2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(北京卷)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試北京文科數(shù)學(xué)1.(2016北京,文1)已知集合A=x|2x4,B=x|x5,則AB=()A.x|2x5B.x|x5C.x|2x3D.x|x5答案CA=x|2x4,B=x|x5,AB=x|2x0,b0)的一條漸近線(xiàn)為2x+y=0,一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0),答案12解析雙曲線(xiàn)的方程為x2a雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=bax由題意可知b13.(2016北京,文13)在ABC中,A=23,a=3c,則bc=答案1解析由正弦定理知sinAsinC=ac=3,即sin C=sin233=12,又ac,可得C=14.(2016北京,文14)某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類(lèi)情況

2、:第一天售出19種商品,第二天售出13種商品,第三天售出18種商品;前兩天都售出的商品有3種,后兩天都售出的商品有4種.則該網(wǎng)店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有種;(2)這三天售出的商品最少有種.答案(1)16(2)29解析(1)由于前兩天都售出的商品有3種,因此第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16種.(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14種.當(dāng)前兩天都售出的3種商品與后兩天都售出的4種商品有3種是一樣的,剩下的1種商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14種商品都在第一天售出的商品中,此時(shí)商品總數(shù)最少,為29種.如圖,分別用A,B,C表示第一、

3、二、三天售出的商品種數(shù).15.(2016北京,文15)已知an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.解(1)等比數(shù)列bn的公比q=b3b所以b1=b2q=1,b4=b3q=設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1(n=1,2,3,).(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.從而數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1=n(1+2n-116

4、.(2016北京,文16)已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期為.(1)求的值;(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)因?yàn)閒(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=2sin2x所以f(x)的最小正周期T=2依題意,=,解得=1(2)由(1)知f(x)=2sin2x+4.函數(shù)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k由2k-22x+42k+得k-38xk+所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-38,17.(2016北京,文17)某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià).每人月用水量中不超過(guò)w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立

5、方米收費(fèi).從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:(1)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米,w至少定為多少?(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替.當(dāng)w=3時(shí),估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).解(1)由用水量的頻率分布直方圖知,該市居民該月用水量在區(qū)間0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過(guò)3立方米的居民占85%,用水量不超過(guò)2立方米的居民占45%.依題意,w至少定為3.(2)由用水量

6、的頻率分布直方圖及題意,得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表:組號(hào)12345678分組2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意,該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+220.05+270.05=10.5(元).18.(2016北京,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求證:DC平面PAC;(2)求證:平面PAB平面PAC;(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,

7、使得PA平面CEF?說(shuō)明理由.解(1)因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCDC.又因?yàn)镈CAC,所以DC平面PAC.(2)因?yàn)锳BDC,DCAC,所以ABAC.因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF.證明如下:取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF,所以PA平面CEF.19.(2016北京,文19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)M,直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:四邊形AB

8、NM的面積為定值.解(1)由題意,得a=2,b=1,所以橢圓C的方程為x24+y2=1.又c=a2-b2=(2)設(shè)P(x0,y0)(x00,y00是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因?yàn)閒(0)=c,f(0)=b,所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線(xiàn)方程為y=bx+c.(2)當(dāng)a=b=4時(shí),f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-23f(x)與f(x)在區(qū)間(-,+)上的情況如下:x(-,-2)-2-2-f(x)+0

9、-0+f(x)cc-32所以,當(dāng)c0且c-32270時(shí),存在x1(-4,-2),x2-2,-23,x3-23,0,使得f(x1)=f(x2由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c0,3227時(shí),函數(shù)f(x)=x3+4x2+4(3)當(dāng)=4a2-12b0,x(-,+),此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).當(dāng)=4a2-12b=0時(shí),f(x)=3x2+2ax+b只有一個(gè)零點(diǎn),記作x0.當(dāng)x(-,x0)時(shí),f(x)0,f(x)在區(qū)間(-,x0)上單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,+)時(shí),f(x)0,f(x)在區(qū)間(x0,+)上單調(diào)遞增.所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).綜上所述,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),則必有