考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義詳細(xì)版

1、文檔編碼 : CA2Z5U6E7U8 HA9X5X7J2B9 ZK1G5O10J4V72022 年考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第一章 函數(shù),極限,連續(xù) 函數(shù) （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一,函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義 設(shè) D 是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集,假如有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)劃 f,對(duì)每一個(gè) x D ,都能 對(duì)應(yīng)惟一的一個(gè)實(shí)數(shù) y,就這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)劃 f 稱(chēng)為定義在 D 上的一個(gè)函數(shù),記以 y=fx,稱(chēng) x 為函數(shù)的自變量, y 為函數(shù)的因變量或函數(shù)值, D 稱(chēng)為函數(shù)的定義域, 并把實(shí)數(shù)集 Z y | y f x, x D稱(chēng)為函數(shù)的值域； 2.分段函數(shù) 假如自變量在定義域內(nèi)不同的值, 函數(shù)不能用同一個(gè)表達(dá)式表示, 而要用兩

2、上或兩個(gè)以上的表達(dá)式來(lái)表示；這類(lèi)函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)； 例如 y f x x 1x1 是一個(gè)分段函數(shù),它有兩個(gè)分段點(diǎn), x 1 和 x1,它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不 同,因此爭(zhēng)論函數(shù) y=fx在分段點(diǎn)處的極限,連續(xù),導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí),必需分別先 爭(zhēng)論左,右極限,左,右連續(xù)性和左,右導(dǎo)數(shù)；需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)一般不是初 等函數(shù),不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理； 3.隱函數(shù) 形如 y=fx有函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù),由方程 F（x,y）=0 確定的 yyx稱(chēng)為隱函 數(shù),有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不愿定是一個(gè)單值函數(shù)） ,而有些隱函數(shù)就不 能化為顯函數(shù)； 4.反函數(shù) 假如 y=fx可以解出 x y 是一個(gè)函數(shù)（單值

3、）,就稱(chēng)它為 fx的反函數(shù), 記以 x f 1 y ；有時(shí)也用 y f 1 x 表示； 二,基本初等函數(shù) 1.常值函數(shù) 2.冪函數(shù) 3.指數(shù)函數(shù) y C（常數(shù)） y x （ 常數(shù)） y ax （a0,a1 常數(shù)） 1第 1 頁(yè),共 130 頁(yè)4.對(duì)數(shù)函數(shù) y ex （e,無(wú)理數(shù)） y log a x （a0,a1 常數(shù)） 常用對(duì)數(shù) y log 10 x lg x 自然對(duì)數(shù) y log e x ln x 5.三角函數(shù) y sin x; y cos x; y tan x. y cot x; y secx; y cscx. 6.反三角函數(shù) y arcsin x; y arc cos x; y arc

4、tanx; y arc cot x. 基本初等函數(shù)的概念, 性質(zhì)及其圖像特別重要,影響深遠(yuǎn)；例如以后常常會(huì) 1 1用 lim arctanx ； lim arctanx ； lim x x x 0 ex ； lim x 0 ex ； lim ln x 0 x 等等,就需要對(duì) y arctanx , y ex , y ln x 的圖像很清楚； 三,復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù) 1.復(fù)合函數(shù) 設(shè) y f u 定義域 U u g x 定義域 X,值域 U* *假如 U U,就 y f g x 是定義在 X 上的一個(gè)復(fù)合函數(shù),其中 u 稱(chēng)為中 間變量； 2.初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四就運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成

5、的用一個(gè)分析表達(dá)式表 示的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù)； 四,函數(shù)的幾種性質(zhì) 1.有界性：設(shè)函數(shù) y=fx在 X 內(nèi)有定義,如存在正數(shù) M ,使 x X 都有 f x M ,就稱(chēng) fx在 X 上是有界的； 2. 奇偶性：設(shè)區(qū)間 X 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),如對(duì) x X ,都有 f x f x , 就稱(chēng) f x 在 X 上是奇函數(shù)；如對(duì) x X ,都有 f x f x ,就稱(chēng) f x 在 X 上 是偶函數(shù)；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)； 3. 單調(diào)性：設(shè) f x 在 X 上有定義,如對(duì)任意 x1 X, x2 X, x1 x2 都有 2第 2 頁(yè),共 130 頁(yè)f x1 f x2 f x1 f

6、x2 ,就稱(chēng) f x 在 X 上是單調(diào)增加的 單調(diào)削減的 ； x2 都有 f x1 f x2 f x1f x2 ,就稱(chēng) f x 如對(duì)任意 x1 X, x2 X, x1 在 X 上是單調(diào)不減 單調(diào)不增 ； （留意： 有些書(shū)上把這里單調(diào)增加稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)增加； 把這里單調(diào)不減稱(chēng)為 單調(diào)增加；） 4. 周期性： 設(shè) f x 在 X 上有定義, 假如存在常數(shù) T 0 ,使得任意 x X , x T X ,都有 f x T f x ,就稱(chēng) f x 是周期函數(shù),稱(chēng) T 為 f x 的周期； 由此可見(jiàn), 周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期, 一般我們把其中的最小正周期稱(chēng)為周 期； （乙）典型例題 一,求函數(shù)的定義域 【例

7、 1】 求函數(shù) f x ln ln ln x 100 x 2 的定義域； 解 lnlnln x 要有定義, x e , 100 x2 要有定義, x2 100,x 10 , 因此, f x 的定義域?yàn)?e,10【例 2】 求 y x x 15的定義域； 1 的定義域； 1aln x 解 x x 要有定義, x 1 和 x 015要有定義, x 5,x 4,x 6 , ln x 因此,定義域?yàn)?01,44,55,66, 【例 3】 設(shè) f x 的定義域?yàn)?a,a a 0 ,求 f 2 x 解 要求 a2 x 1 a ,就 1 a2 x 1 a , 當(dāng) a 1 時(shí), 1a 0 , 2 x 1 a

8、,就 x 當(dāng) 0 a 1 時(shí), 1 a 0 , 1ax 1a也即 1ax 1 a 或 1ax 1a3第 3 頁(yè),共 130 頁(yè)1,0 x 2【例 4】 設(shè) g x 2,2 x 4 求 f x g 2x g x 1 的定義域, 并求 f 3 . 2解 g x 的 定 義 域 為 0,4, 要 求 0 2x 4, 就 0 x 2 ； 要 求 0 x 1 4,就 1 x 5 ,于是 f x 的定義域?yàn)?1,2； 3 1又 f g 3 g 2132 2二,求函數(shù)的值域 【例 1】 求 y 3 e13 x 1 的值域； 解 我們先求出反函數(shù),它的定義域就是原先函數(shù)的值域； ln y 113 , x 11

9、, y 0 ,且 y 1 3x 3ln3x 3 1 1 , 它的定義域 y ln 3 y 所以原先函數(shù)的值域?yàn)?0,1 1, ； 三,求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式 1.已知 fx和 gx,求 fgx. 【例 1】 已知 f x x ,求 f 11. （ x 1） x 1f x 解 f x 1x 1 1, x 1 11x 1x 1f x 于是, f 11f x 1 x 11 x 1（ x 1, x 2 ） f x x 1 x2【例 2】 設(shè) f x 1x ,求 f f f x f n x . x2 n 重復(fù)合 解 f2 xf f x 1f x 1x 11x2 2 x x 2, f 2 x 2 x 1 2

10、x4第 4 頁(yè),共 130 頁(yè)如 fk x 1x ,就 fk 1 x f x x 11 kx x2 22 kx 2 1 fk x 1 kx 2x 1k 2 1x n, fn x 1x 依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)正整數(shù) 2 nx 2.已知 gx和 fgx,求 fx. 【例 1】 設(shè) f e x1 e2 x ex x ,求 fx. 解 令 e x 1 u , x ln u 1 f u u 1 2u 1 ln u 1 u 2 u ln u 1 于是 f x 2 x x l n x 1 x 【例 2】 已知 f e x xe ,且 f 1 0 ,求 fx. 解 令 ex t, x ln t ,因此 f e

11、 x f t ln t , t x f x f 1 1t x ln tdt 1 ln 2 2 t 1 1 ln 2 2x f 1 0 , f x 1 ln 2 x 2四,有關(guān)四種性質(zhì) 【例 1】 設(shè) F x f x ,就以下結(jié)論正確選項(xiàng)（ ）. （A）如 fx為奇函數(shù),就 Fx為偶函數(shù) （B）如 fx為偶函數(shù),就 Fx為奇函數(shù) （C）如 fx為周期函數(shù),就 Fx為周期函數(shù) （D）如 fx為單調(diào)函數(shù),就 Fx為單調(diào)函數(shù) 3解 B 不成立,反例 f x x , F x 2 x 13C不成立,反例 f x cos x 1, F x sin x x D 不成立,反例 f x 2 x, F x x 2

12、在 , 內(nèi) A 成立； 5第 5 頁(yè),共 130 頁(yè)證明 F x F 0 x 0f t d t為, 奇 函數(shù), 數(shù) , f x f ud u F x F 0 0 x f t dt F 0 0F 0 x f u du F x F x 為偶函數(shù)； 0【例 2】 求 I 15 x x x e x e ln x 2 x 1 dx. 1解 f1 x x eex 是 奇 函 f1 x ex ex f1 x, f2 x ln x 2 x 1 是奇函數(shù), f x ln x 2 x 1 x ln x 2 1 x 2 x 1ln1 ln x 2 x 1 f2 x 因此 x e x x e ln x 2 x 1 是

13、奇函數(shù)； 于是 I 1x 6 dx 01 2 x 06dx 2； 17【例 3】 兩個(gè)周期函數(shù)之和是否仍是周期函數(shù)？ 解 不愿定 （1） f x sin x 2cos x 3x f1 x sin 2x f2 x cos 3周期為 4 周期為 6 4 和 6 的最小公倍數(shù)12 為 f x 是以 12 為周期的函數(shù) （2） f x sin 2 x cos x f1 x sin 2 x 周期為 f2 x c os x 周期為 2 和 2 沒(méi)有最小公倍 數(shù) x 不是周期函數(shù) （3） f x sin 2 x 1 sin 2 x f1 x sin 2 x 周期為 6第 6 頁(yè),共 130 頁(yè)f2 x 1

14、sin 2 x 周期為 雖然 f1 x , f2 x 不但都是周期函數(shù),而且它們的周期有最小公倍數(shù)； 但是 f x f1 x f 2 x 1 ,卻不是周期函數(shù)； （由于沒(méi)有最小正周 期；） 【 例 4 】 設(shè) f x , g x 是 恒 大 于 零 的 可 導(dǎo) 函 數(shù) , 且 f x g x f xg x 0 ,就當(dāng) a x b 時(shí),以下結(jié)論成立的是（ ） A f x gb f b g x B f xga f a g x C f xg x f b gb D f xg x f ag a 解 f x 2 1 f xg x f x g x 0 , f x 單調(diào)削減 g x g x g x 于是 xN

15、 時(shí),就有 xn A . （2） lim x f x A 任給 0 ,存在正整數(shù) X,當(dāng) xX 時(shí),就有 f x A （3） lim x f x A . 任給 0 ,存在正整數(shù) X,當(dāng) xX 時(shí),就有 f x A （4） lim f x x A 任給 0 ,存在正整數(shù) X,當(dāng)|x|X 時(shí),就有 f x A （5） lim x x0 f x A 7第 7 頁(yè),共 130 頁(yè)任給 0 ,存在正數(shù) ,當(dāng) 0 x x0 時(shí),就有 f x A ； （6） lim f x A （用 f x0 0 表示） x x0 任給 0 ,存在正數(shù) ,當(dāng) 0 x x0 時(shí),就有 f x A （7） lim f x A

16、（用 f x0 0表示） x x0 任給 0 ,存在正數(shù) ,當(dāng) x x0 0 時(shí),就有 f x A ； 其中 f x0 0 稱(chēng)為 f x 在 x0 處右極限值, f x0 0稱(chēng)為 f x 在 x0 處左極 限值； 有時(shí)我們用 lim f x A 表示上述六類(lèi)函數(shù)的極限,它具有的性質(zhì),上述六 類(lèi)函數(shù)極限皆具有這種性質(zhì)；有時(shí)我們把 xn f n ,即數(shù)列極限也看作這種抽 象的變量的極限的特例,以便于爭(zhēng)論； 2. 極限的基本性質(zhì) 定理 1（極限的惟一性）設(shè) lim f x A, lim f x B ,則 A B ； 定理 2（極限的不等式性質(zhì)）設(shè) lim f x A, lim g x B 如 x 變

17、化確定以后,總有 f x g x ,就 A B 定理 3反之, A B ,就 x 變化確定以后,有 f x g x （注：當(dāng) g x 0, B 0 情形也稱(chēng)為極限的保號(hào)性） （極限的局部有界性） 設(shè) lim f x A ,就當(dāng) x 變化確定以后, f x 有界的； 定理 4設(shè) lim f x A, lim g x B 就 （1） lim f x g x A B （2） lim f x g x A B （3） lim f x g x A B （4） lim f x A B 0gx B 8第 8 頁(yè),共 130 頁(yè)（5） lim f x g x B A A 0二,無(wú)窮小量 1. 無(wú)窮小量定義：如

18、lim f x 0 ,就稱(chēng) f x 為無(wú)窮小量 （注：無(wú)窮小量與 x 的變化過(guò)程有關(guān), lim 10 ,當(dāng) x 時(shí) 為無(wú)窮小量, 1x x x 而 x x0 或其他時(shí), 1 不是無(wú)窮小量） x 2. 無(wú)窮大量定義：任給 M 0 ,當(dāng) x 變化確定以后,總有 f x M,就 稱(chēng) f x 為無(wú)窮大量,記 lim f x ； 3. 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：在 x 的同一個(gè)變化過(guò)程中,如 f x 為無(wú) 窮大量,就 1 為無(wú)窮小量,如 f x 為無(wú)窮小量且 f x 0 ,就 1 為無(wú)窮 f x f x 大量； 4. 無(wú)窮小量與極限的關(guān)系 o g x lim f x A f x A a x 其中 lim

19、 a x 05. 兩個(gè)無(wú)窮小量的比較 設(shè) lim f x 0,limg x 0 ,且 lim f x lg x 1 l0 ,稱(chēng) f x 是比 g x 高階的無(wú)窮小量,記以 f x 稱(chēng) g x 是比 f x 低階的無(wú)窮小量, 2 l 0 ,稱(chēng) f x 與 g x 是同階無(wú)窮小量； 3 l 1,稱(chēng) f x 與 g x 是等價(jià)無(wú)窮小量,記以 f x g x 6. 常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小量 當(dāng) x 0 時(shí) sin x x,tan x x,arcsin x x,arctanx x 1 cosx 1 x 2,e x1 x,ln1 x x,1 x a1 ax （ a 為實(shí)常數(shù)）； 27. 無(wú)窮小量的重要性質(zhì) 有界

20、變量乘無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量； 三,求極限的方法 1. 利用極限的四就運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法就 2. 兩個(gè)準(zhǔn)就 準(zhǔn)就 1 單調(diào)有界數(shù)列極限確定存在； 9第 9 頁(yè),共 130 頁(yè)（1）如 xn 1xn （ n 為正整數(shù)）,又 xn m（ n 為正整數(shù)） n o x （ 為實(shí) 就 lim nxn A 存在且 A m（2）如 xn 1xn （ n 為正整數(shù)）,又 xn m（ n 為正整數(shù)） 就 lim nxn A 存在A m且 準(zhǔn)就 2 （夾逼定理）設(shè) g x f x h x 如 lim g x A,limh x A,就 lim f x A 3. 兩個(gè)重要公式 公式 1 lim x 0 sin x 1x

21、 公式 2 lim 1 n1ne； lim 1 u1ue； lim v 0 1 v 1 v enu4. 用無(wú)窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小量代換 5. 用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小量更深刻） 當(dāng) x 0 時(shí) ex1 x 2 x n x on x 2. n. sin x x 3 x 5 x 1n2n 1 x 2 n 1 o x 3. 5. 2n 1 . cosx 12 x 4 x 1n2 n x ox2 n 2. 4. 2n . ln 1 x x 2 x 3 x 1n1n x n o x 23narctan x x 3 x 5 x 1n2n 1 x 2n 1 o x 352n 11 x 1x 2. 1

22、2 x 1n. n1n x 常數(shù)） 6. 洛必達(dá)法就 法就 1 0 型 0設(shè)（ 1） lim f x 0 , lim g x 0（2） x 變化過(guò)程中, f x , g x 皆存在 10 第 10 頁(yè),共 130 頁(yè)（3） lim f x A （或 ） lim f x 不存 gx 就 lim f x A （或 ） gx 注：假如 lim f gx x 不存在且不是無(wú)窮大量情形,就不能得出 gx 在且不是無(wú)窮大量情形 法就 2 型 設(shè)（ 1） lim f x , lim g x （2） x 變化過(guò)程中, f x , g x 皆存在 （3） lim f x A （或 ） gx 就 lim f x

23、A （或 ） g x 7. 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 基本公式： lim x 0 f x0 x f x0 f x 0假如存在 x 8. 利用定積分定義求極限 基本公式： lim n1nf k 1f x dx 假如存在 nk 1 n09. 其他綜合方法 10. 求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法 （乙）典型例題 一,通過(guò)各種基本技巧化 簡(jiǎn)后直接求出極限 【例 1】 設(shè) am 0,bn0,求 lim x m amx am m 1 1 x a1 x a0 n b x b n1n 1 x b x b 0解 l i x m a x m b x m nam1m 1 x a x a00b n 1 x n 1 b x blim

24、 x mn x am am 1x 11m a1x a0 x mb nb x 11 n b x b x n11 第 11 頁(yè),共 130 頁(yè)0當(dāng) mnn 1 ar . 2 am 當(dāng) m時(shí) nbn 時(shí) 【例 2】 設(shè) a 當(dāng)nar m 0 , r時(shí) 1 ,求 lim a n解 l i ma ar nn ar 1a n1r nl i rm 1ar2n1特例：（1）求 lim n22223n1 1 3333解 例 2 中取 a2 , r 32 ,可知原式 1233253（2） lim n111n2422111n33233【例 3】 求 lim nn 1 32n. n 1 2n 3解 n 分子,分母用

25、3 除之, 原式 lim n322n332n13（注：主要用當(dāng) r n 1 時(shí), lim r n0 ） 【例 4】 設(shè) l 是正整數(shù),求 lim nn1. l k 1 kk 解 1k k l 111llk k n1l 111111 k k l2ln1nlk 1 12 第 12 頁(yè),共 130 頁(yè)因此 原式 1l1111 n 1d . 2l特例：（1） lim nn11 1（l 1） k 1 kk （2） lim nn12 1113（ l2） k 1 kk 224【例 6】 設(shè) d 0 為常數(shù),求 lim n11 d n2n2n2解 原式 lim n1n11 n 1d dn222特例： d 1

26、lim n12n12 nn2n22d 2 lim n132n 11n22 nn2【例 7】 求以下各極限 （1） lim x 01 x x 1 x （ 2） lim x 031 x 31 x x 解 （1）解一 原式 lim x 0 x 1 x 1 x 2 211 x 1 x 解二 原式 lim x 0 1 x 1x 1 x 1等價(jià)無(wú)窮小量代換 lim x 0 1x x x 122解三 用洛必達(dá)法就 111x 121 x 1 x 31 x 22原式 lim x 0 2 1 x 121（2）解一 原式 lim x 0 x 31 x 31 x 31 x 3解二 類(lèi)似（ 1）中解二用等價(jià)無(wú)窮小量代換

27、 13 第 13 頁(yè),共 130 頁(yè)解三 類(lèi)似（ 1）中解三用洛必達(dá)法就 11【例 8】 求以下極限 （1）設(shè) r 1 , lim1 nr 1 r22 n1 r （2） lim n11111122322 n解 （ 1）分子分母都乘 1-r ,就原式 lim n1rn1 21r1r（2）原式 lim 1 n11111111112233nn lim n1 3 2 4n1n1lim nn112 2 3 3nn2n 2二,用兩個(gè)重要公式 【例 1】 求 lim cos cos n 2 x 4 x cos 2 x n； 解 當(dāng) x=0 時(shí),原式 =1 n x x x x 2 sin n cos cos

28、cos n當(dāng) x0 時(shí),原式 = lim 2 2 4 2n2 sin n x n22 n1 cos cos x x cos x n 1 sin x n 1 = lim 2 4 2 2n2 sin n x n2x = lim n2 sin n sin x x n lim sin x x sin 2 nx n sin x x 2 2x nlim nsin 22 x n 1【例 2】 求以下極限 （1） lim x 12x 10 x 10 lim x 12（2） lim x 0 1x 1x 21x x x 2 x 10 2x 解 （ 1） lim n1x x 14 第 14 頁(yè),共 130 頁(yè) li

29、m x 1121x 2110 x lim 1 x x 0 1 1 12e1ee22e2x x 1lim 1 x x 0 1（2）解一 lim x 0 x x x x lim x 0 1 x 1e1 x e1x 11解二 lim x 0 x x lim x 0 1 x 2x x lim 1 x 0 12x 2x x 21x 1x x 【例 3】 求以下極限 （1） lim1 tan x x 0 cot x（2） lim x 141cos2 x xx 1 （3） limcos x cot 2 x x 0 解 （ 1）令 tan x t 就 cot x 1 ,當(dāng) x t 于是 lim1 tan x

30、x 0 c ox t lim1 t 0 t 1e0 時(shí) t 0（2）令 x 1 t 就 x 1t ,當(dāng) x 1 時(shí), t 0于是 lim x x 1 41lim1 t 0 4lim t 0 1 t 14e 4 t tx t cos2 x （3） limcos x cot 2 x x 0 lim1 x 0 sin x 2 2sin 2 x lim x 0 1 sin x 22 sin x 21 e 2三,用夾逼定理求極限 【例 1】 解 令 x n求 lim 13 5 2n 1 . n 2 4 6 2n 1 3 5 2n 1, y 2 4 6 2n 2 4 12n , 3 5 12n 1就 0

31、xnyn ,于是 0 2 x nx y n 2n 由夾逼定理可知 lim x 2 x 0 ,于是原極限為 0. 【例 2】 求以下極限 （1） lim nnk 1 1k nn1（2） lim nnn2k k n2k 1 nnn解 （ 1） n2nk 1 2k n2115 第 15 頁(yè),共 130 頁(yè)而 n l i m nn 2 nnl1 i m 1 1 n121lim nnn1lim n1112n2由夾逼定理可知 lim nnn1k 11k 1 2（2） 122nn12nnnk nk 1 n2nk n2n1nlim n1 nn l i 2 m n n 1 nn 21 2l i m 1nn22n

32、 n而 2就夾逼定理可知 lim 1 nn2n1n1 12 n 2 n12lim nnn2k 1k 1 nk 2四,用定積分定義求數(shù)列的極限 【例 1】 求 lim nnn2n2 k . . k 1 分析 假如仍想用夾逼定理中方法來(lái)考慮 n2nnn2n2n22 k 1 n 2 k n22 1而 lim nn22 nn21 , lim 2 nnn22 112由此可見(jiàn),無(wú)法再用夾逼定理,因此我們改用定積分定義來(lái)考慮 解 lim nnn 2 nk2 lim n1n12k 1 nk 1 1k n 1 dx 20 1 x 1 arctanx 04【例 2】 設(shè) p1,求 lim n1 p 2 p np

33、1 n p . 16 第 16 頁(yè),共 130 頁(yè)解 原式 lim n1nk pnk 1 n 1p x dx 0 1p1五,用洛必達(dá)法就求極限 1. “ 0 ”型和“ ”型. 01 sin 1【例 1】 求 lim n n3 1 n . sin n解 離散型不能直接用洛必達(dá)法就,故考慮 lim x sin x 3 等價(jià)無(wú)窮小代換 lim x sin x 3x 0 sin x x 0 x lim 1x 0 3x cosx 2 lim sin x 6x 6 1原式 1 . 612【例 2】 求 lim e x . x 0 x10 1解 如直接用“ 0 ”型洛必達(dá)法就 0 1,就得 lim x 0

34、x 210 x 3 e9 x 2lim x 0 e5x x 12 12（不好辦 了,分母 x 的次數(shù)反而增加）,為了防止分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性,我們先用變量替 換,令 1 t , x 2 1于是 li m x 0 ex 1 0 x 2 t l i m et t 5 t 5t t e l i“m ”型 4 lim t 5t e t t lim 5. e t 02. “- ”型和“ 0”型 . 【例 1】 求 lim x 0 1e1 x 1. x 17 第 17 頁(yè),共 130 頁(yè)解 lim x 0 1x ex 11 lim x 0 xe e x x 1 x 1 （“ 0”型） 0 lim x 0 e

35、 x e x 1 1xe x lim x 0 ex ex e x xe x lim 1 1x 0 2 x 22【例 2】 求 lim x 0 sin x 12 cos x x 2 . 2 2 2解 原式 lim x sin x cos x x 0 x 2 sin 2 x x 2 1 sin 2 2x lim 4 4x 0 x 2x 4 sin 2xcos2x lim x 0 4 4x 3x 1 sin 4 x lim 4x 0 2x 3 lim 1x 0 6x cos4x 2 lim x 0 4sin 4x 12x 43【例 3】 求 lim sin 2 xln x. x 0 解 原式 lim

36、 x 2ln x lim ln x 2 “ ”型 x 0 x 0 x 1 lim x 0 2 x x 3 00 03. “1 ”型,“0 ”型和“ ”型 g x lim g xln f x 這類(lèi)都是 lim f x 形式,可化為 e,而 lim g xln f x 都是 “ 0”型,按 2 的情形處理 . sin2 x 【例 1】 求 lim x x 0 . sin x ln x 20 （見(jiàn) 2 中例 3） 解 令 y x sin 2 x , ln y lim ln y x 0 2 lim sin xln x x 0 lim y x 0 0 e118 第 18 頁(yè),共 130 頁(yè)cot 2 x

37、 【例 2】 求 lim cos x x 0 （前面已用重要公式的方法） . 2解 令 y cos x cot x , ln y cot2 x ln cos x limln y x 0 limcot x 0 2 xln cosx lim x 0 ln cosx tan 2 x lim x 0 ln cosx x 2 1（“ 0”型） lim tan x 1 , lim y e 20 x 0 2x 2 x 0 x 【例 3】 求 lim sin 1 cos 1. x x x 1 1 x 1 1解 令 y sin cos , ln y xln sin cos x x x x 1 1ln sin c

38、os lim ln y lim x x lim lnsin t cost x x 1 t 0 t x lim t 0 cost sin t 1sin t cost lim x y e六,用無(wú)窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小量代換 【例 1】 求 lim n3n2n1sin n 2 1 . 2113n 1解 lim n3 n 2 3n n1lim n313110 , sin nnn2 1n3 1n0. 依據(jù)有界變量乘無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量,可知原式 【例 2】 求 lim x 0 1 cos 2 xarctan 3 x . 1ln1 2 xsin 5 x ex解 用等價(jià)無(wú)窮小量代換 原式 lim x 0

39、 1 2 x 3x 22x 2 x 5x 3519 第 19 頁(yè),共 130 頁(yè)2 1 3sin x x cos 【例 3】 求 lim x . 1 cos xln1 x x 0 解 這個(gè)極限雖是“ 0 ”型,但分子,分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在,因 0 此不能用洛必達(dá)法就 . 原式 lim 1 3 sin x x xcos 1 x 3x 0 1 cosx ln1 x 2x 七,用泰勒公式求極限 【例 1】 求 lim x 0 sin x x 1 x 63 . （當(dāng) x 0 時(shí)） 5 x 解 sin x x 3 x 5 x 5 o x 3. 5. 原式 lim x 0 5 x ox5 115.

40、 x5 5. 120 八,用導(dǎo)數(shù)定義求極限 【例 1】 設(shè) f x0 2 ,求 lim x 0 f x0 3 x f x0 2 x . 2x 解 原式 lim x 0 f x0 3 x f x0 x f x0 2 x f x0 3 lim x 0 f x0 3 x f x0 2 lim x 0 f x0 2 x f x0 3 x 2 x 3 f x0 2 f x0 5 f x0 10 【例 2】 設(shè)曲線 y f x 與 y sin x 在原點(diǎn)相切,求 lim nf 2 . n n解 由題設(shè)可知 f 0 0 , f 0 sin x x 01于是 linmf n2n2 f li m 2 n2f 0

41、f 2 0 n0n九,求遞歸數(shù)列的極限 20 第 20 頁(yè),共 130 頁(yè)lim n【例 1】 設(shè) a 0 , x1 b0 , x2 1x1 a, xn 1xn 1a1求 2x1 2xn xn . 解 xn xn 1a1a0 （算術(shù)平均值幾何平均值） xn 又 xn 1xn 1xn axn ax2 2xn 0 ,就 xn 1xn 2xn 存在 因此 xn 單調(diào)削減,又有下界,依據(jù)準(zhǔn)就 1, lim xn nA 把 xn 1xn 1a1兩邊取極限,得 A 1A a2xn 2A A2 a ,A 0,取 A a ,于是 lim nx na十,求分段函數(shù)的極限 【例 1】 求以下函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限

42、f x sin 2 x x0 2 x 1 cos x 解 f 0 0 lim x 0 sin 2x lim x 0 2 sin 2x 2x x f 0 0 lim x 0 2 x lim x 0 2 x 1 2 x 221 cos x lim f x x 0 2 1【例 2】 求 lim x 0 2ex sin x . 14 x ex 1解 lim x 0 2ex sin x 2114 x 1ex 21 第 21 頁(yè),共 130 頁(yè)lim x 0 2e 4e3sin x 011x x e41x x 1 lim x 0 2ex sin x 14x 1ex 十一,求極限的反問(wèn)題 2【例 1】 設(shè)

43、lim x 1 x sin x ax b21 3,求 a 和 b. 2解 由題設(shè)可知 lim x x 1 ax b 0 , 1+a+b=0 再對(duì)極限用洛必達(dá)法就 lim x 1 2 x ax b2sin x 1 lim x 1 2 x a 2 2 xcos x 1 2a3a4, b 52【例 2】 設(shè) lim x 0 bx 1x x 2 t dt a t 1,求 a 和 b. sin 0解 把極限用洛必達(dá)法就 2原式左邊 lim x 0 x b cos x a x ,假如 b 1,就極限值為 0,今極限為 1,就 b 12因此 原式左邊 lim 1 x lim 2 2x 0 a x 1 cos

44、 x x 0 a x a由 2 1 ,得出 a=4. a 連續(xù) 甲內(nèi)容要點(diǎn) 一,函數(shù)連續(xù)的概念 1. 函數(shù)在點(diǎn) x0 處連續(xù) 定義 1 設(shè)函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 假如當(dāng)自變量的轉(zhuǎn)變 量 x （初值為 x0 ）趨近于 0 時(shí),相應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)變量 22 y 也趨近于 0,即 lim x 0 y 0 x x0 時(shí),函 或 lim x 0 f x0 x f x0 0就稱(chēng)函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 處連續(xù)； 函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 處連續(xù)也可作如下定義； 定義 2 設(shè)函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,假如當(dāng) 數(shù) f x 的極限值存在,且等于 x0 處的函

45、數(shù)值 f x0 ,即 就稱(chēng)函數(shù) y lim f x x 0 x f x0 x lim x0 f x f x0 f x 在點(diǎn) x0 處連續(xù),此時(shí)有 lim x x0 f x 并且有 lim x x0 f x f x f lim x x x 0 即假如函數(shù)在點(diǎn) x0 處連續(xù),就在點(diǎn) x0 處可以交換極限號(hào)和函數(shù)號(hào)的次序； 定義 3 設(shè)函數(shù) y f x ,假如 x lim x0 f x f x0 ,就函數(shù) f x 在點(diǎn) x0 處左 連續(xù)；假如 lim f x x0 x f x0 ,就稱(chēng)函數(shù) f x 在點(diǎn) x0 處右連續(xù)； 由上述定義 2 可知,假如函數(shù) y 連續(xù)也右連續(xù)； f x 在點(diǎn) x0 處連續(xù)

46、,就 f x 在 x0 處既左 2. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義 假如函數(shù) y f x 在開(kāi)區(qū)間 a,b 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù),就稱(chēng) f x 在 a,b 內(nèi)連續(xù)； 假如 y f x 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在區(qū)間端點(diǎn) a 右連續(xù),在區(qū)間端點(diǎn) b 左連續(xù), 就稱(chēng) f x 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)； 二,函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi) 1. 函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義 假如函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 不連續(xù),就稱(chēng) x0 為 f x 的間斷點(diǎn)； 2. 函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類(lèi) 函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類(lèi)： （1）第一類(lèi)間斷點(diǎn) 設(shè) x0 是函數(shù) y f x 的間斷點(diǎn),假如 f x 在間斷點(diǎn) x0 處的左,右極限都存 23 第 23 頁(yè)

47、,共 130 頁(yè)在,就稱(chēng) x0 是 f x 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)； 第一類(lèi)間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳動(dòng)間斷點(diǎn)； （2）其次類(lèi)間斷點(diǎn) 第一類(lèi)間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn) 統(tǒng)稱(chēng)為其次類(lèi)間斷點(diǎn)； 常見(jiàn)的其次類(lèi)間斷點(diǎn)有無(wú)窮間 斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)； 例如 x 0 是 f x sin x 的可去間斷點(diǎn),是 f x x 的跳動(dòng)間斷點(diǎn),是 x x f x 1 的無(wú)窮間斷點(diǎn),是 x f x sin 1 的振蕩間斷點(diǎn)； x 三,初等函數(shù)的連續(xù)性 1在區(qū)間 I 連續(xù)的函數(shù)的和,差,積及商 續(xù)的； 分母不為零 ,在區(qū)間 I 仍是連 2由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)； 3在區(qū)間 I 連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函

48、數(shù),在對(duì)應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)； 4基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的； 5初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的； 四,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)的函數(shù) f x ,有以下幾個(gè)基本性質(zhì),這些性質(zhì)以后 都要用到； 定理 1 （有界定理）假如函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù),就 f x 必在 a, b 上有界； 定理 2 （最大值和最小值定理）假如函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù),就 在這個(gè)區(qū)間上確定存在最大值 M 和最小值 m ； 其中最大值 M 和最小值 m 的定義如下： 定義 設(shè) f x0 M 是區(qū)間 a,b 上某點(diǎn) x0 處的函數(shù)值,假如對(duì)于區(qū)間 a, b 上的任

49、一點(diǎn) x ,總有 f x 同樣可以定義最小值 m ； M ,就稱(chēng) M 為函數(shù) f x 在 a,b 上的最大值, 定理 3 （介值定理）假如函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù),且其最大值和 最小值分別為 M 和 m ,就對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) C ,在 a,b 上至少 存在一個(gè) ,使得 f C 推論 假如函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù),且 f a 與 f b 異號(hào),就在 24 第 24 頁(yè),共 130 頁(yè)a,b 內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ,使得 f 0這個(gè)推論也稱(chēng)為零點(diǎn)定理； 摸索題：什么情形下能保證推論中的 是惟一的？ 乙 典型例題 一,爭(zhēng)論函數(shù)的連續(xù)性 由于初等函數(shù)在它的定

50、義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的, 所以,函數(shù)的連續(xù)性爭(zhēng)論多是 指分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性； 對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性, 如函數(shù)在 分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí),需依據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行爭(zhēng)論； 【例 1】 爭(zhēng)論函數(shù) f x e 01x 00 連續(xù). x x 01 x sin x x 0在點(diǎn) x 0 處的連續(xù)性； 解 因 f 00lim f x x 0 lim x 0 e10 x f 00lim f x 0 x lim xsin x 0 10 x f 00即有 f 00f 00f 0 ,故 f x 在點(diǎn) x 【例 2】 爭(zhēng)論函數(shù) .ln1 - . x x x 0在點(diǎn) x 0 的連續(xù)性 . 1解 f

51、 00 x lim 0 ln1 x x x lim 0 ln1 x x 1f 00 lim 1 x 1 lim 1 1x 0 x x 0 1 x 1 2因 f 00 f 00,因而 lim f x 不存在,故 f x 在點(diǎn) x 0 不連續(xù) . x 025 第 25 頁(yè),共 130 頁(yè)二,已知函數(shù)的連續(xù)性求未知參數(shù) 【例 1】 設(shè) f x = .sin x . x x 1 0 在 x = 0 處連續(xù),求常數(shù) k. .k x = 0解 lim f x 0 x lim sin x x 1f 0 k ,由連續(xù)性可知 k 1.1. sin x x 0. . x 和 q. 1解 lim f x lim s

52、in x 1, f 0 px 0 x 0 x 由 f x 在 x 0 處連續(xù)性可知 p1又 lim f x lim x sin 1 q q, f 0 1x 0 x 0 x 由 f x 在 x 0 處連續(xù)性可知 q 1 . 三,求函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其類(lèi)型 【例 1】 求函數(shù) f x 3x 1 的間斷點(diǎn),并確定其類(lèi)型 . x 1解 明顯 x 1 是間斷點(diǎn),由于 lim 3x 1 lim 3 x 1x 1 x 1 x 1 3x 1 3 x 2 3x 1 1 1 lim x 1 3 x 2 3 x 1 3所以 x 1 是 x 的可去間斷點(diǎn) . f 2【例 2】 求函數(shù) f x x 2x 的間斷點(diǎn),并確

53、定其類(lèi)型 . x x 2 4解 所給函數(shù)在點(diǎn) x 0,-2,2 沒(méi)有定義,因此 x 間斷點(diǎn) .下面確定它們的類(lèi)型 . 26 0 ,-2,2 是所給函數(shù)的 第 26 頁(yè),共 130 頁(yè)x 對(duì)于 x 0 ,由于 f 0 0 lim x 0 xx 2 2 1, f 0 0 lim x 0 x x 2 1x x 2 x 2x x 2 x 2 2故 x 0 是第一類(lèi)間斷點(diǎn),且為跳動(dòng)間斷點(diǎn) . 對(duì)于 x 2 ,由于 f 2 0 f 2 0 x x 2 x lim 2 x x 2 x 2 故 x 2 是其次類(lèi)間斷點(diǎn),且為無(wú)窮間斷點(diǎn) 2 ,由于 . 對(duì)于 x f 2 0 f 2 0 lim x 2 xx 2

54、2 1x x 2 x 4故 x 2 是第一類(lèi)間斷點(diǎn),且為可去間斷點(diǎn) .如補(bǔ)充定義 f 2 1 ,就 f x 在 42 連續(xù) . 【例 3】 設(shè) f x 在 , 內(nèi)有定義,且 lim x f x ag x f 1x 0 x 0 x 0就以下結(jié)論中正確選項(xiàng)（ ） A x 0 必g x 的第一類(lèi)間斷點(diǎn) 是 B x 0 必是 gx 的其次類(lèi)間斷點(diǎn) C x 0 必是 gx 的連續(xù)點(diǎn) D g x 在 x 0 處的連續(xù)性與 a 的取值有關(guān) 解 lim g x lim f 1 lim f t ax 0 x 0 x t a 0 時(shí) x 0 是 gx 的連續(xù)點(diǎn), a 0 時(shí), 0 是 g x 的可去間斷點(diǎn)應(yīng)選 x

55、 D. 【例 4】 設(shè) f x , gx 在 , 內(nèi)有定義, f x 為連續(xù),且 f x 0 , g x 有間斷點(diǎn),就以下函數(shù)中必有間斷點(diǎn)為（ ） 2 g x A g f x B gx C f gx D f x 27 第 27 頁(yè),共 130 頁(yè)解 A 不愿定有間斷點(diǎn)例 g x 11x 0 ,f x 1 ,就 gf x 1 為 x 0, a . 1 yn = ax ln a n（3） y = sin x yn = 驏 sin .x + .桫 np 2 （4） y = cosx n y = 驏 cos.x + .桫 np 2 （5） y = ln x yn = - 1n- 1 n - 1. x-

56、【例 1】 設(shè) y = xk （ k 正整數(shù)）,求 yn （n 正整數(shù)） . 解 y n k- n = .k k - 1L k - n + 1x .0 n . k n k 【例 2】 設(shè) y = xn 1- x ,求 y n （n 正整數(shù)） . 解 y = n x - 1+ 1 = 1- x 1x - x + x n- 1 n- 2 + L + x+ 1 1- n y 輊 -1= 犏 臌1- x n = 1- n. n+ 1 x 【例 3】 設(shè) y = 2 x - 12,求 yn （ n 正整數(shù)） . 3x + 41 第 41 頁(yè),共 130 頁(yè)解 y = x- 1x - 12 = x- 12

57、-x - 11 = x - 2 - 1 - x - 1 -1y= - 輊 x- 2 犏 臌- 2- x- 1-2y = - 1 -2犏 輊 臌 x -2-3- x 1-3yn = - 1 n. x n輊 - 2- n+ 1 - x- 1-n+ 1 【例 4】 設(shè) y = sin 4 x + cos 4 x ,求 y n （n 正整數(shù)） . 2 2解 y = 驏瓏 桫2 cos2x鼢 鼢+ 驏1+ cos2x 2桫 1 2 + 4 2cos 2x= 3 + 1 cos4x 4 4 y n = 14 g4 cos瓏4 x + n 驏 瓏 桫 np 鼢 2 鼢= 鼢 4 n- 1cos 4 x+ 驏

58、 桫 np 242 第 42 頁(yè),共 130 頁(yè)微分中值定理 本節(jié)特地爭(zhēng)論考研數(shù)學(xué)中常?？嫉乃拇蠖ɡ? 羅爾定理,拉格朗日中值定理, 柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式） . 這部分有關(guān)考題主要是證明題,其中技巧性比較高,因此典型例題比較多, 爭(zhēng)論比較具體 . 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一,羅爾定理 設(shè)函數(shù) f x 中意 （1）在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)； （2）在開(kāi)區(qū)間（ a,b）內(nèi)可導(dǎo)； （3） f a f b . f x = 0 . 就存在 x . a,b ,使得 幾何意義：條件（ 1）說(shuō)明曲線 y 續(xù)曲線包括點(diǎn) A 和點(diǎn) B. f x 在 A a, f a 和 Bb, f b 之間是連 條件（ 2）說(shuō)明

59、曲線 y f x 在 A,B 之間是光滑曲線,也即每一點(diǎn)都有不 垂直于 x 軸的切線不包括點(diǎn) A 和 B 條件（ 3）說(shuō)明曲線 y f x 在端點(diǎn) A 和 B 處縱坐標(biāo)相等； 結(jié)論說(shuō)明曲線 y f x 在 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)之間不包括AB至少有一點(diǎn), 它的切線平行于 x 軸； 點(diǎn) 和 二,拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù) f x 中意 （1）在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)； （2）在開(kāi)區(qū)間 a,b 內(nèi)可導(dǎo)； 就存在 a,b ,使得 baabf bf af ba或?qū)懗?f bf af 43 第 43 頁(yè),共 130 頁(yè)有時(shí)也寫(xiě)成 f x0 x f x0 f x0 x x 01這里 x0 相當(dāng) a 或 b 都可以

60、, x 可正可負(fù)； 幾何意義： 條件（ 1）說(shuō)明曲線 y 間包括點(diǎn) A 和點(diǎn) B是連續(xù)曲線； f x 在點(diǎn) A a, f a和點(diǎn) B b,f b之 條件（ 2）說(shuō)明曲線 y f x 不包括點(diǎn) A 和 B是光滑曲線； 點(diǎn) 結(jié)論說(shuō)明曲線 y f x 在 A, B 之間不包括點(diǎn) A 和點(diǎn) B至少有一點(diǎn),它 的切線與割線 AB 是平行的； 推論 1如 f x 在 a, b 內(nèi)可導(dǎo),且 f x 0 ,就 f x 在 a,b 內(nèi)為常 數(shù)； 推論 2如 f x ,g x 在 a,b 內(nèi)皆可導(dǎo), 且 f x g x ,就在 a,b 內(nèi) f x g x c ,其中 c 為一個(gè)常數(shù)； （注：拉格朗日中值定理為羅爾