ch1-單自由度系統(tǒng)自由振動解析課件

1、單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/101振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/91振動力學教學內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼2022/10/102振動力學教學內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼自由振動2022/10/9無阻尼自由振動令 x 為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標原點，為靜變形。當系統(tǒng)受到初始擾動時，由牛頓第二定律，得： 在靜平衡位置： 固有振動或自由振動微分方程 ： 單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置0 x靜平衡位置彈簧原長位置m2022/10/103振動力學無阻尼自由振動令 x 為位移，以質(zhì)量塊的靜平

2、衡位置為坐標原點固有振動或自由振動微分方程 ： 令 ： 單位：弧度/秒（rad/s） 則有 ： 通解 ： 任意常數(shù)，由初始條件決定 振幅 ： 初相位 ： 固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/104振動力學固有振動或自由振動微分方程 ： 令 ： 單位：弧度/秒（ra單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/105振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/95振動力學系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進行振動的方式都毫無關(guān)系 不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān) 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/106振動力學系統(tǒng)固有的數(shù)值特征

3、，與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進行振動的方考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動 設(shè) 的初始位移和初始速度為： 令 ： 有 ： 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/107振動力學考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動 設(shè) 時刻以后的自由振動解為： 零時刻的初始條件： 零初始條件下的自由振動： 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/108振動力學時刻以后的自由振動解為： 零時刻的初始條件： 零初始條件下零初始條件下的自由振動： 無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。 初始條件的說明： 初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了

4、動能。 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/109振動力學零初始條件下的自由振動： 無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后零初始條件下的自由振動： 無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。 單自由度系統(tǒng)自由振動初始條件： 固有頻率從左到右： 時間位置2022/10/1010振動力學零初始條件下的自由振動： 無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后固有頻率計算的另一種方式： 在靜平衡位置： 則有： 對于不易得到 m 和 k 的系統(tǒng)，若能測出靜變形 ，則用該式計算是較為方便的 。單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置2022/10/1011振動力學固

5、有頻率計算的另一種方式： 在靜平衡位置： 則有： 對于不易例： 提升機系統(tǒng)重物重 量鋼絲繩的彈簧剛度 重物以 的速度均勻下降 求：繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。 單自由度系統(tǒng)自由振動Wv2022/10/1012振動力學例： 提升機系統(tǒng)重物重 量鋼絲繩的彈簧剛度 重物以 解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置 則 t=0 時，有： 振動解： 單自由度系統(tǒng)自由振動W靜平衡位置kxWv2022/10/1013振動力學解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩振動解： 繩中的最大張力等于靜張力與因振動

6、引起的動張力之和 ：動張力幾乎是靜張力的一半 由于 為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當降低升降系統(tǒng)的剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動Wv2022/10/1014振動力學振動解： 繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和 例： 重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長 L，抗彎剛度 EJ求：梁的自由振動頻率和最大撓度單自由度系統(tǒng)自由振動mh0l/2l/22022/10/1015振動力學例： 重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長 L，抗彎剛度 解：由材料力學 ：自由振動頻率為 ： 單自由度系統(tǒng)自由振動取平衡位置以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系靜變形mh0l/2l/2x靜平衡位置2022

7、/10/1016振動力學解：由材料力學 ：自由振動頻率為 ： 單自由度系統(tǒng)自由振動取撞擊時刻為零時刻，則 t=0 時，有： 則自由振動振幅為 ：梁的最大擾度： 單自由度系統(tǒng)自由振動mh0l/2l/2x靜平衡位置2022/10/1017振動力學撞擊時刻為零時刻，則 t=0 時，有： 則自由振動振幅為 ：例：圓盤轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)動慣量 I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置扭振固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩由牛頓第二定律：2022/10/1018振動力學例：圓盤轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)動慣量 I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半由上例可看出，除了選擇了

8、坐標不同之外，角振動與直線振動的數(shù)學描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將 m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的 。單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置2022/10/1019振動力學由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動與直線振動的數(shù)學從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復原來狀態(tài)的恢復力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有

9、頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。 單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置2022/10/1020振動力學從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件例：復擺剛體質(zhì)量 m對懸點的轉(zhuǎn)動慣量 重心 C 求：復擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率 單自由度系統(tǒng)自由振動a0C2022/10/1021振動力學例：復擺剛體質(zhì)量 m對懸點的轉(zhuǎn)動慣量 重心 C 求：單自由度解：由牛頓定律 ：因為微振動：則有 ：固有頻率 ：實驗確定復雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法 若已測出物體的固有頻率 ，則可求出 ，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量： 單自由度系統(tǒng)自由振動a0C

10、2022/10/1022振動力學解：由牛頓定律 ：因為微振動：則有 ：固有頻率 ：實驗確定復單自由度系統(tǒng)自由振動例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜面傾角 300質(zhì)量 m=1kg彈簧剛度 k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零求： 系統(tǒng)的運動方程m300重力角速度取 9.82022/10/1023振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜單自由度系統(tǒng)自由振動解：以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系振動固有頻率：振動初始條件：考慮方向初始速度：運動方程：m3002022/10/1024振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動解：以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系振動教學內(nèi)容無阻尼自

11、由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1025振動力學教學內(nèi)容無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/9能量法對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理建立自由振動的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機械能守恒，即動能 T 和勢能 V 之和保持不變 ，即：或：單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1026振動力學能量法對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動能：勢能：（重力勢能）（彈性勢能） 不可能恒為 0 單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧

12、原長位置2022/10/1027振動力學彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動能：勢能：（重力勢能）（彈性勢能） 如果將坐標原點不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置 動能：勢能：設(shè)新坐標 單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置2022/10/1028振動力學如果將坐標原點不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標原點取在靜平衡位置上，方程中就不會出現(xiàn)重力項 。單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1029振動力學如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標原點考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動能達到最大最

13、大位移位置，系統(tǒng)動能為零，勢能達到最大單自由度系統(tǒng)自由振動對于轉(zhuǎn)動：x 是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置xmax0mx2022/10/1030振動力學考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動例：如圖所示是一個倒置的擺 擺球質(zhì)量 m剛桿質(zhì)量忽略 每個彈簧的剛度 求:(1) 倒擺作微幅振動時的固有頻率(2) 擺球 時，測得頻率 為 ， 時，測得頻率為 ，問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ 單自由度系統(tǒng)自由振動lmak/2k/22022/10/1031振動力學例：如圖所示是一個倒置的擺 擺球質(zhì)量 m剛桿質(zhì)量忽略 每個解法1：廣義坐標動能勢能平衡位置1

14、零平衡位置1單自由度系統(tǒng)自由振動lmak/2k/22022/10/1032振動力學解法1：廣義坐標動能勢能平衡位置1零平衡位置1單自由度系統(tǒng)自解法2：平衡位置2動能勢能零平衡位置2單自由度系統(tǒng)自由振動lmak/2k/22022/10/1033振動力學解法2：平衡位置2動能勢能零平衡位置2單自由度系統(tǒng)自由振動l單自由度系統(tǒng)自由振動例：均質(zhì)圓柱質(zhì)量m，半徑R與地面純滾動在A、B點掛有彈簧確定系統(tǒng)微振動的固有頻率k1abRk1k2k2AB2022/10/1034振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動例：均質(zhì)圓柱確定系統(tǒng)微振動的固有頻率k1單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1abRk1k2k2AB廣義坐標：圓柱微轉(zhuǎn)角圓

15、柱做一般運動，由柯希尼定理，動能：C點為運動瞬心勢能：CA點速度：B點速度：2022/10/1035振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1abRk1k2k2AB廣義坐標：單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1abRk1k2k2AB動能：勢能：C2022/10/1036振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1abRk1k2k2AB動能：勢能單自由度系統(tǒng)自由振動k1Rk2M m 例：鉛垂平面內(nèi)一個滑輪-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)確定系統(tǒng)微振動的固有頻率滑輪為勻質(zhì)圓柱 ，繩子不可伸長，且與滑輪間無滑動，繩右下端與地面固結(jié)。 2022/10/1037振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動k1Rk2M m 例：鉛垂平面內(nèi)一個滑輪單自由度系統(tǒng)

16、自由振動解：k1Rk2M m 廣義坐標：質(zhì)量塊的垂直位移 x動能：x勢能：2022/10/1038振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1Rk2M m 廣義坐標：質(zhì)量塊的單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1Rk2M m 廣義坐標：質(zhì)量塊的垂直位移 x動能：x勢能：2022/10/1039振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動解：k1Rk2M m 廣義坐標：質(zhì)量塊的教學內(nèi)容無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1040振動力學教學內(nèi)容無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/9瑞利法利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮了慣性元件

17、的動能，而忽略不計彈性元件的質(zhì)量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的上限。這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。單自由度系統(tǒng)自由振動mkx02022/10/1041振動力學瑞利法利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮了例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動能: 系統(tǒng)最大動能： 系統(tǒng)最大勢能： 若忽略 ，則 增大 單自由度系統(tǒng)自由振動彈簧等效質(zhì)量 mtmkx02022/10/1042振動力學例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動能: 系統(tǒng)最大動能： 系統(tǒng)最大勢教學內(nèi)容無阻尼自由振動能量法瑞利法等

18、效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1043振動力學教學內(nèi)容無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/9等效質(zhì)量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標后，將系統(tǒng)得動能、勢能寫成如下形式： 當 、 分別取最大值時：則可得出： Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 這里等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1044振動力學等效質(zhì)量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標后，將系統(tǒng)得動能、動能勢能單自由度系統(tǒng)自由振動零平衡位置1lmak/2k/22022/10/1045振動力學動能勢能單自由度系統(tǒng)自由振

19、動零平衡位置1lmak/2k/22單自由度系統(tǒng)自由振動k1abRk1k2k2AB動能勢能2022/10/1046振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動k1abRk1k2k2AB動能勢能202單自由度系統(tǒng)自由振動k1Rk2M m x動能勢能2022/10/1047振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動k1Rk2M m x動能勢能2022/1方法2：定義法等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標上的等效剛度等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標上的等效質(zhì)量 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1048振動力學方法2

20、：定義法等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位位移而需例：串聯(lián)系統(tǒng)總變形： 在質(zhì)量塊上施加力 P彈簧1變形： 彈簧2變形： 根據(jù)定義： 或 P mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標上的等效剛度2022/10/1049振動力學例：串聯(lián)系統(tǒng)總變形： 在質(zhì)量塊上施加力 P彈簧1變形： 彈簧例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：受力不等：在質(zhì)量塊上施加力 P由力平衡：根據(jù)定義：并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和 P mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動 mk1k2使系統(tǒng)在選定的坐標上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個

21、坐標上的等效剛度2022/10/1050振動力學例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：受力不等：在質(zhì)量塊上施加力 P例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計質(zhì)量的剛體求：系統(tǒng)對于坐標 x 的等效質(zhì)量和等效剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動k1k2m1m2l1l2l3x2022/10/1051振動力學例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計質(zhì)量的剛體求：單自由度系統(tǒng)自由振動k1解法1：能量法動能：勢能：單自由度系統(tǒng)自由振動等效質(zhì)量：等效剛度：固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x2022/10/1052振動力學解法1：能量法動能：勢能：單自由度系統(tǒng)自由振動等效質(zhì)量：等效解法2：定義法設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P設(shè)使系統(tǒng)在x坐標上產(chǎn)

22、生單位位移需要施加力P單自由度系統(tǒng)自由振動則在m1、m2上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩： 則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復力，對支點取矩： PPk1k2m1m2l1l2l3x2022/10/1053振動力學解法2：定義法設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P設(shè)使教學內(nèi)容無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1054振動力學教學內(nèi)容無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/9阻尼自由振動前面的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統(tǒng)的機械能不可能守恒，因為總存在著各種各樣的阻力。振動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼

23、，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學上描述阻尼的方法，但是實際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學模型是粘性阻尼。在流體中低速運動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認為受到粘性阻尼。 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1055振動力學阻尼自由振動前面的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系粘性阻尼力與相對速度稱正比，即： c：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù) 單位：動力學方程：或?qū)憺椋汗逃蓄l率相對阻尼系數(shù) mkc單自由度系統(tǒng)自由振動建立平衡位置，并受力分析mx02022/10/1056振動力學粘性阻尼力與相對速度稱正比，即： c：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼動力學方程：令：特征

24、方程：特征根：三種情況：欠阻尼過阻尼臨界阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1057振動力學動力學方程：令：特征方程：特征根：三種情況：欠阻尼過阻尼臨界第一種情況：欠阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率 振動解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動兩個復數(shù)根2022/10/1058振動力學第一種情況：欠阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼欠阻尼振動解：設(shè)初始條件：則：或：單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1059振動力學欠阻尼振動解：設(shè)初始條件：則：或：單自由度系統(tǒng)自由振動202欠阻尼振動解：阻尼固有頻率阻尼自由振動周期：T0：無阻

25、尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1060振動力學欠阻尼振動解：阻尼固有頻率阻尼自由振動周期：T0：無阻尼自由欠阻尼響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動振動解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動=0 1時間位置2022/10/1061振動力學欠阻尼響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動振動解：欠阻尼是一種振幅逐欠阻尼響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動振動解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動1 =0 2022/10/1062振動力學欠阻尼響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動振動解：欠阻尼是一種振幅逐不同阻尼，振動衰減的快慢不同單自由度系統(tǒng)自由振動不同阻尼大小下的振動衰減情

26、況：阻尼?。鹤枘岽笞枘岽?，則振動衰減快阻尼小，則衰減慢2022/10/1063振動力學不同阻尼，振動衰減的快慢不同單自由度系統(tǒng)自由振動不同阻尼大小評價阻尼對振幅衰減快慢的影響與 t 無關(guān)，任意兩個相鄰振幅之比均為 衰減振動的頻率為 ，振幅衰減的快慢取決于 ，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部 減幅系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動定義為相鄰兩個振幅的比值： 2022/10/1064振動力學評價阻尼對振幅衰減快慢的影響與 t 無關(guān)，任意兩個相鄰振幅之減幅系數(shù)：含有指數(shù)項，不便于工程應(yīng)用實際中常采用對數(shù)衰減率 ：單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1065振動力學減幅系數(shù)：含有指數(shù)項，不便于

27、工程應(yīng)用實際中常采用對數(shù)衰減率 實驗求解利用相隔 j 個周期的兩個峰值 進行求解得：當 較小時（ ） 單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1066振動力學實驗求解利用相隔 j 個周期的兩個峰值 進行求解得：當 較第二種情況：過阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：兩個不等的負實根 振動解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1067振動力學第二種情況：過阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：兩個過阻尼振動解：設(shè)初始條件：則：一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生 單自由度系統(tǒng)自由振動響應(yīng)圖形2022/10/1068振動力學過阻尼振動解：設(shè)初始條件：則：一種

28、按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動第三種情況：臨界阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：二重根振動解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1069振動力學第三種情況：臨界阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：二振動解：臨界阻尼則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些 臨界阻尼系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動設(shè)初始條件：響應(yīng)圖形2022/10/1070振動力學振動解：臨界阻尼則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過tx(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些 三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按

29、指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生 2022/10/1071振動力學tx(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減小結(jié)：動力學方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動 按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，比過阻尼衰減快 振幅衰減振動2022/10/1072振動力學小結(jié)：動力學方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕例：阻尼緩沖器靜載荷 P 去除后質(zhì)量塊越過平衡位置得最大位移為初始位移的 10 求：緩沖器的相對阻尼系數(shù) 單自由度系統(tǒng)自由振動kcx0 x0Pm平衡位置2022/10/1073振動力學例：阻尼緩沖器靜載荷 P 去除后質(zhì)量塊越過平衡位置得最大位移解：由題知 設(shè)求導 ：設(shè)在時刻 t1 質(zhì)量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為： 即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅 x1單自由度系統(tǒng)自由振動kcx0 x0Pm平衡位置2022/10/1074振動力學解：由題知 設(shè)求導 ：設(shè)在時刻 t1 質(zhì)量越過平衡位置到達由題知 解得：單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/1075振動力學由題知 解得：單自由度系統(tǒng)自由振動2022/10/975振例：單自由度系統(tǒng)自由振動剛桿質(zhì)量不計求：（1）寫出運動微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量 mlakcmb2022/10/1076振動力學例：單自由度系統(tǒng)自由振