2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(四川卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(四川卷)數(shù)學(xué)(文史類(lèi))第卷(選擇題共50分)注意事項(xiàng):必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.第卷共10小題.一、選擇題:本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的.1.(2015四川,文1)設(shè)集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3,則AB=()A.x|-1x3B.x|-1x1C.x|1x2D.x|2x3答案:A解析:如圖所示,把集合A,B在數(shù)軸上表示出來(lái).所以AB=x|-1xb1”是“l(fā)og2alog2b0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答

2、案:A解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在(0,+)上是增函數(shù).故ab1log2alog2blog21=0.且log2alog2b0ab1.故ab1是log2alog2b0的充要條件.5.(2015四川,文5)下列函數(shù)中,最小正周期為的奇函數(shù)是()A.y=sin 2x+2BC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案:B解析:對(duì)于A,y=sin 2x+2=cos 2x,是最小正周期為的偶函數(shù);對(duì)于B,y=cos 2x+2=-sin 2x,是最小正周期為的奇函數(shù);對(duì)于C,y=sin 2x+cos 2x=2sin 2x+4,是最小正周期為的非奇非偶函數(shù);對(duì)于D,y=sin x+c

3、os x=26.(2015四川,文6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值為()A.-32B.32C.-12答案:D解析:這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu),每次循環(huán)的結(jié)果依次為:k=2,不滿(mǎn)足k4;k=3,不滿(mǎn)足k4;k=4,不滿(mǎn)足k4;k=5,滿(mǎn)足k4,此時(shí)S=sin 56=sin 7.(2015四川,文7)過(guò)雙曲線x2-y23=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),則|AB|=(A.433B.23C.6D.答案:D解析:雙曲線x2-y23=1的兩條漸近線方程為y=3x,右焦點(diǎn)為F(2,0)根據(jù)題意,由y=3x,x=2,得A(同理可得B(2,-23).所以|AB|=43,故選D.8

4、.(2015四川,文8)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33 的保鮮時(shí)間是()A.16小時(shí)B.20小時(shí)C.24小時(shí)D.28小時(shí)答案:C解析:由題意,得(0,192)和(22,48)是函數(shù)y=ekx+b圖象上的兩個(gè)點(diǎn).所以192=由得,48=e22keb,把代入得e22k=48192=14,即(e11k)所以e11k=12所以當(dāng)儲(chǔ)藏溫度為33 時(shí),保鮮時(shí)間y=e33k+b=(e11k)3eb=18192=24(小時(shí))9.(

5、2015四川,文9)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y10,x+2A.252B.492C.12D答案:A解析:作出可行域,如圖所示.令t=xy,則y=tx,由圖可知,當(dāng)曲線y=tx與線段AB相切時(shí),t由x+2y=14,2x+y由x+y=6,2x+y由y=tx,得y=-t設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則2解得x0=522,4,y0=5,t=25所以xy的最大值為25210.(2015四川,文10)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r0)相切于點(diǎn)M.且M為線段AB的中點(diǎn),若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

6、答案:D解析:如圖所示,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則y兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).當(dāng)l的斜率不存在,即x1=x2時(shí),符合條件的直線l必有兩條.當(dāng)l的斜率k存在,即x1x2時(shí),有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y由CMAB,得kCM=y0 x0-5=-y02,因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線內(nèi)部,所以y024x0=又x1x2,所以y1+y20,即0y02因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y0所以4r216,即2r0;對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n0;對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使

7、得m=n;對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n.其中的真命題有(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).答案:解析:對(duì)于,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x單調(diào)遞增,所以m=f(x1)-f對(duì)于,函數(shù)g(x)=x2+ax的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a2故函數(shù)在-,-a2上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x1,x2-,-a2時(shí),n=所以該命題錯(cuò)誤.對(duì)于,若存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n,即f(整理得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),則h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax的圖象與平行于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn).h(x)=2xln 2-2x-a,記p(x)=h(x),則p

8、(x)=2x(ln 2)2-2,令p(x)=0,解得2x=2(ln2故x=log22(ln2)2=1-2log2(ln 2),記為當(dāng)x(-,x0)時(shí),p(x)0,函數(shù)單調(diào)遞增,所以p(x)p(x0).顯然當(dāng)p(x0)0時(shí),h(x)p(x0)0,此時(shí)函數(shù)h(x)在R上單調(diào),函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax的圖象與平行于x軸的直線只有一個(gè)交點(diǎn),即此時(shí)h(x)的圖象與平行于x軸的直線不可能有兩個(gè)交點(diǎn).所以該命題錯(cuò)誤.對(duì)于,若存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n,即f(x1整理得f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),則q(x)=f(x

9、)+g(x)=2x+x2+ax的圖象與平行于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn).q(x)=2xln 2+2x+a,顯然q(x)在R上單調(diào),設(shè)q(x)=0的解為t,則當(dāng)x(-,t)時(shí),q(x)0,函數(shù)q(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)q(x)=2x+x2+ax的圖象與平行于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn).所以該命題正確.綜上,正確的命題為.三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.(本小題滿(mǎn)分12分)(2015四川,文16)設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列1an的前n項(xiàng)

10、和為T(mén)n,求T解:(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n.(2)由(1)得1a所以Tn=12+122+117.(本小題滿(mǎn)分12分)(2015四川,文17)一輛小客車(chē)上有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車(chē),

11、乘客P1因身體原因沒(méi)有坐自己的1號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就坐,就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就坐,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法.請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處);(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就坐,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3214532451解:(1)余下兩種坐法如下表所示:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3241532541(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則

12、就坐,則所有可能的坐法可用下表表示為:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)2134523145234152345123541243152435125341于是,所有可能的坐法共8種.設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個(gè)數(shù)為4.所以P(A)=48答:乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是1218.(本小題滿(mǎn)分12分)(2015四川,文18)一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)證明:直線DF平面BEG.(1)解:點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示

13、.(2)解:平面BEG平面ACH.證明如下:因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE為平行四邊形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.(3)證明:連接FH.因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以DH平面EFGH.因?yàn)镋G平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,EGFH=O,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.19.(本小題滿(mǎn)分12分)(2015四川,文19

14、)已知A,B,C為ABC的內(nèi)角,tan A,tan B是關(guān)于x的方程x2+3px-p+1=0(pR)的兩實(shí)根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=6,求p的值.解:(1)由已知,方程x2+3px-p+1=0的判別式=(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40.所以p-2,或p23由韋達(dá)定理,有tan A+tan B=-3p,tan Atan B=1-p.于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p0,從而tan (A+B)=tanA+tanB1-tanA所以tan C=-tan (A+B)=3,所以C=60.(2)由正弦定理,得sin B=ACsin解得B=45,或B=135(舍

15、去).于是A=180-B-C=75.則tan A=tan 75=tan (45+30)=tan45+tan301-tan45所以p=-13(tan A+tan B)=-13(2+3+1)=-1-20.(本小題滿(mǎn)分13分)(2015四川,文20)如圖,橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率是22,點(diǎn)P(0,1)(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).是否存在常數(shù),使得OAOB+PAPB為定值?若存在,求的值;解:(1)由已知,點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,-b),(0,b).又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),且PCPD=-于是1-b2=-1,ca=2所以橢圓

16、E方程為x24+(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).聯(lián)立x24+y22=1,y=kx+1,得(2k2+其判別式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以,x1+x2=-4k2k2+1,x1從而,OAOB+PAPB=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=(-2=-12k2+1所以,當(dāng)=1時(shí),-12k2+1-此時(shí),OAOB+PAPB當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),直線AB即為直線CD.此時(shí),OAOB+PAPB=OC故存在常數(shù)=1,使得OAOB+PAPB21.(本小題滿(mǎn)分14

17、分)(2015四川,文21)已知函數(shù)f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;(2)證明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+)內(nèi)有唯一解.(1)解:由已知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a),所以g(x)=2-2x當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.(2)證明:由f(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,則(1)=10,(e)=2(2-e)0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-