心理學(xué)統(tǒng)計 第四章 離散量課件

1、第四章 離散量主講：任杰10/12/20221第四章 離散量離散量離散量：反映一組數(shù)據(jù)離散趨勢或離散程度的統(tǒng)計量，用來表示一組數(shù)據(jù)的分散情況。次數(shù)分布的兩個基本特征:中心位置與離散性10/12/20222第四章 離散量圖例10/12/20223第四章 離散量離散量方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)全距平均差差異系數(shù)離散量的種類相對差異量絕對差異量百分位差10/12/20224第四章 離散量第一節(jié) 全距與百分位差一、全距全距：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差。常用大寫字母R表示。（Range=Max-Min）10/12/20225第四章 離散量二、百分位數(shù)與百分等級（一）百分位數(shù)把一個次數(shù)分布排序之后，分為10

2、0個單位，則某個特定百分點對應(yīng)的原始分?jǐn)?shù)即為百分位數(shù)，它表明在次數(shù)分布中有該特定百分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)低于該分?jǐn)?shù)。通常用P加下標(biāo)p（代表某個特定百分點）表示。如：P75=78代表有75%的數(shù)據(jù)小于78。10/12/20227第四章 離散量二、百分位數(shù)與百分等級（一）百分位數(shù)計算公式10/12/20228第四章 離散量二、百分位數(shù)與百分等級（一）百分位數(shù)例：在上表中,假設(shè)老師要對全班的前15%的學(xué)生進行獎勵,請問至少要多少分才能獲得獎勵.10/12/202210第四章 離散量二、百分位數(shù)與百分等級（二）百分等級分?jǐn)?shù)某個已知原始分?jǐn)?shù)在其所處分布中的相對位置叫百分等級分?jǐn)?shù)。通常用PR表示。10/12/2022

3、11第四章 離散量二、百分位分?jǐn)?shù)與百分等級（二）百分等級分?jǐn)?shù)計算公式10/12/202212第四章 離散量二、百分位數(shù)與百分等級百分位數(shù)與百分等級的關(guān)系：二者都是用來表示個體在團體中的相對地位；計算過程相反，一個是由百分?jǐn)?shù)計算原始分?jǐn)?shù)，另一個是由原始分?jǐn)?shù)計算百分?jǐn)?shù)。10/12/202214第四章 離散量三、百分位差與四分位差一些常用的百分位數(shù)Q1=P25 ，即第25%點對應(yīng)的原始分?jǐn)?shù)，是第一個四分位數(shù)Q2，第二個四分位數(shù)Q3，第三個四分位數(shù)例：10/12/202215第四章 離散量三、百分位差與四分位差四分位差(例：)百分位差的一種，通常用符號Q表示，指在一個次數(shù)分布中，中間50%的次數(shù)的距離

4、的一半。Q=（ Q3 -Q1）/210/12/202217第四章 離散量第二節(jié) 平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差一、平均差：每一個觀測值與平均數(shù)的距離的和的平均。用A.D.（average deviation）表示。xi：= 叫做離均差10/12/202218第四章 離散量平均差的應(yīng)用平均差是用來表示一組數(shù)據(jù)離散程度的較好的差異量數(shù)，反應(yīng)靈敏，確定嚴(yán)密。缺點是在計算時要取絕對值，不利于代數(shù)方法的運算；也不利于進一步的統(tǒng)計分析。 10/12/202219第四章 離散量二、方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.基本定義方差（Variance）：也叫變異數(shù)、均方，是每個觀測值與該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之差平方后和的均值，即離均差平方和的平均

5、數(shù)。樣本方差和總體方差的計算方法和含義是一致的，但符號不同，前者用S2表示 ，后者用2表示。標(biāo)準(zhǔn)差（Standard deviation）：即方差的平方根，樣本方差常用符號S或SD表示，總體方差則用表示。 10/12/202220第四章 離散量2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式10/12/202221第四章 離散量練習(xí)試推導(dǎo)用原始數(shù)據(jù)計算方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式。10/12/202222第四章 離散量計算并思考計算下列四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，并找出每組數(shù)據(jù)的最大值和最小值：A7、7、8、8、8、9、9B4、5、7、8、9、11、12C1、4、7、8、9、12、15D 1、8、8、8、8、8、15思考：這四組數(shù)據(jù)有

6、什么不同？僅僅用平均數(shù)能不能反映這組數(shù)據(jù)的所有特性？為什么？10/12/202224第四章 離散量3.標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)一組數(shù)據(jù)的每一個觀測值都加上一個常數(shù)C，其標(biāo)準(zhǔn)差不變。 一組數(shù)據(jù)的每一個觀測值都乘以一個常數(shù)C，其標(biāo)準(zhǔn)差為原標(biāo)準(zhǔn)差乘以常數(shù)C。10/12/202225第四章 離散量4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，具有以下優(yōu)點：反應(yīng)靈敏，每個數(shù)據(jù)取值的變化，方差與標(biāo)準(zhǔn)差都會隨之變化；有一定的計算公式嚴(yán)密確定；容易計算并適合代數(shù)運算;10/12/202227第四章 離散量4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義受抽樣變動的影響小；具有可加性，因此可以分解并確定出屬于不同來源的變異性，

7、并可進一步說明每種變異對總結(jié)果的影響，是以后統(tǒng)計推論部分常用的統(tǒng)計特征數(shù)。10/12/202228第四章 離散量三、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)及其應(yīng)用1. 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（Standard Score）:又稱基分?jǐn)?shù)或Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個分?jǐn)?shù)在團體中所處位置的相對位置量數(shù)。 10/12/202229第四章 離散量2.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計算其中：Xi代表原始分?jǐn)?shù) 為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)S為標(biāo)準(zhǔn)差。 10/12/202230第四章 離散量例子計算B組各數(shù)據(jù)的Z分?jǐn)?shù)及其和10/12/202231第四章 離散量3.Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)在一組數(shù)據(jù)中，所有由原分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得出的Z分?jǐn)?shù)之和為0，其Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)也為0。一組數(shù)據(jù)中各Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

8、為1。10/12/202232第四章 離散量4.Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用Z分?jǐn)?shù)可用于比較一組數(shù)據(jù)中的觀測值在該組數(shù)據(jù)中的相對位置，并可根據(jù)Z分?jǐn)?shù)的大小判斷該數(shù)據(jù)距離中心位置的遠(yuǎn)近。10/12/202233第四章 離散量4.Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用Z分?jǐn)?shù)可用于比較性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低。例：我市3歲幼兒的平均身高為90公分，標(biāo)準(zhǔn)差為20公分；平均體重為10公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為5公斤?，F(xiàn)有一3歲幼童身高100公分，體重15公斤。問該兒童是身高偏高？還是體重更偏重？10/12/202234第四章 離散量4.Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用當(dāng)已知同一樣本或?qū)ο蟾鞑煌|(zhì)的觀測值的次數(shù)分布為正態(tài)時，可用Z分?jǐn)?shù)求不同的觀測值的總和或

9、平均值。例：甲、乙、丙三生的某四門功課的成績?nèi)缦卤?，試問三生的總體學(xué)習(xí)成績孰優(yōu)孰劣？10/12/202235第四章 離散量課程A課程B課程C課程D甲81807278乙94649091丙72606774全班平均成績73756782標(biāo)準(zhǔn)差1313141110/12/202236第四章 離散量4. Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用Z分?jǐn)?shù)可用來表示標(biāo)準(zhǔn)測驗的分?jǐn)?shù)。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化的心理與教育測驗，如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布，常常轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，能更清楚地表明某一分?jǐn)?shù)在相應(yīng)團體中的位置。10/12/202237第四章 離散量其轉(zhuǎn)換公式為：Z=aZ+b其中：Z為正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) a 、b為常數(shù)，通常為該測驗總的標(biāo)準(zhǔn)差和總平均數(shù)

10、,有時也用經(jīng)驗分?jǐn)?shù)。 X為原分?jǐn)?shù) 為某團體（或年齡組）的平均分?jǐn)?shù) S為該團體或年齡組的標(biāo)準(zhǔn)差10/12/202238第四章 離散量一些測驗的常模Z分?jǐn)?shù) 0, 12T分?jǐn)?shù) 50, 102GRE,SAT500,1002WechlerIQ100, 152SbIQ100, 16210/12/202239第四章 離散量練習(xí)并證明例一：某校大二學(xué)生分屬三個學(xué)院，全部參加了某次英語四級考試，其成績見下表，試計算該校大二學(xué)生CET-4平均成績和總的標(biāo)準(zhǔn)差。并找出計算總標(biāo)準(zhǔn)差的通用公式。學(xué)院A學(xué)院B學(xué)院C平均數(shù) 74 7065標(biāo)準(zhǔn)差 25 1030人數(shù)1001208010/12/202240第四章 離散量方差的

11、可加性證明10/12/202241第四章 離散量方差的可加性證明在上式中，總的方差（變異）被分成兩部分，前一部分可看作是組內(nèi)方差或由組內(nèi)原因引起的變異（如被試內(nèi)的差異） ；后一部分可看作是組間的方差或由不同的組引起的變異（如實驗中不同的變量） 。10/12/202242第四章 離散量方差的可加性證明因此，標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度的高效差異量。對于兩組同質(zhì)的數(shù)據(jù)來說，要比較它們之間的離散程度，就要用標(biāo)準(zhǔn)差的大小來衡量，標(biāo)準(zhǔn)差大，說明該組數(shù)據(jù)較分散，標(biāo)準(zhǔn)差小，說明該組數(shù)據(jù)較集中。10/12/202243第四章 離散量例二：試分析例一中三個學(xué)院CET-4成績分布的分散程度。例三：已知某小學(xué)一年級

12、學(xué)生的平均體重為25公斤，體重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.7公斤，平均身高為110厘米，身高標(biāo)準(zhǔn)差為6.2厘米，問身高與體重的離散程度哪一個大？10/12/202244第四章 離散量利用標(biāo)準(zhǔn)差進行比較是有嚴(yán)格條件的：即進行比較的數(shù)據(jù)組是對同一特質(zhì)用同一種測量工具進行測量而獲得的，并且樣本的總體之間差異不大，即樣本平均數(shù)差異不大。這是一個絕對差異量。10/12/202245第四章 離散量四、差異系數(shù)這樣，如果兩個樣本水平相差較大，就要借助相對差異量來進行比較。最常用的相對差異量就是差異系數(shù)。1.差異系數(shù)：又叫變異系數(shù)、相對標(biāo)準(zhǔn)差等，通常用符號CV表示。其計算公式如下： 10/12/202246第四章 離散量2

13、.差異系數(shù)的應(yīng)用條件同一團體不同特質(zhì)觀測值離散程度的比較；進行的是同一種觀測，但水平相差較大的各種團體，進行觀測值離散程度的比較；此外，適用于用差異系數(shù)進行比較的測量值最好是比率變量，如重量、長度、時間和編制得好的測驗量表。10/12/202247第四章 離散量例四：今有一畫線實驗，標(biāo)準(zhǔn)線分別為5厘米及10厘米，實驗結(jié)果5厘米組的誤差平均數(shù)為1.3厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.7厘米；10厘米組的誤差平均數(shù)為4.3厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2厘米。請問，如何比較其離散程度的大??？10/12/202248第四章 離散量3.差異系數(shù)的缺點差異系數(shù)的缺點主要在于它只能用于一般的相對差異量的描述上，至今尚無有效的假設(shè)檢驗

14、方法，因此對差異系數(shù)不能進行統(tǒng)計推論。10/12/202249第四章 離散量次數(shù)分布的分布形態(tài)正態(tài)分布與偏態(tài)分布正態(tài)分布（normal distribution）：以平均數(shù)為中心位置的對稱分布。偏態(tài)分布（skewed distribution）：非對稱分布。正偏態(tài)分布（positive skewed）：次數(shù)分布中低分?jǐn)?shù)偏多，尾部在高分端（右端），也叫右偏分布。負(fù)偏態(tài)分布（negative skewed）：次數(shù)分布中高分?jǐn)?shù)偏多，尾部在低分端（左端），也叫左偏分布。10/12/202250第四章 離散量圖例10/12/202251第四章 離散量圖例10/12/202252第四章 離散量次數(shù)分布的分布形態(tài)不同分布中平均數(shù)、中數(shù)及眾數(shù)之間的關(guān)系：分布形態(tài) 關(guān)系正態(tài)分布M=Md=Mo正偏態(tài)分布MMd Mo負(fù)偏態(tài)分布MMd Mo10/12/202253第四章 離散量動差體系動差：用來反映數(shù)據(jù)離散情況的統(tǒng)計指標(biāo)。計算原理：是把次數(shù)分布中各組的次數(shù)當(dāng)作力學(xué)上的力，各數(shù)值（或組中值）與原點之差作為距離來計算。其中，把以平均數(shù)為原點的動差叫做中心動差（central mo