機(jī)器人概論第3版課件第4章運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)概述

1、第四章 運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)概述4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)概述 物體的位置通常在三維空間中研究，物體既包括操作臂的桿件、零部件和抓持工具，也包括操作臂工作空間內(nèi)的其他物體，這些物體可用兩個(gè)非常重要的特性來描述：位置和姿態(tài)，簡稱位姿。4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)概述 正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：已知各個(gè)連桿的幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)角變量，求機(jī)械手臂末端相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位姿。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：給定機(jī)械手臂末端相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)，求機(jī)械手臂能否使其末端達(dá)到這個(gè)位姿，有幾種形態(tài)？計(jì)算機(jī)器人對(duì)應(yīng)位置的全部關(guān)節(jié)變量，此問題是機(jī)械手臂實(shí)際控制中的應(yīng)用問題。 機(jī)器人操作手通常為開鏈空間連桿機(jī)構(gòu)，各桿件通過轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副連接，一端為自由手部，一端為機(jī)身

2、固定，驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)帶動(dòng)桿件的運(yùn)動(dòng)，使手部定位。工業(yè)機(jī)械手抓取機(jī)械手如何準(zhǔn)確到達(dá)物體位置？各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)之間有何關(guān)系？與人體胳膊比較！機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問題以平面兩自由度機(jī)械手臂為例進(jìn)一步闡述運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩個(gè)問題（運(yùn)動(dòng)由連桿機(jī)構(gòu)決定，分析時(shí)不考慮驅(qū)動(dòng)器和減速器元件）4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)概述正運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知桿件長度 ,關(guān)節(jié)變量 ，求末端執(zhí)行器的位置P（x,y）逆運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知末端執(zhí)行器的位置P（x,y）與桿件長度 ,求關(guān)節(jié)變量 、 。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解不是唯一的（本例中有2個(gè)） 總結(jié) 機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)分析是運(yùn)動(dòng)規(guī)劃控制中的重要問題，但由于機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)問題的復(fù)雜性和多樣性，無法建立通用的解析算法。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題實(shí)際上是一個(gè)非線

3、性超越方程組的求解問題，其中包括解的存在性、唯一性及求解的方法等一系列復(fù)雜問題。（數(shù)學(xué)的重要性）4.2 位姿表示與齊次變換 剛體的空間運(yùn)動(dòng)可以看成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成，一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是剛體隨其上某點(diǎn)（又稱為基點(diǎn)）的移動(dòng)，另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)?；A(chǔ)坐標(biāo)系用來定義機(jī)器人相對(duì)于其他物體的運(yùn)動(dòng)，其位置和方位不隨機(jī)器人各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)而變化，也稱慣性坐標(biāo)系、全局參考坐標(biāo)系。運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系用來描述獨(dú)立關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)，是固聯(lián)在機(jī)器人各構(gòu)件上的坐標(biāo)系，它隨構(gòu)件在空間的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)或平移），也稱為構(gòu)件坐標(biāo)系。4.2.1位姿表示4.2 位姿表示與齊次變換 Oxyz為基礎(chǔ)坐標(biāo)系O，Oxyz為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系O，坐標(biāo)系O以坐標(biāo)系O

4、為參照系時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O的位置稱為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Oxyz的位置， Ox、Oy、 Oz軸的方向稱為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Oxyz的姿態(tài)，位置與姿態(tài)簡稱位姿。4.2.1位姿表示4.2 位姿表示與齊次變換 圖中所示 O與O兩個(gè)坐標(biāo)系在空間中三個(gè)坐標(biāo)軸的方向相同，所以具有相同的姿態(tài)，用矢量相加的方法得到P點(diǎn)相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系Oxyz的坐標(biāo)：4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換1.平移變換 用向量表示為：通常記作為： 4.2 位姿表示與齊次變換 O與O兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)位置重合，P點(diǎn)相對(duì)于O與O坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（x,y,z）與（x,y,z），因?yàn)閦與z坐標(biāo)軸重合，z=z，坐標(biāo)之間的關(guān)系可以簡化為平面圖計(jì)算。4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換2

5、.旋轉(zhuǎn)變換 4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換2.旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸的旋轉(zhuǎn)變換陣為: 4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換2.旋轉(zhuǎn)變換 用類似方法可以推導(dǎo)出繞x軸與y軸的旋轉(zhuǎn)變換陣： 、 、 統(tǒng)稱為基本旋轉(zhuǎn)變換陣 。4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換3.齊次變換 坐標(biāo)系之間的關(guān)系包括旋轉(zhuǎn)與平移變換，坐標(biāo)系Oxyz可以看成是坐標(biāo)系Oxyz經(jīng)二次變換而成。先將Oxyz平移，使O點(diǎn)與O點(diǎn)重合，再繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)得到Oxyz，將平移變換與旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的式子合成，得到：4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換3.齊次變換 為簡化為一個(gè)矩陣，

6、引入齊次變換陣：變化過程中的平移量和旋轉(zhuǎn)量均可以在齊次變換矩陣中反映出來。其中左上角的33子矩陣表示坐標(biāo)系O相對(duì)于坐標(biāo)系O的姿態(tài)，稱為姿態(tài)矩陣或者旋轉(zhuǎn)矩陣，右上角31列矩陣表示坐標(biāo)系O相對(duì)于坐標(biāo)系O的位置，又稱為位置矢量。由此可知，齊次變換陣表明了Oxyz坐標(biāo)系相對(duì)于參照系Oxyz的位置和姿態(tài)，也稱為位姿矩陣。4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換4.連續(xù)變換 所謂連續(xù)變換可以是連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)連續(xù)移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)與移動(dòng)交叉進(jìn)行的變換。（1）連續(xù)移動(dòng)變換 圖中，坐標(biāo)系O是坐標(biāo)系O沿矢量 平移而成，坐標(biāo)系O是坐標(biāo)系O沿矢量 平移而成，顯然齊次變換 ，即:4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐

7、標(biāo)系之間的變換4.連續(xù)變換 （2）連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換 圖中，假設(shè)活動(dòng)坐標(biāo)系初始狀態(tài)與基礎(chǔ)坐標(biāo)系O重合，將動(dòng)坐標(biāo)系繞O的z軸旋轉(zhuǎn) 角得到坐標(biāo)系O，而后又繞軸 旋轉(zhuǎn)角 ，得到坐標(biāo)系O，則連續(xù)變換為：4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換4.連續(xù)變換 （2）連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換總結(jié)分析如下幾點(diǎn)：1）連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)變換時(shí)，變換矩陣相乘次序不能更換；因?yàn)?）連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換，若始終相對(duì)于同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則變換矩陣相乘與次序無關(guān)，且3）如果連續(xù)變換是相對(duì)于當(dāng)前系進(jìn)行的，則依次右乘變換矩陣；如果連續(xù)變換是相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系進(jìn)行的則依次左乘變換矩陣。4.2 位姿表示與齊次變換4.2.2 坐標(biāo)系之間的變換4.連續(xù)變換 （3）

8、移動(dòng)變換和轉(zhuǎn)動(dòng)變換交叉進(jìn)行 在處理交叉變換問題時(shí)，只要依據(jù)變換順序，掌握好左乘還是右乘，然后按照矩陣相乘的法則進(jìn)行運(yùn)算，即可求得最終的變換。例4-1：設(shè)活動(dòng)坐標(biāo)系Oxyz與參考坐標(biāo)系Oxyz初始重合后，繞z軸旋轉(zhuǎn)90度，再繞y軸旋轉(zhuǎn)90度，再平移向量 ，求齊次變換陣A。4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 機(jī)器人由多個(gè)關(guān)節(jié)組成，把機(jī)器人模型看成一系列關(guān)節(jié)連接起來的連桿機(jī)構(gòu)，各關(guān)節(jié)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起來研究。 假設(shè)三維空間中有一點(diǎn)P相對(duì)于坐標(biāo)系On的坐標(biāo)為 ，P相對(duì)于坐標(biāo)系Oo的坐標(biāo)為 ，這兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系與各個(gè)連桿的參數(shù)及關(guān)節(jié)變量有關(guān)，已知：次類推得到： 由上式可以得出：確定相鄰兩桿間的變換矩陣是建

9、立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的基礎(chǔ)。下面將討論如何建立相鄰兩桿間的齊次變換矩陣。4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.1 D-H坐標(biāo)系的確立 1955年Denavit與Hartenberg提出了矩陣方法，即D-H方法，可用于任何構(gòu)型的機(jī)器人，D-H坐標(biāo)系的確立即相鄰兩桿件坐標(biāo)系關(guān)系確立。坐標(biāo)系的確定模式有前置模式和后置模式兩種，這里主要介紹后置模式。1.機(jī)器人桿件的幾何參數(shù)及關(guān)節(jié)變量 通常機(jī)器人每個(gè)桿件兩邊各連接一個(gè)關(guān)節(jié)，依次與相鄰兩桿相連接，每個(gè)關(guān)節(jié)可能是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)或者是移動(dòng)關(guān)節(jié)，為了便于分析問題，現(xiàn)給兩個(gè)關(guān)節(jié)以相應(yīng)的編號(hào)。桿i-1的下關(guān)節(jié)（指靠近機(jī)座的關(guān)節(jié)）編號(hào)為i-1，而上關(guān)節(jié)（靠近末端操作器的關(guān)節(jié)）編號(hào)

10、為i，如圖所示。4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.1 D-H坐標(biāo)系的確立 （1）桿件的幾何參數(shù)如圖所示，與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)的桿件幾何參數(shù)只有桿件長度 和桿件扭角 兩個(gè)。1）桿件長度 ：即兩關(guān)節(jié)軸線之間的公垂線長。當(dāng)兩軸線相交于一點(diǎn)時(shí) 。對(duì)于機(jī)座（0號(hào)桿）及末端操作器（n號(hào)桿），由于它們只有一個(gè)關(guān)節(jié)，故規(guī)定其桿長為0，即 。2）桿件扭角 ：即兩關(guān)節(jié)軸線的交錯(cuò)角。顯然機(jī)座桿及末端桿的扭角為0，即 。4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.1 D-H坐標(biāo)系的確立 （2）關(guān)節(jié)變量關(guān)節(jié)變量是用來表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)的參數(shù)。當(dāng)兩桿通過轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)相連接時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)為角位移，以 表示。當(dāng)兩關(guān)節(jié)通過移動(dòng)關(guān)節(jié)相連接時(shí)，相對(duì)位移為線位

11、移，以 表示。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)， 是變量，而 為常數(shù)。同理，對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)， 是變量，而 是常數(shù)。4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.1 D-H坐標(biāo)系的確立 2.桿件上坐標(biāo)系的確定（此處只介紹后置模式） 后置模式是將桿上固連坐標(biāo)系設(shè)置在桿的一個(gè)下關(guān)節(jié)處，將桿 的固連坐標(biāo)系的 軸置于 關(guān)節(jié)的軸線上，將桿 的固連坐標(biāo)系的 軸與 號(hào)關(guān)節(jié)軸線重合。 軸與 軸間的公垂線長度記為連桿長度 ， 軸沿著公垂線，指向離開 軸，如圖4所示。 與 的扭轉(zhuǎn)角為 ，以繞 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正， 與 的交錯(cuò)角為 ，以繞 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正， 軸與 的交點(diǎn)為 ， 到 的距離為 ，以 軸指向?yàn)檎?.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.1 D-H坐

12、標(biāo)系的確立 2.桿件上坐標(biāo)系的確定 相鄰兩個(gè)連桿坐標(biāo)系的變換可由下述步驟實(shí)現(xiàn)：（1） 號(hào)坐標(biāo)系繞 軸旋轉(zhuǎn) 角，記作 ， 轉(zhuǎn)到與 方向平行；（2）沿 軸平移 距離， ，把坐標(biāo)系原點(diǎn)移到 上；（3）繞 軸旋轉(zhuǎn) 角，記作 ；（4）再沿 軸平移 距離 ，記作 ，過渡到和 i號(hào)坐標(biāo)系完全重合。4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.1 D-H坐標(biāo)系的確立 2.桿件上坐標(biāo)系的確定兩相鄰桿坐標(biāo)系的齊次變換矩陣又稱為A矩陣。它表明i號(hào)坐標(biāo)系相對(duì)于 號(hào)坐標(biāo)系的位姿，也就是 坐標(biāo)系經(jīng)A矩陣變換而成i號(hào)坐標(biāo)系。變換矩陣為：4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.1 D-H坐標(biāo)系的確立 2.桿件上坐標(biāo)系的確定4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

13、4.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解可分為正解問題和逆解問題。 正解問題是指已知各桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，求末端執(zhí)行器的空間位姿，即求 。 逆解問題則是已知滿足某工作要求時(shí)末端執(zhí)行器的空間位姿，即已知 矩陣 中各元素的值以及各桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)，求關(guān)節(jié)變量。 逆解問題是機(jī)器人學(xué)中非常重要的問題，是對(duì)機(jī)器人控制的關(guān)鍵。因?yàn)橹挥星蟮酶麝P(guān)節(jié)變量，才能使末端執(zhí)行器達(dá)到工作要求的位置和姿態(tài)。4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解 以PUMA560機(jī)器人為例介紹機(jī)器人連桿坐標(biāo)系及D-H參數(shù)的確定。 PUMA560是一個(gè)六自由度機(jī)器人，所有關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。和大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人一樣，PUMA56

14、0機(jī)器人的后3個(gè)關(guān)節(jié)軸線相交于同一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)可以選作連桿坐標(biāo)系4、5和6號(hào)的原點(diǎn)，坐標(biāo)系建立如圖所示。1.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解 PUMA560機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)表各齊次變換陣為：4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 各齊次變換陣為：式中，令：4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解 上面介紹了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中給定各關(guān)節(jié)變量時(shí)，求坐標(biāo)變換矩陣的方法， 該坐標(biāo)變換矩陣表示了從基礎(chǔ)坐標(biāo)系觀察到末端執(zhí)行器的位置和方向。而機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題就是求機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解，是上述問題的逆命題，即給定末端執(zhí)行器位置和方向在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的值，求其相對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)的變位量。并據(jù)此

15、控制機(jī)器人各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，從而完成所規(guī)劃的軌跡。2.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解4.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解 一般當(dāng)末端執(zhí)行器的位置和方向給定，求解滿足給定條件的各關(guān)節(jié)的變位量問題時(shí)其解不一定是唯一的。例如：當(dāng)機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)不足6個(gè)時(shí)，無論怎樣確定各關(guān)節(jié)的變位量， 都會(huì)存在一些不能實(shí)現(xiàn)的位置和方向；當(dāng)關(guān)節(jié)數(shù)大于6個(gè)時(shí)，實(shí)現(xiàn)給定的位置和方向的各關(guān)節(jié)的變位量又不能唯一確定；即使機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)為6個(gè)，當(dāng)對(duì)各關(guān)節(jié)的變位量進(jìn)行解析求解時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)求不出數(shù)值解的情況。在6關(guān)節(jié)的情況下，其具有解析解的充分條件是“連續(xù)三個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸交匯于一點(diǎn)”。在大多數(shù)工業(yè)用多關(guān)節(jié)機(jī)器人上，其手腕的三個(gè)

16、關(guān)節(jié)都設(shè)計(jì)為滿足這一條件。2.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解4.4 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣 微分運(yùn)動(dòng)（微分變換）是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)研究中的一個(gè)重要概念。通過微分變換可以獲得機(jī)器人各桿件間的微動(dòng)位置、速度及力和力矩的變化關(guān)系。在研究微分運(yùn)動(dòng)的過程中又將引出一個(gè)重要的概念雅可比矩陣，雅可比矩陣是一個(gè)重要的微分運(yùn)動(dòng)研究分析工具。 微分運(yùn)動(dòng)指機(jī)構(gòu)的微小運(yùn)動(dòng)，可用來推導(dǎo)不同部件之間的速度關(guān)系。機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致機(jī)器人手部坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，包括微分平移與微分旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。微分變換是解決機(jī)器人實(shí)用技術(shù)問題的重要手段，例如，在機(jī)器人末端執(zhí)行器前一桿件上設(shè)置一個(gè)電視攝像機(jī)或其他測(cè)量器，取得視覺或其他測(cè)量信息，

17、經(jīng)過信息處理后，可以指示和控制末端執(zhí)行器產(chǎn)生一定的微分運(yùn)動(dòng)使末端執(zhí)行器的位姿達(dá)到期望值，偏差得以糾正，進(jìn)而保證機(jī)器人的工作精度。4.4 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣考慮機(jī)械手的手爪位姿 和關(guān)節(jié)變量 的關(guān)系用正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示為： 假設(shè)手爪位置包含表示姿態(tài)的變量，關(guān)節(jié)變量由回轉(zhuǎn)角和平移組合而成的情況。若上式用每個(gè)分量表示： 若nm，手爪位置的關(guān)節(jié)變量有無限個(gè)解，通常工業(yè)用機(jī)器人有3個(gè)位置變量和3個(gè)姿態(tài)變量，共6個(gè)自由度（變量）。由于工業(yè)上一般不采用冗余機(jī)器人結(jié)構(gòu)， 所以n=m=6。4.4 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣 J 表示了手爪速度與關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系，稱之為雅克比矩陣。將式 兩邊乘以 ，可得到微小位移之間的

18、關(guān)系式：將式 的兩邊對(duì)時(shí)間t 微分，可得到：4.4 微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣以前面講過的2自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人為例：J1列表示第2關(guān)節(jié)固定（即 ），僅第1關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，指尖平移速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系上表示出的向量；J2同樣。4.5 動(dòng)力學(xué)概述 機(jī)器人是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，對(duì)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的力和運(yùn)動(dòng)之間關(guān)系與平衡進(jìn)行研究，主要研究動(dòng)力學(xué)正問題和動(dòng)力學(xué)逆問題兩個(gè)方面，在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩（驅(qū)動(dòng)力）的作用下產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化，或與外載荷取得靜力平衡，同時(shí)機(jī)器人控制系統(tǒng)是多變量的、非線性的自動(dòng)控制系統(tǒng)，也是動(dòng)力學(xué)耦合系統(tǒng)，每一個(gè)控制任務(wù)本身就是一個(gè)動(dòng)力學(xué)任務(wù)。 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)和受力之間的關(guān)系，主要研究產(chǎn)生運(yùn)

19、動(dòng)所需要的力，目的是對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制、優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真。4.5 動(dòng)力學(xué)概述4.5.1虛位移與虛功原理 機(jī)器人在工作狀態(tài)下會(huì)與環(huán)境之間引起相互作用的力和力矩。機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力和力矩，通過連桿傳遞到末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和力矩與末端執(zhí)行器施加的力和力矩之間的關(guān)系是機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。 對(duì)于非自由質(zhì)點(diǎn)系，由于約束的存在，系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的位移將受到一定的限制。有些位移是約束所允許的，而另一些位移則是約束不允許的。在給定瞬時(shí)，約束所允許的系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)任何無限小的位移稱為虛位移(Virtual displacement)。4.5 動(dòng)力學(xué)概述4.5.1虛位移與虛功原理 虛

20、位移不表示質(zhì)點(diǎn)系的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，與作用在質(zhì)點(diǎn)系的力、初始條件及時(shí)間無關(guān)，由約束的性質(zhì)決定，它有無數(shù)組；實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)系在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的位移，它與作用在質(zhì)點(diǎn)系的力、初始條件、時(shí)間及約束有關(guān)，在某一位置，它只有一組。 虛功原理：約束力不作功的力學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平衡的必要且充分條件是對(duì)結(jié)構(gòu)上允許的任意位移（虛位移）施力所作功之和為零。下面看一個(gè)例子來理解一下實(shí)際上如何使用虛功原理。4.5 動(dòng)力學(xué)概述4.5.1虛位移與虛功原理 例：已知作用與杠桿一端的力FA，試用虛功原理求作用于另一端的力FB，杠桿長度已知 當(dāng)力FA向下取正，F(xiàn)B向上為正，此時(shí)，假設(shè)FA為正值（向下），根據(jù)上式， FB為負(fù)值，即FB方向向下。4

21、.5 動(dòng)力學(xué)概述4.5.2 機(jī)器人靜力學(xué)關(guān)系式的推導(dǎo) 現(xiàn)在虛功原理來推導(dǎo)機(jī)器人的靜力學(xué)關(guān)系式。以圖所示的機(jī)械手為研究對(duì)象，要產(chǎn)生圖(a)所示的虛位移，推導(dǎo)出圖(b)所示各力之間的關(guān)系式。這一推導(dǎo)方法本身也適用于一般的情況。 (a)虛位移 (b)施加的力如果施加在機(jī)械手上的力作為手爪力的反力（-F）時(shí)，機(jī)械手的虛功可表示為：應(yīng)用虛功原理： 手爪的虛位移 和關(guān)節(jié)虛位移 之間的關(guān)系，可用雅可比矩陣表示：代入得：上式對(duì)任何的 都成立，即：上式表示產(chǎn)生手爪力F的驅(qū)動(dòng)力例：在圖示位置時(shí)，求生成手爪力 FA、 FB 的驅(qū)動(dòng)力A 、B驅(qū)動(dòng)力的大小為手爪力的大小和手爪力到作用線距離的乘積。4.5 動(dòng)力學(xué)概述4.

22、5.3 慣性矩的確定 動(dòng)力學(xué)不僅與驅(qū)動(dòng)力有關(guān)，還與繞質(zhì)心的慣性矩有關(guān)。如圖所示，若將力F作用到質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的平移運(yùn)動(dòng)，看作是運(yùn)動(dòng)方向的標(biāo)量，則可以表示為: 表示加速度。若把這一運(yùn)動(dòng)看作是質(zhì)量可以忽略的棒長為r的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則得到加速度和力的關(guān)系為： 和N是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性矩。因?yàn)椋毫睿旱茫?上式表示質(zhì)點(diǎn)繞固定軸進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式，I稱為慣性矩，相當(dāng)于平移運(yùn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)量。4.5 動(dòng)力學(xué)概述4.5.3 慣性矩的確定 對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，求解其慣性矩，可以將其分割成假想的微小物體， 然后再把每個(gè)微小物體的慣性矩加在一起。微小物體的質(zhì)量 及其微小體積 的關(guān)系，可用密度 表示為： 微

23、小物體的慣性矩 ，依據(jù) ，得到：4.5 動(dòng)力學(xué)概述4.5.4運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)的關(guān)系 如圖所示，在機(jī)器人的手爪接觸環(huán)境時(shí)，手爪力F與驅(qū)動(dòng)力 的關(guān)系起重要作用，在靜止?fàn)顟B(tài)下處理這種關(guān)系稱為靜力學(xué)（statics）。在考慮控制時(shí)，就要考慮在機(jī)器人的動(dòng)作中，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力 會(huì)產(chǎn)生怎樣的關(guān)節(jié)位置 、關(guān)節(jié)速度 和關(guān)節(jié)加速度 ，處理這種關(guān)系稱為動(dòng)力學(xué)（dynamics）。 運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)中各變量的關(guān)系如圖所示。用虛線表示的關(guān)系可通過實(shí)線關(guān)系的組合表示，這些也可作為動(dòng)力學(xué)的問題來處理。 對(duì)于動(dòng)力學(xué)來說， 除了與連桿長度 有關(guān)之外， 還與各連桿的質(zhì)量 ，繞質(zhì)量中心的慣性矩 ， 連桿的質(zhì)量中心與關(guān)節(jié)軸的距離 有關(guān)，如圖所示。4.6 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程式 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)主要研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)與關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力（矩）間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。動(dòng)力學(xué)同運(yùn)動(dòng)學(xué)類似，也有正逆問題。 正問題是已知機(jī)器人各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度（即運(yùn)動(dòng)軌跡）