圖形變換與齊次坐標(biāo)課件

1、圖形變換是計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一幾何變換，投影變換，視窗變換線性變換，屬性不變，拓?fù)潢P(guān)系不變。作用：把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來；可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動態(tài)顯示。圖形變換和齊次坐標(biāo)圖形的幾何變換幾何變換：圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。幾何變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。二維圖形變換1. 平移變換從點Px,y平移到點Px,yx = x + my = y + nP(x,y)P(xy)mnXYyxP(x,y)P(x,y)mnyxxy2 旋轉(zhuǎn)變換(x,y)(x,y)一個點繞原點的旋轉(zhuǎn)，逆時針方向為正。yyxxyxP(x

2、,y)P(x,y)P(x,y)P(x,y)3 比例變換P(x,y)P(x,y)x = x*sxy= y*sySx = Sy： 均勻縮放。Sx = Sy 1，放大Sx = Sy 1, 沿三個軸向等比例縮小 當(dāng)0s1, 沿三個軸向等比例放大 （軸向比例變換與全比例變換的關(guān)系） 對稱變換 在二維變換下，對稱變換是以線和點為基準(zhǔn)，在三維變換下，對稱變換則是以面、線、點為基準(zhǔn)的。對稱于XOY平面 x y z 1 = x y -z 1=x y z 1對稱于YOZ平面 x y z 1 = -x y z 1=x y z 1對稱于XOZ平面x y z 1 = x -y z 1=x y z 1 那么，分別對稱于X

3、、Y、Z軸和坐標(biāo)原點的變換矩陣是什么？平移變換 是指空間上的立體從一個位置移動到另一個位置時，其形狀大小均不發(fā)生改變的變換。 x y z 1 = x+dx y+dy z+dz 1 =旋轉(zhuǎn)變換繞X軸變換 空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各點的X坐標(biāo)不變，只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。 x= x y= cos(+) = y*cos- z*sin z= sin(+) = y*sin+z*cos XYZ(x,y)(xy)YZOO(xy)(x,y)矩陣表示為：繞Y軸旋轉(zhuǎn) 此時，Y坐標(biāo)不變，X，Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。 x= sin(+) = x*cos + z*sin y= y z= cos(+) = z*co

4、s- x*sinXYZ(x,y)(xy)XZOO矩陣表示為繞Z軸旋轉(zhuǎn) 此時，Z坐標(biāo)不變，X，Y坐標(biāo)相應(yīng)變化。 x= cos(+) = x*cos - y*sin y= sin (+) = x*sin+ y*cos z= zXYZ(x,y)(xy)XYOO矩陣表示為：組合變換：空間一點繞空間任一軸線的旋轉(zhuǎn)變換。要通過將幾個基本的變換組合在一起，得到該組合變換。 假定空間任一直線的方向矢量分別為：(l,m,n) 并經(jīng)過原點(l,m,n)(x,y,z)(x,y,z)XYZON能否轉(zhuǎn)換成繞X、Y或Z軸旋轉(zhuǎn)的變換？ ON繞Z軸旋轉(zhuǎn)2 到XOZ平面上，然后再繞Y軸旋轉(zhuǎn)1，即可與Z軸重合。ON21XYZ 這

5、樣，可得空間上任一點繞ON軸旋轉(zhuǎn)的變換過程如下： 1）首先通過兩次旋轉(zhuǎn)，使ON軸與Z軸重合； 2）然后使點繞Z軸旋轉(zhuǎn)角； 3）最后通過與1）相反的旋轉(zhuǎn)，使ON軸回 到原來的位置。 假設(shè)，繞Z軸的旋轉(zhuǎn)-2矩陣為T1 繞Y軸的旋轉(zhuǎn)-1矩陣為T2 繞Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣為T3 繞Y軸的旋轉(zhuǎn)1矩陣為T4 繞Z軸的旋轉(zhuǎn)2矩陣為T5則總體變換矩陣為： T = T1 T2 T3 T4 T5 由上推導(dǎo)可看出，只要能求出1 、2的值，即可通過上式獲得繞ON軸的變換矩陣。 由于矢量 （0 0 1）繞Y軸旋轉(zhuǎn)1 ，再繞Z軸旋轉(zhuǎn)2 即可與ON軸重合。即： l m n 1 = sin1 cos2 sin1sin2 cos1

6、1 l = sin1cos2 m= sin1sin2 n = cos1從而通過上式即可得到1、2 的值。問題：當(dāng)任一軸線的端點不在原點時，此時應(yīng)如何計算變換矩陣？繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換基本思想：因任意軸不是坐標(biāo)軸，應(yīng)設(shè)法旋轉(zhuǎn)該軸，使之與某一坐標(biāo)軸重合，然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)角的變換，最后按逆過程，恢復(fù)該軸的原始位置。zxyBCALLPQD繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）將空間直線平移，使之通過坐標(biāo)原點T=0 1 0 0 0 0 1 0-X1 -Y1 -Z1 11 0 0 0（2）繞x軸旋轉(zhuǎn)角使之位于XOZ平面內(nèi) 直線段L在YOZ平面上的投影L L2= B2+ C2 Sin=B/L cos=C/L繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換z

7、xyBCALLPQD0 cos sin 0 0 -sin cos 00 0 0 11 0 0 0Rx=(3) 繞y軸順時針旋轉(zhuǎn)角(使之與Z軸重合) 由于繞x軸旋轉(zhuǎn)時，x坐標(biāo)不變ALLSin =A/L cos =L/LL2-A2= B2+ C2=L2繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 0 1 0 0 -sin 0 cos 0 0 0 0 1cos 0 sin 0Ry=-sin cos 0 0 0 0 1 00 0 0 1cos sin 0 0Rz=(4)繞z軸旋轉(zhuǎn)角繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換(5)繞y軸逆時針旋轉(zhuǎn)角(使之位于XOZ平面內(nèi))sin 0 cos 00 0 0 1Ry=cos 0 -sin 00 1 0 0(6)繞x軸順時針旋轉(zhuǎn)(使之恢復(fù)通過原點的直線)0 sin cos 00 0 0 1Rx=1 0 0 00 cos -sin 0繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換(7)平移使坐標(biāo)原點返回到它原始位置0 0 1 0X1 y1 z1 1T =1 0 0 00 1 0 0因此，繞空間任意軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣R=T.Rx