高等數(shù)學(xué)第九章二重積分

1、高等數(shù)學(xué)第九章二重積分第1頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四一、二重積分的概念 1定義 ： 2幾何意義： 表示曲頂柱體的體積3物理意義： 的質(zhì)量. 第2頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四二、二重積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：2. 可加性： 4. 單調(diào)性：3. 區(qū)域 的面積：若在 上, ,則第3頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四設(shè)5估值性質(zhì)：6中值定理：則在 上至少存在一點(diǎn) , 使得是 的面積， 7.奇偶對(duì)稱性：, 是 的面積0D關(guān)于x(或y)軸對(duì)稱, f(x,y)為y(或x)的奇函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)域 上連續(xù), D關(guān)于x(或y)軸對(duì)

2、稱, f(x,y)為y(或x)的偶函數(shù)則第4頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四三、二重積分的計(jì)算方法 1利用直角坐標(biāo)計(jì)算（1）X-型區(qū)域： .關(guān)鍵：選擇積分次序第5頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四（2）Y-型區(qū)域： 2利用極坐標(biāo)計(jì)算 第6頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四四、二重積分的解題方法計(jì)算二重積分主要應(yīng)用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)兩種方法, 在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵是首先判別區(qū)域 的類型(X-型或Y-型 ), 然后把二重積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于 和 的二次積分. 而應(yīng)用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，關(guān)鍵是判別被積函數(shù) 及區(qū)域所具有的特點(diǎn), 如

3、果被積函數(shù) 或積分區(qū)域是圓域(圓域的一部分), 則把二重積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于 和 的二次積分.第7頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四 應(yīng)用極坐標(biāo) 應(yīng)用直角坐標(biāo)D為圓域 NoYesYesNoNoYesNoYes -X型 D-Y型 D-X型 解題方法流程圖12第8頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四五、交換二次積分次序的方法 交換二次積分的次序 ，其實(shí)質(zhì)是把二重積分化為二次積分的逆問題。改變積分次序應(yīng)首先對(duì)給定的二次積分求出其對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域 , 其次要判斷 的類型, 然后再根據(jù) 的類型, 將二重積分化為另一次序的二次積分。1解題方法流程圖第9頁(yè)，共

4、35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四改變二次積分的積分次序由 分別確定 由 分別確定 YesYesNoNoD-Y型D-X型第10頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四六、二重積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用（其中 ）2物理應(yīng)用 （1）質(zhì)量 （2）質(zhì)心 （3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 曲頂柱體的體積 第11頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【例1】根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較積分 與 的大??；其中 是三角形的閉區(qū)域,三個(gè)頂點(diǎn)分別為 , , .解: 積分區(qū)域如圖所示.2. 典型例題 分析 由二重積分的性質(zhì)可知，比較兩個(gè)積分的大小, 只需比較被積函數(shù)在積分區(qū)域上的大小即可

5、。一般要考慮到所圍成的區(qū)域 特點(diǎn)，二要恰當(dāng)運(yùn)用不等式證明的方法。 .第12頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四從而 故 于是 由二重積分的性質(zhì)可知：【例2】利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分 的值；其中分析 由二重積分的性質(zhì)可知，估計(jì)積分 的值，只需估計(jì)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的最大值和最小值即可。所以 ; 又因?yàn)?內(nèi)的點(diǎn)滿足由于 位于直線 的下方,故在 內(nèi)有 ,第13頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四解: 積分區(qū)域如圖所示.故由二重積分的性質(zhì)可知即 亦即 由于在 上 .第14頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【例3】計(jì)算二重積分 ,

6、其中 是由直線及曲線 所圍成的閉區(qū)域. 分析 首先應(yīng)畫出區(qū)域 的圖形,然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算。本題可采用直角坐標(biāo)計(jì)算，即框圖中線路1的方法。注意到 既是X-型區(qū)域, 又是Y-型區(qū)域, 但若用Y-型區(qū)域計(jì)算，需把 分割成兩個(gè)Y-型區(qū)域的和的形式. 故本題選擇先對(duì) 積分后對(duì) 積分的次序計(jì)算比較簡(jiǎn)單.第15頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四解： 積分區(qū)域如圖所示.將二重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì) 對(duì)后 的二次積分，得注：若本題將二重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì) 后對(duì) 的二次積分,則計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。積分區(qū)域 為X- 型區(qū)域，.第16頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【

7、例4】計(jì)算二重積分 其中分析 首先應(yīng)畫出區(qū)域 的圖形,然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算。本題可采用直角坐標(biāo)計(jì)算, 即框圖中線路1的方法。 注意到 既是 型區(qū)域, 又是 型區(qū)域，而無(wú)論 型區(qū)域或 型區(qū)域都不能用一個(gè)不等式組表出, 均需要把 分割成兩個(gè) 型區(qū)域或兩個(gè) 型區(qū)域的和的形式。 不妨把 分成解: 積分區(qū)域如圖所示.型區(qū)域的和 來(lái)計(jì)算兩個(gè)第17頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四將二重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì) 后對(duì) 的二次積分,得因 其中第18頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四分析 首先畫出區(qū)域 的圖形。由于積分區(qū)域 為扇形區(qū)域的一部分，且被積函數(shù)呈現(xiàn)

8、 的形式, 故可考慮利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，即用框圖中線路2的方法計(jì)算本題比較簡(jiǎn)便。解: 積分區(qū)域如圖所示.在極坐標(biāo)系下，由于 【例5】計(jì)算二重積分 其中 是由圓周 ,及直線 , 所圍成的第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.第19頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下先對(duì) 后對(duì) 的二次積分,得 【例6】 計(jì)算二重積分 . 其中 是圓周所圍成的閉區(qū)域。分析 由于積分區(qū)域 為圓域，且被積函數(shù)呈現(xiàn) 的形式, 故本題利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，即用框圖中線路2的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。第20頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四在極坐標(biāo)系下，由于解: 積分區(qū)域如圖所示.

9、將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下先對(duì) 后對(duì) 的二次積分, 得.第21頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四注: 若注意到積分區(qū)域 關(guān)于 軸對(duì)稱, 而被積函數(shù)關(guān)于 為偶數(shù),則利用對(duì)稱性可得（其中 ) 這樣在計(jì)算中就不會(huì)出現(xiàn) 的形勢(shì), 也就避免了出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.第22頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【例7】計(jì)算二重積分其中分析 由于被積函數(shù) 中含有絕對(duì)值, 所以應(yīng)首先在給定的積分區(qū)域 內(nèi),求出 的解析表達(dá)式，即去掉絕對(duì)值。利用曲線 將積分區(qū)域 分成兩部分型區(qū)域，且被積函數(shù)先對(duì) 積分比較容易, 故在直角和 則 , 而 和 均為坐標(biāo)系中將二重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì) 后對(duì)

10、的二次積分, 然后分別計(jì)算即可.第23頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四因?yàn)?其中 則 解: 積分區(qū)域如圖所示.第24頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四分析首先在給定的積分區(qū)域 內(nèi)，求出被積函數(shù)的積分表達(dá)式，即去掉最大符號(hào) ，然后計(jì)算二重積分。解：積分區(qū)域 如圖所示. 其中 ,其中 【例8】計(jì)算二重積分則因 ,于是 .第25頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【例9】設(shè)區(qū)域 計(jì)算二重積分分析 由于積分區(qū)域 關(guān)于 軸對(duì)稱，故先利用二重積分的化為二次積分進(jìn)行計(jì)算即可。其中 然后再利用極坐標(biāo)將 對(duì)稱性簡(jiǎn)化所求的積分.因是關(guān)于變量

11、為偶函數(shù)，關(guān)于 為奇函數(shù)，故第26頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四解： 【例10】設(shè) 有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且 求第27頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四分析 本題是二重積分的計(jì)算、變上限積分求導(dǎo)和求極限的綜合題目。應(yīng)首先利用極坐標(biāo)將二重積分轉(zhuǎn)化成積分變上限的函數(shù)，然后再利用洛必達(dá)法則求極限。 解： 型 型第28頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【例11】 求上半球面 與旋轉(zhuǎn)拋物面 所圍成的立體的體積。分析 首先求出立體在 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，然后利用二重積分的幾何意義將所求立體的體積用二重積分來(lái)表示，再利用極坐標(biāo)計(jì)算即可。

12、解：令 求得曲線在 坐標(biāo)面上的投影曲線方程為故立體在 坐標(biāo)面上投影區(qū)域?yàn)榈?9頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四由二重積分的幾何意義，可知所求立體的體積為第30頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【例12】改變 的積分次序。分析 由于二次積分是先對(duì) 后對(duì) ,故應(yīng)按框圖中線路2的方法計(jì)算。首先將二次積分 與還原成二重積分，由此找出積分區(qū)域最后便可將給定的二次積分轉(zhuǎn)化為先對(duì) 后對(duì) 的二次積分。用另一種形式的不等式組表示，與 然后再將解: 設(shè) 第31頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四則 令 ，則 畫出 的圖形如圖所示. 再把二重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì) 后對(duì) 的二次積分， 有可知 為 型區(qū)域; 且.第32頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四【例13】計(jì)算 分析 由于被積函數(shù)為 如果先對(duì)變量 積分, 則會(huì)遇到原函數(shù) 求不出的問題, 所以計(jì)算二次積分的問題就歸結(jié)為改變積分次序的問題，即把二次積分化成先對(duì) 后對(duì)的二次積分，亦即按框圖中線路1的方法進(jìn)行計(jì)算。解：由于 可以表示成 型區(qū)域(如圖)所以 .第33頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)30分，星期四（令 ) 【例14】證明 分析 觀察所