誤差的基本概念

1、共共15頁第 頁共共23頁第1頁實(shí)驗(yàn)一誤差的基本概念一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^實(shí)驗(yàn)了解誤差的定義及表示法、熟悉誤差的來源、誤差分類以及有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算。二、實(shí)驗(yàn)原理1、誤差的基本概念所謂誤差就是測量值與真實(shí)值之間的差，可以用下式表示誤差=測得值-真值絕對(duì)誤差某量值的測得值和真值之差為絕對(duì)誤差，通常簡稱為誤差。絕對(duì)誤差=測得值-真值相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與被測量的真值之比稱為相對(duì)誤差，因測得值與真值接近，故也可以近似用絕對(duì)誤差與測得值之比值作為相對(duì)誤差。相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差/真值絕對(duì)誤差/測得值引用誤差所謂引用誤差指的是一種簡化和使用方便的儀器儀表表示值的相對(duì)誤差，它以儀器儀表某一刻度點(diǎn)的示值誤差為分子，以測量

2、范圍上限值或全量程為分母，所得的比值稱為引用誤差。引用誤差=示值誤差/測量范圍上限2、精度反映測量結(jié)果與真值接近程度的量，稱為精度，它與誤差大小相對(duì)應(yīng)，因此可以用誤差大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。精度可分i準(zhǔn)確度它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度ii精密度它反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度iii精確度它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度，其定量特征可以用測量的不確定度來表示。3、有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對(duì)誤差界是最末位數(shù)的半個(gè)單位，那么從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)

3、字，不論是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。數(shù)字舍入規(guī)則如下：若舍入部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位不變。若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)。即當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變，當(dāng)末位為奇數(shù)時(shí)則末位加1。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、用自己熟悉的語言編程實(shí)現(xiàn)對(duì)絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的求解。2、按照數(shù)字舍入規(guī)則，用自己熟悉的語言編程實(shí)現(xiàn)對(duì)下面數(shù)據(jù)保留四位有效數(shù)字進(jìn)行湊整。原有數(shù)據(jù)3.141592.717294.510503.215516.37750舍入后數(shù)據(jù)四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告運(yùn)行編制的程序，分析運(yùn)行結(jié)果，并寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。實(shí)驗(yàn)二誤

4、差的基本性質(zhì)與處理一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康牧私庹`差的基本性質(zhì)以及處理方法二、實(shí)驗(yàn)原理（1）正態(tài)分布設(shè)被測量的真值為L，一系列測量值為L，則測量列中的隨機(jī)誤差為（2-1）=L-L（2-1）ii0式中i=1,2，.n.正態(tài)分布的分布密度f正態(tài)分布的分布密度fF2（2-2）正態(tài)分布的分布函數(shù)F正態(tài)分布的分布函數(shù)Fe2d（2-3）.1式中-標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）;它的數(shù)學(xué)期望為efefBUtaao（2-4）它的方差為（2-5）（2）算術(shù)平均值對(duì)某一量進(jìn)行一系列等精度測量，由于存在隨機(jī)誤差，其測得值皆不相同，應(yīng)以全部測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。1、算術(shù)平均值的意義nlnli設(shè)l1，l2設(shè)l1，l2,l為n

5、次測量所得的值，則算術(shù)平均值x-2nnn算術(shù)平均值與真值最為接近，由概率論大數(shù)定律可知，若測量次數(shù)無限增加，則算術(shù)平均值I必然趨近于真值L0。vIl-xiil第i個(gè)測量值，i=1,2,.,n；ivl的殘余誤差（簡稱殘差）ii2、算術(shù)平均值的計(jì)算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和性質(zhì)來校核殘余誤差代數(shù)和為：v/1nxiiii當(dāng)x為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有nv0ii1）殘余誤差代數(shù)和應(yīng)符合：v為零；v為零；iv為正；其大小為求x時(shí)的余數(shù)。iiv為負(fù)；其大小為求x時(shí)的節(jié)數(shù)。i當(dāng)l=nx，求得的x為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)iilnx，求得的x為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)iiI當(dāng)l0.5式

6、中A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值%末位數(shù)的一個(gè)單位。（3）測量的標(biāo)準(zhǔn)差測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也可以稱之為均方根誤差。1、測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差式中n測量次數(shù)（應(yīng)充分大）測得值與被測量值的真值之差i2、測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差2%nn3、標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算法1別捷爾斯法v1.253iY,n(n)三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1對(duì)某一軸徑等精度測量8次，得到下表數(shù)據(jù)，求測量結(jié)果。序號(hào)l/mmv/mmv2/mm2124.674224.675324.673424.6762、求殘余誤差3、校核算術(shù)平均值及其殘余誤差4、判斷系統(tǒng)誤差5、求測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差6、判別粗大誤差7、求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差8、求算術(shù)平均值的極限誤

7、差9、寫出最后測量結(jié)果四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告運(yùn)行編制的程序，分析運(yùn)行結(jié)果，并寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。實(shí)驗(yàn)三誤差的合成與分配一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^實(shí)驗(yàn)掌握誤差合成與分配的基本規(guī)律和基本方法。二、實(shí)驗(yàn)原理(1)誤差合成間接測量是通過直接測量與被測的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測的量。因此間接測量的量是直接測量所得到的各個(gè)測量值的函數(shù)，而間接測量誤差則是各個(gè)直接測得值誤差的函數(shù)，這種誤差為函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的內(nèi)容實(shí)質(zhì)上就是研究誤差的傳遞問題，而對(duì)于這種具有確定關(guān)系的誤差計(jì)算，稱為誤差合成。隨機(jī)誤差的合成隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，其取值是不可預(yù)知的，并用測量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征其取值的分散程度。

8、標(biāo)準(zhǔn)差的合成若有q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，他們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為1,2,/其相應(yīng)的誤差傳TOC o 1-5 h z遞系數(shù)為a，a，a。12q根據(jù)方和根的運(yùn)算方法，各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為(a)22aaViiijijij丫ij一般情況下各個(gè)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù),廣。，則有(a?i極限誤差的合成在測量實(shí)踐中，各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差和測量結(jié)果的總誤差也常以極限誤差的形式來表示，因此極限誤差的合成也很常見。若已知個(gè)單項(xiàng)極限誤差為1，.，q,且置信概率相同，則按方和根合成的總極限誤差為I(a)22aaiiijijijij系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的大小是評(píng)定測量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志，系統(tǒng)誤差越大，準(zhǔn)確度越低；反之，準(zhǔn)確度越

9、高。已定系統(tǒng)誤差的合成已定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。在測量過程中，若有個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為1，2，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a/a2，a,則代數(shù)和法進(jìn)行合成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為:aii未定系統(tǒng)誤差的合成標(biāo)準(zhǔn)差的合成：TOC o 1-5 h z若測量過程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為u,u，,u其相應(yīng)的12s,誤差傳遞系數(shù)為a,a，,a則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差為12s,u(au)22aauuiiijijiji1j當(dāng)廣0，則有u極限誤差的合成因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為eui=1,2，siii總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為etu則可得

10、e(au)22aauu，iiijijijij當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且j=0，則有e(ae)2i系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成當(dāng)測量過程中存在各種不同性質(zhì)的多項(xiàng)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，應(yīng)將其進(jìn)行綜合，以求得最后測量結(jié)果的總誤差。1、按極限誤差合成若測量過程中有個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，他們的誤差值或極限誤差分別為TOC o 1-5 h z,，2，e，e，e12s1，2，.，q設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的極限誤差為t；聚：聚：Rii，.R各個(gè)誤差間協(xié)方差之和當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，上式可簡化為IIIiiii系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，

11、測量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差用標(biāo)準(zhǔn)差來表示系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成公式，只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成問題。若測量過程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，他們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為u,u,.,u,.,12s,12q,為計(jì)算方便，設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則測量結(jié)果總的標(biāo)準(zhǔn)差為式中R為各個(gè)誤差間協(xié)方差之和，當(dāng)合格誤差間互不相關(guān)時(shí)，上式可簡化為對(duì)于n次重復(fù)測量，測量結(jié)果平均值的總標(biāo)準(zhǔn)差公式則為（2）誤差分配測量過程皆包含多項(xiàng)誤差，而測量結(jié)果的總誤差則由各單項(xiàng)誤差的綜合影響所確定。給定測量結(jié)果總誤差的允差，要求確定各單項(xiàng)誤差就是誤差分配問題。1、現(xiàn)設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)

12、誤差，且互不相關(guān)，則有,MAfFlfF=:a2.2a2.2.a2.211122nn=:D2D2.D212nD函數(shù)的部分誤差。若已給定，需確定D或相應(yīng)，使?jié)M足yiiJd2D2D2y112n式中D可以是任意值，為不確定解，需按下列步驟求解。i按等作用原則按可能性調(diào)整誤差驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、弓高弦長法簡介測量大直徑。直接測得弓高h(yuǎn)、弦長s，根據(jù)h，s間的函數(shù)關(guān)系利用熟悉的語言編程求解出直徑D，以及直徑的系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和所求直徑的最后結(jié)果。s2Dhhh=50mm,h=-0.1mm,h0.05lim=500mm,s=1mm,s=0.1lim四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告運(yùn)行編制的程序，分析運(yùn)行結(jié)果，并寫

13、出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。實(shí)驗(yàn)四回歸分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康幕貧w分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要分支，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。通過本次實(shí)驗(yàn)要求掌握一元線性回歸和一元非線性回歸。二、實(shí)驗(yàn)原理回歸分析是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。即用應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法，對(duì)大量的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而得出比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。1、一元線形回歸方程a、回歸方程的求法yyb(x%)其中x-1x，y-1yNiNiiib、回歸方程的穩(wěn)定性回歸方程的穩(wěn)定性是指回歸值y的波動(dòng)大小。波動(dòng)愈小，回歸方程的穩(wěn)定性愈好。_一i一|1_(xx)222x2-22xfl-yb0bb0byVNlTxx2、回歸方程的方差分析及顯著性檢驗(yàn)

14、(1)回歸問題的方差分析觀測值y,y,y之間的差異，是由兩個(gè)方面原因引起的：自變量x取值的不同;12N其他因素(包括試驗(yàn)誤差)的影響。n個(gè)觀測值之間的變差，可用觀測值y與其算術(shù)平均值y的離差平方和來表示，稱為總的離差平方和。記作S(yy)2ltyyiU(yy)2稱為回歸平方和，它反映了在y總的變差中由于x和y的線性關(guān)系ti而引起變化的部分。Q(yy)2成為殘余平方和，既所有觀測點(diǎn)距回歸直線的殘余誤差平方和。它tti是除了X對(duì)y的線性影響之外的一切因素對(duì)y的變差作用。(2)回歸方程顯著性檢驗(yàn)回歸方程顯著性檢驗(yàn)通常采用F檢驗(yàn)法。U/FuQ/Q1、重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況為了檢驗(yàn)一個(gè)回歸方程擬合得好壞，可以做

15、重復(fù)實(shí)驗(yàn)，從而獲得誤差平方和和失擬平方和，用誤差平方和對(duì)失擬平方和進(jìn)行F檢驗(yàn)，就可以確定回歸方程擬合得好壞。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark108 Umblxy HYPERLINK l bookmark110 QmlUlyynmQ(yy)2Etiiti HYPERLINK l bookmark114 SUQQILE三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容采用回歸分析算法用matlab編程實(shí)現(xiàn)下列題目的要求。1、材料的抗剪強(qiáng)度與材料承受的正應(yīng)力有關(guān)。對(duì)某種材料實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：正應(yīng)力x/pa26.825.428.923.627.723.924.728.126.927.422.625.6抗剪強(qiáng)

16、度26.27.24.27.23.25.26.22.21.21.25.24.y/pa532169357489假設(shè)正應(yīng)力的數(shù)值是精確的，求減抗強(qiáng)度與正應(yīng)力之間的線性回歸方程。當(dāng)正應(yīng)力為24.5pa時(shí)，抗剪強(qiáng)度的估計(jì)值是多少？2、在制定公差標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，必須掌握加工的極限誤差隨工件尺寸變化的規(guī)律。例如，對(duì)用普通車床切削外圓進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，得到加工極限誤差與工件直徑D的統(tǒng)計(jì)資料如下：D/mm51050100150200250300350400/聞8111923272932333537求極限誤差與工件直徑D0關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式?3、在4種不同溫度下觀測某化學(xué)反應(yīng)生成物含量的百分?jǐn)?shù)，每種在同一溫度下重復(fù)觀測3次，數(shù)據(jù)如下：溫度x/0150200250300生成物含量的百分?jǐn)?shù)y77.476.778.284.184.583.788.989.289.794.894.795.9求y對(duì)x的線性回歸方程，并進(jìn)行方差分析和顯著性檢驗(yàn)。4、用x光機(jī)檢查鎂合金鑄件內(nèi)部缺陷時(shí)，為了獲得最佳的靈敏度，透視電壓y應(yīng)隨透視件的厚度x而改變