所說的直角坐標系實質上能夠濃縮在一個長方體的模型上，因此一旦成立起這樣的模型，會用這個模型認識空間各樣性質，各樣關系，這為將來學生的學習確定了一個特別好的基礎。我想突出這一點，無論是現(xiàn)在還是將來，都是特別有好處的。別的，我特別贊成我們在下面談論王君老師說的一句話。為學生成立起所有的空間想象也許是空間看法今后再進行邏輯推理能力就會變得比較簡單調點。張思明老師：王老師也對這個做了一些補

22、充說明，我們也知道老師們特別關注像這樣的首課能夠幫助學生更好地成立空間想象力的想法和做法，下面請王君老師介紹一下他做這個首課的設計思路。王君老師：立體幾何的第一節(jié)課特別重要。以前使用老教材的時候，第一要講平面基本性質，依照這個邏輯系統(tǒng)來講，一上來讓學生感覺到特別費力，特別困難。我們過分重申了知識邏輯的推理的嚴實性，忽略了學生接受知識的能力，別的學生剛開始圖形儲備特別少，這時候做嚴格的推理很多學生學不下去。因此我想立體幾何幫助學生成立立體感，有了立體感今后，在邏輯推理上加強，我想培養(yǎng)學生的立體感是首位的。舉例）張思明老師：這個很重要。王君老師：先從生活直觀到幾何直觀，但是光靠骨架模型也不能夠，要

23、再升華到用長方體的直觀圖來做。張思明老師：這樣好表達？王君老師：我們不能夠能在每一個學生桌子上都擺放一個長方體的模型，應該引導學生讓學生看這個長方體的直觀圖。舉例）第一節(jié)課第一對峙體幾何整體掌握有一個整體，告訴學生這一章要學的內(nèi)容，我們今天都涉及了。接下來經(jīng)過采用一些多媒體教課方案軟件等措施引導學生做圖，增加學生的表象儲備。經(jīng)過學生對這個圖形的認識去表達，用圖形語言、書寫語言、符號語言漸漸把這個課程張開，我想這樣一個過程對學生特別有利。別的，在此次課程中間我們要重申長方體的作用。立體幾何所學的地址關系，所有的定理這里能夠找多模型，在測試中間也經(jīng)常得以應用。關于08年河北省高考的商議會我們曾做過

24、一些分析，05年高考題正方形和長方形的題出現(xiàn)7個，變形出來的題有12個，06年高考題正方形和長方形的題出現(xiàn)4個，變形出來的題有6個，07年是長方體形式出現(xiàn)了有8個。08年以長方體形勢出現(xiàn)的題目有13個，變形出來的題目有6個表現(xiàn)逐年遞加的趨勢。我們拿一個長方體作為模型，有很多的判斷題就可以瓜熟蒂落了。比方讓學生畫出一個三條直線兩兩一面的狀況：畫出一個長方體在進行注明這三條直線兩兩異面就特別清楚直觀了。還有很多判斷題若是用長方體一下子就解決了。別的，關于學生證明的問題我感覺不是證明不重要，恰巧就是機會的問題。張思明老師：怎么理解機會？王君老師：比方說線面垂直的判判定理，現(xiàn)在新課上不要求證了然。線面

25、平行的判斷，用定義，用反證法都很牽強，學生也很難理解。學生學習知識，我感覺應該是做到情愿不嚴格的理解，也不能夠做成嚴格的不理解。我們感覺挺嚴實、嚴肅的，但是學生不理解，我們就是失敗的。現(xiàn)在的新課的改革恰巧是突出了空間想象能力培養(yǎng)，突出了幾何直觀能力的培養(yǎng)。在邏輯推理這一塊暫時放一放，做一點削弱，我想這是很正常的。學生空間想象能力，要比他的邏輯推理能力更重要，有了空間想象今后他的邏輯推理就會變得更自然，更簡單。王尚志老師：我特別贊成王老師的想法。過去講立體幾何是用一個演繹系統(tǒng)來講，現(xiàn)在我感覺在思想模式上也做了必然的調整。我們是一個概括抽象的過程，先從詳盡的，實質的，摸得著看得見的東西，再慢慢從詳

26、盡的實質的圖形變成幾何圖形，此后幾何圖形又要用形式化的語言把這樣一個東西表述清楚，這樣一個過程我感覺比較吻合學生的認識規(guī)律。空間想象力形成今后再進行邏輯推理能力的培養(yǎng)，這樣會比較自然，自然的結果就是會比較簡單。剛剛王老師說了一句話特別好?！扒樵覆粐栏竦睦斫猓膊灰v成嚴格的不理解。”我們舉一個吻合王老師的例子，指數(shù)函數(shù)的單調性，高中階段是不能夠能做到嚴格的。因此我們只要要讓學生去掌握和理解指數(shù)函數(shù)的單調性，我想剛剛王老師很多講法值得我們老師去參。張思明老師：很多老師也提出來了，幫助學生整體去理解課程，王老師的做法里面有很多值得我們考慮的東西。我也受王老師的啟示，也帶著學生去社會上觀察，自然現(xiàn)在

27、有信息技術了，分成小組去拍各樣各樣環(huán)境里面給我們供應的片子。比方說拍出照片來，有電線桿子這么立著的，有一個繩，從這個角度去拍拍的和垂直是相同，這種終究可否是垂直？我也讓學生去談論，而且我也講從這個里面開始辨別關系。我讓學生先從圖形自己認識，再用長方體確認，最后再用語言來確認，我認我學生收獲很多。他一下子感覺到立體幾何這一章要解決的事情關系有哪些；怎么去確認；確認這些關系帶給我們什么性質；這是一個整體掌握的方式。很多老師提出來這個過程能不能夠縮短也許是用其他技術的方式來做，他們在書上看到點動成線，線動成面，就用很多技術來幫忙。我想請兩位老師給老師們提一個建議，怎么樣才能把技術和學生活動結合好，技

28、術應該在哪些地方發(fā)揮更好的作用，有沒有什么思慮和建議？王君老師：現(xiàn)在我們知道是信息技術時代，我們多媒體教課方案信息技術的應用有一個問題。我們怎么把他用好，不能夠把它像放電影相同。我們立體幾何這一塊，我們在教課方案實習中自己開發(fā)一套教課方案的平臺，把立體幾何各樣地址關系的圖形在平臺里面有所表現(xiàn)。這些東西不是現(xiàn)成拿來今后就給學生一個個顯現(xiàn)出來，必定讓學生先畫。我們也有一個特別重申的動向的畫圖的過程，也引導學生畫，讓學生知道這個東西怎么畫出來的，讓學生跟著你模擬畫。從不相同的地址關系，不相同的角度給學生增加一些表象儲備。有了必然的基礎今后，讓他更多增加一些直觀圖，增加一些表象的儲備，這對提升空間想象能力是特別有幫助的。張思明老師：很多老師以為我用了軟件給學生看到這些變化就達到了軟件的目的，我感覺軟件是輔助學生先有個認識和想象，再進行確認。能夠學生軌跡是什么，關系如何，學生說一個老師評一個，一一解析解答。王君老師：要充分讓學生思慮，你才能啟示。必定讓學生自己去想，這個時候才能夠拿出這些東西來，幫助學生去成立，不能夠拿了今后就上來顯現(xiàn)。我們現(xiàn)在出來的題也是，拿來一個圖形，能夠讓學生來前面填，學生上前面能夠到這填