土木工程中幾何非線性問題

1、關(guān)于土木工程中的幾何非線性問題10.10.2022非線性有限元1第1頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元2基本概念幾何非線性問題：位移與應(yīng)變成非線性（微分意義上）關(guān)系。物理現(xiàn)象：將位移（轉(zhuǎn)動）和/或應(yīng)變較大的問題統(tǒng)稱為大變形問題，有時稱為有限變形問題。這類問題又分為大位移（轉(zhuǎn)動）小應(yīng)變問題及大位移大應(yīng)變問題兩大類。 研究意義：和材料非線性問題一樣重要。例如，平板的彎曲問題，大撓度理論分析結(jié)果更符合實際情況；薄殼的屈曲，非線性理論的預(yù)測值更好。又例如，對于橡皮型材料，大變形還必須考慮本構(gòu)關(guān)系的變化，這與純粹的材料非線性又有區(qū)別。幾何線性問題：位

2、移與應(yīng)變成線性（微分）關(guān)系；研究現(xiàn)狀：大變形問題有限元分析的理論和方法存在不同學派間的爭鳴，尚未得到一個權(quán)威性的結(jié)論。隨之并發(fā)的其它問題，如解的穩(wěn)定性、收斂性及收斂率等，都有待進一步深入研究。第2頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元31.物體運動的描述第3頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元4拉格朗日描述 t=0的坐標為Xi，t時刻位置為xi，質(zhì)點運動可表為 對物體t時刻位置和變形的刻劃稱為構(gòu)形(configuration)，如圖示。該描述實質(zhì)是給出初始位置坐標為Xi 的質(zhì)點運動軌跡。 描述

3、運動的參照基準稱為參考位形，以初始位形作參考位形的描述稱為物質(zhì)描述或拉格朗日描述，Xi稱為物質(zhì)坐標, Xi和t稱為拉格朗日變量。第4頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元5歐拉描述 現(xiàn)時構(gòu)形中，經(jīng)過空間位置xi的質(zhì)點的速度為vi 研究不同時刻經(jīng)過同一空間點xi的質(zhì)點的運動狀態(tài)以現(xiàn)時位形作參考位形的描述稱為空間描述或歐拉描述，xi稱為空間坐標, xi和t稱為歐拉變量。注意：兩種描述下對某個質(zhì)點加速度的描述是不一樣的第5頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元6 物體現(xiàn)時坐標xi對物質(zhì)坐標Xi的偏導數(shù)

4、稱為變形梯度，是非對稱的二階張量。(思考？什么時候其是對稱的) 因此可以將變形梯度視作一種線性變換，它將參考位形中的線元dXi變換為現(xiàn)時位形中的線元dxi，這變換中既有伸縮，也有轉(zhuǎn)動。變形梯度在大變形分析中很重要。 現(xiàn)時位形兩鄰點的距離為點的變換第6頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元7物體運動和變形是單值和連續(xù)的，也即在任一時刻， 和 是一一對應(yīng)的，那么在參考位形的任意點Jacobi行列式J不為零。也即變形梯度可逆 第7頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元8設(shè)圖示初始位形微元體體積為dV0

5、，三線元為運動變形后，現(xiàn)時位形三線元為體積變換體積變換公式dV=JdV0第8頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元9圖示面元可表示為 如果記初始和現(xiàn)時位形的密度分別為則由質(zhì)量守恒，可得因此對不可壓縮物體面積變換面積變換公式第9頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元102.大變形問題的應(yīng)變描述第10頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元11應(yīng)變張量關(guān)注P、Q兩點的距離研究變形前后線段尺度的變化可以獲得變形的度量應(yīng)變格林應(yīng)變張量阿爾曼西張量第11頁，

6、共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元12格林應(yīng)變張量用初始位形定義，也即用變形前的坐標定義，它是lagrange坐標的函數(shù)。阿爾曼西應(yīng)變張量用現(xiàn)時位形定義，它是Euler坐標的函數(shù)。兩種應(yīng)變張量同樣也可以通過位移向量導出：分別對lagrange坐標或?qū)uler坐標求偏導，可得變形梯度張量分別為初始坐標的函數(shù)現(xiàn)時坐標的函數(shù)第12頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元13 由此公式可見，兩種應(yīng)變張量都是對稱的。類似彈（塑）性力學的應(yīng)變分析（與主應(yīng)力分析相仿），可以證明，體內(nèi)任一點處至少有三個相互垂直

7、的應(yīng)變主軸，任兩與主軸平行的物質(zhì)線元，變形過程中仍保持垂直。 將變形梯度張量代入兩種應(yīng)變的表達式，可得用位移梯度張量表示的應(yīng)變公式如下第13頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元14這表明，當位移梯度很小時，可以不區(qū)分初始位形和現(xiàn)時位形，位移梯度分量的乘積項是高階小量，將其略去后，即可得到小變形時的柯西應(yīng)變-工程應(yīng)變 當位移梯度遠小于1時，對任意函數(shù)F有如下關(guān)系第14頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元15若現(xiàn)時位形只是相對初始位形作剛體移動，則則物體一定無變形，反之一樣。因此，物體作剛體運動

8、的充分必要條件是到處存在第15頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元16 一般來說，在本構(gòu)方程中Almansi應(yīng)變張量不直接出現(xiàn)，使用的是左Cauchy-Green變形張量bij，又稱為現(xiàn)時（Updated）Green應(yīng)變張量Green應(yīng)變張量：以初始構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學表示為現(xiàn)時（Updated）Green應(yīng)變張量：以現(xiàn)時構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學表示為注意：我們用下標的大小寫表示坐標的大小寫，對應(yīng)于不同的構(gòu)型。 最終方程中常用的兩種應(yīng)變張量為：第16頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.202

9、2非線性有限元17應(yīng)變增量：Green應(yīng)變增量：現(xiàn)時（Updated）Green應(yīng)變增量：線性部分非線性部分線性部分非線性部分二者之間滿足張量變換關(guān)系！大變形分析由于采用增量方法，需經(jīng)常用到它們的增量形式。第17頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元18應(yīng)變增量：（續(xù)）對于大變形小應(yīng)變情形 Green應(yīng)變增量退化成：現(xiàn)時（Updated）Green應(yīng)變增量退化成：線性部分非線性部分是高階小量線性部分非線性部分是高階小量對于小變形情形第18頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元193.大變形問題的

10、應(yīng)力描述第19頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元20 應(yīng)力是借助于微元體來定義的，但在大變形分析中，必須注意微元體所在的構(gòu)型。Euler應(yīng)力： 與應(yīng)變類似，連續(xù)介質(zhì)力學理論具有嚴格的應(yīng)力定義和多種不同的應(yīng)力概念。這里也只介紹后面將要用到的幾種。 從當前構(gòu)型中取出微元體，在其上定義的應(yīng)力稱為Euler應(yīng)力，用 表示。Euler應(yīng)力代表物體的真實應(yīng)力。然而，當前構(gòu)型是待求的未知構(gòu)型，因而，有必要通過已知構(gòu)型上的微元體再對應(yīng)力進行描述。 Kirchhoff（克?；舴颍?yīng)力： 通過初時構(gòu)型上的微元體定義的應(yīng)力稱為Kirchhoff應(yīng)力，用 表示；通

11、過現(xiàn)時構(gòu)型的微元體定義的應(yīng)力稱為現(xiàn)時（Updated）Kirchhoff 應(yīng)力，用 表示。 第20頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元21在大變形問題中，是用從變形后的物體內(nèi)截取的微元體來建立平衡方程及與之相等效的虛功原理的。因此首先在變形后的物體內(nèi)截取出的微元體上定義應(yīng)力張量，稱為Euler應(yīng)力張量； 此應(yīng)力張量有明確的含義，即代表真實的應(yīng)力張量。是現(xiàn)時位形和變形相關(guān)的真實應(yīng)力。由四面體的平衡，可將面 的應(yīng)力，用 表示 Euler應(yīng)力張量:ij第21頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元22

12、然而在分析過程中，必須聯(lián)系應(yīng)力與應(yīng)變。如果應(yīng)變是用變形前的坐標（初始位形）表示的Green應(yīng)變張量，那么，還需定義與之相對應(yīng)的，即關(guān)于變形前位形的應(yīng)力張量。對于變形后的位形（現(xiàn)時位形） ，有Euler應(yīng)力張量對于變形前的位形（初始位形） ，可以定義名義應(yīng)力 Kirchhoff應(yīng)力張量：SijKirchhoff規(guī)定:規(guī)定變形前面元 上的內(nèi)力與變形后面元 上的內(nèi)力滿足變形梯度的關(guān)系Lagrange應(yīng)力張量第22頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元23Kirchhoff、現(xiàn)時Kirchhoff及Euler應(yīng)力（增量）間的關(guān)系：根據(jù)張量的坐標變換規(guī)則

13、，它們之間還有以下關(guān)系現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力Euler應(yīng)力現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力增量時刻t 時刻特點：以現(xiàn)時構(gòu)型為參考。第23頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元244.大變形問題的本構(gòu)關(guān)系第24頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元25彈性材料 若Kirchhoff應(yīng)力與Green應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱這類材料為彈性材料 不依賴于構(gòu)型變化彈性本構(gòu)關(guān)系多用于大位移（轉(zhuǎn)動）小應(yīng)變的情形。 特殊情形第25頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非

14、線性有限元26 超彈性材料 假定材料具有單位質(zhì)量的應(yīng)變能函數(shù)，再根據(jù)能量原理來定義本構(gòu)關(guān)系，這類材料稱為超彈性材料。(不限于這種形式）總之，對于一般的大變形問題，在連續(xù)介質(zhì)力學中常用超彈性來表征材料的本構(gòu)關(guān)系。 例如一階近似初始構(gòu)型時材料的密度常數(shù)增量形式 坐標變換現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力或增量形式 Case-1Case-2不能簡化！一階近似現(xiàn)時構(gòu)型時材料的密度隨變形變化。相比較第26頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元27 次彈性材料若應(yīng)力率與變形率之間成線性變化規(guī)律，這類材料稱為次彈性材料。但本構(gòu)關(guān)系描述時要求“率”為與剛體轉(zhuǎn)動無關(guān)的客

15、觀時間導數(shù)。 同乘以時間增量增量形式 Case-2Case-1可以證明，這兩個率都與轉(zhuǎn)動無關(guān) Jaumann應(yīng)力率 現(xiàn)時Green應(yīng)變的線性部分 可以證明，這兩個率都與轉(zhuǎn)動無關(guān) 旋轉(zhuǎn)率第27頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元28 三種本構(gòu)關(guān)系間的關(guān)系對于實際的大變形問題，上述三種本構(gòu)關(guān)系并不等價。可以證明，彈性材料是一種特殊的次彈性材料，超彈性材料是一種特殊的彈性材料。實際材料所遵守的本構(gòu)關(guān)系，只有通過實驗測試才能得以確定。次彈性材料彈性材料超彈性材料第28頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有

16、限元295.大變形問題的有限元方程第29頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元30 與塑性力學有限元方法的異同區(qū)別：塑性力學的本構(gòu)關(guān)系隨加載變化，而大變形問題的構(gòu)型隨加載變化。TL？UL?相似：都采用增量方法，都不顯含時間。導致分析方法、應(yīng)力應(yīng)變描述、本構(gòu)關(guān)系、控制方程的變化。 構(gòu)型對應(yīng) 構(gòu)型相關(guān)客觀性描述 第30頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元31 TL法有限元方程的建立特點：始終以初始（0時刻）構(gòu)型做為應(yīng)力與應(yīng)變描述的參考構(gòu)型，因而，采用Kirchhoff應(yīng)力（增量）和Green應(yīng)變（

17、增量）。 t 時刻:TL法：Total Lagrangian Description （TLD）虛功方程：優(yōu)點：參考構(gòu)型不發(fā)生變化，本構(gòu)關(guān)系與虛功方程描述形式簡單。 時刻:兩式相減，得增量型虛功方程：第31頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元32 TL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到剛度矩陣形式較復雜，因問題的類型而不同。載荷向量TL法的求解步驟:Step 1：利用有限元方程求出 間隔內(nèi)的位移增量 ；Step 2：利用幾何關(guān)系，計算Green應(yīng)變增量 ；Step 3：利用本構(gòu)關(guān)系，計算Kir

18、chhoff應(yīng)力增量 ；Step 4：更新當前時刻 ；更新當前應(yīng)力 ；計算當前剛度矩陣和載荷向量。 Step 5：轉(zhuǎn)到Step 1，進入下一個時間間隔計算。 第32頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元33 UL法有限元方程的建立特點：總以t 時刻（即現(xiàn)時構(gòu)型）為參考構(gòu)型，也就是說參考構(gòu)型是變化的，因而，采用現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力（增量）和現(xiàn)時Green應(yīng)變（增量）。 UL法：Updated Lagrangian Description （ULD）仿照TL法的推導，可得虛功方程：優(yōu)點：可以處理加載方式更為復雜的問題，亦可處理邊界非線性問題等

19、。 UL法的增量型虛功方程：第33頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元34UL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到UL法的求解步驟及與TL法的比較:Step 1：利用有限元方程求出 間隔內(nèi)的位移增量 ；Step 2：利用幾何關(guān)系，計算現(xiàn)時Green應(yīng)變增量 ；Step 3：利用本構(gòu)關(guān)系，計算現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力增量 ；Step 4：更新當前時刻 ；更新當前應(yīng)力, 根據(jù) 計算 ，并且使得 ；更新當前構(gòu)型 ；計算當前剛度矩陣與載荷向量。 Step 5：轉(zhuǎn)到Step 1，進入下一個時間間隔計算。

20、 第34頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元35小結(jié) 大變形問題有限元方法與彈塑性問題有限元方法都是在增量意義上通過擬線性化，進而加以求解。 但彈塑性問題有限元方法在確定彈塑性狀態(tài)時還應(yīng)當進行迭代或按優(yōu)化問題處理，這點與接觸問題類似。 所以，從方法上說，彈塑性問題有限元方法包含了大變形問題有限元和接觸問題有限元兩類問題的所有特點。第35頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元366.大變形問題的載荷處理第36頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元37 載荷目前還沒有考慮重要區(qū)別TL法的載荷項：UL法的載荷項：體積力表面力第37頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元38 體積力的處理原則：物體的重力在變形過程中保持不變。 全量增量區(qū)別之處第38頁，共42頁，2022年，5月20日，5點31分，星期四10.10.2022非線性有限元39 表面力的處理 表面力的處理較為復雜，不但與構(gòu)型變化有關(guān)，還與表面力的施加方式有關(guān)。以常見的集中力和均布力為例。1）集中力 第一種情形：集中力的方向在整個變形過程中保持不變；第二種情形