數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件

1、第24講第1-9章 習題課第24講一、基本內(nèi)容及基本要求 第一章、緒論了解數(shù)值分析的研究對象與特點。了解誤差來源與分類,會求有效數(shù)字; 會簡單誤差估計。了解誤差的定性分析及避免誤差危害。 第1-3章 習題課(緒論、插值、逼近)一、基本內(nèi)容及基本要求 第一章、緒論第1-3章 習題課(第二章、插值法了解插值的概念。掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余項公式。了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。了解差分的概念，會牛頓前插公式、后插公式。會埃爾米特(Hermite)插值及其余項公式。知道高次插值的病態(tài)性質(zhì),會分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。會三次樣條插值,知道其誤差和收斂

2、性。 第二章、插值法第三章、函數(shù)逼近與曲線擬合了解函數(shù)逼近的基本概念,了解范數(shù)和內(nèi)積空間。了解正交多項式的概念,了解切比雪夫多項式和勒讓德多項式以及它們的性質(zhì),知道其他常用正交多項式。理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最佳一次一致逼近多項式的求法。理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多項式的求法,了解用正交多項式做最佳平方逼近的方法。了解曲線擬合的最小二乘法并會計算,了解用正交多項式做最小二乘擬合。了解最小二乘三角逼近與快速傅里葉變換*。第三章、函數(shù)逼近與曲線擬合二、練習二、練習數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件P19, 5,9.P19

3、, 5,9.數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件P59, 6,8.7、P59, 4.P59, 6,8.7、P59, 4.數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件P115,1,4(2),6,8,13,15,17(1),19，按基本方法即可， 22(選作).P115,1,4(2),6,8,13,15,17(1),19一、數(shù)值積分與數(shù)值微分第4-5章 習題課(數(shù)值積分和數(shù)值微分,解線性方程組的直接法)一、數(shù)值積分與數(shù)值微分第4-5章 習題課(數(shù)值積分和數(shù)值數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(Ex

4、Cht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件基本內(nèi)容及基本要求 了解數(shù)值求積的基本思想、代數(shù)精度的概念、插值型求積公式及其代數(shù)精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。掌握牛頓-柯特斯公式及其性質(zhì)和余項。 掌握復化梯形公式和復化辛普森公式及其余項。了解龍貝格(Romberg)求積算法，知道外推法。會高斯求積公式,了解高斯-勒讓德求積公式和高斯-切比雪夫求積公式。了解幾種常用的數(shù)值微分方法。 基本內(nèi)容及基本要求 了解數(shù)值求積的基本思想

5、、代數(shù)精度的概念、二、練習二、練習數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件 xi 0.5 1 1.5 2 2.5 yi 1.41421 2.00000 2.82843 4.00000 5.65685 xi 0.5 1 三、解線性方程組的直接方法基本內(nèi)容及基本要求了解求解方程組的兩類方法,了解矩陣基礎(chǔ)知識。掌握高斯消去法,會矩陣的三角分解。掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若當消去法。掌握直接三角分解法,了解平方根法,會追趕法,了解有關(guān)結(jié)

6、論。了解向量和矩陣的幾種范數(shù)。了解矩陣和方程組的性態(tài),會求其條件數(shù)。會初等反射陣和平面旋轉(zhuǎn)陣,了解QR分解,了解用正交約化法解超定方程組。三、解線性方程組的直接方法基本內(nèi)容及基本要求分別用順序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脫爾分解)求解線性方程組 四、練習分別用順序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脫爾分解)求2. 設(shè)A為n階對稱正定陣，試證: (1) A的對角元素aii0; (2) 設(shè)L為非奇異陣，則LALT是對稱正定陣； (3) 經(jīng)順序Gauss消去法A化為求證A2為對稱正定. 證明: (1)由正定二次型理論,aii=eiAei0. (或因所有主子式0) (2) 因(LALT)

7、T= LALT , 故LALT是對稱的; 又因?qū)τ谌我鈞0,則有y=LTx0,從而 xTLALTx=(LTx)TA(LTx)=yTAy 0, 故LALT是對稱正定陣.2. 設(shè)A為n階對稱正定陣，試證:求證A2為對稱正定. (3) 經(jīng)順序Gauss消去法A化為A2是對稱的,因為A2是正定的,這是因為經(jīng)順序Gauss消去法A的各階順序主子式的值不變, a11A2的k階順序主子式=A的k+1階順序主子式0,且a110, 于是得出A2的各階順序主子式0.(3) 經(jīng)順序Gauss消去法A化為A2是對稱的,因為A23. 用帶行交換的杜利脫爾分解計算線性代數(shù)方程組AX=b，其中3. 用帶行交換的杜利脫爾分解

8、計算線性代數(shù)方程組AX=b，其4. 用追趕法求解三對角方程組4. 用追趕法求解三對角方程組數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件一、解線性方程組的迭代法 第6-8章 習題課(線性方程組迭代解法,解非線性方程,矩陣特征值)基本內(nèi)容及基本要求 了解迭代法及其收斂性的概念。掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。3. 了解一階定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程組迭代法的收斂條件。4. 知道分塊迭代法。一、解線性方程組的迭代法 第6-8章 習題課(線性方程

9、組雅可比迭代法計算公式：對k=0,1,雅可比迭代法計算公式：對k=0,1,高斯塞德爾迭代法計算公式：對k=0,1,高斯塞德爾迭代法計算公式：對k=0,1,SOR迭代法的計算公式:對k=0,1,SOR迭代法的計算公式:對k=0,1,定理7 若矩陣A按行(或列)嚴格對角占優(yōu),或按行(或列)弱對角占優(yōu)不可約；則Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收斂。定理9 對于線性方程組Ax=b，若A為對稱正定矩陣，則當02時，SOR迭代收斂. 定理10 對于線性代數(shù)方程組Ax=b， 若A按行(或列)嚴格對角占優(yōu)，或按行(或列)弱對角占優(yōu)不可約；則當0w1時，SOR迭代收斂。定理7 若矩陣A按行(或列

10、)嚴格對角占優(yōu),或按行(或列)弱對數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件二、非線性方程求根 基本內(nèi)容及基本要求 了解求根問題和二分法。 了解不動點迭代法,及不動點存在性和迭代收 斂性； 了解收斂階的概念和有關(guān)結(jié)論。3. 了解加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4. 掌握牛頓法及其收斂性、了解簡化牛頓法和牛頓法 下山法,了解重根情形。5. 掌握弦截法，了解拋物線法。6. 了解非線性方程組的迭代解法。 二、非線性方程求根 基本內(nèi)容及基本要求 了解求根問題和二分法數(shù)值分析第2

11、4講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件三、矩陣特征值問題計算 了解特征值和特征向量的概念和性質(zhì), 了解圓盤定理、Schur定理和Rayleigh商。2. 掌握乘冪法，了解其加速收斂技術(shù),會反冪法。3. 了解豪斯霍爾德方法。4. 了解QR方法?；緝?nèi)容及基本要求 三、矩陣特征值問題計算 了解特征值和特征向量的概念和性質(zhì),數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第24講(ExCht1-9)課件數(shù)值分析第

12、24講(ExCht1-9)課件反冪法計算公式:反冪法計算公式:v1=(10, 8,1)T, mu1=10u1=(1.0000, 0.8000, 0.1000)Tv2=(7.2000,5.4000, -0.8000)Tmu2=7.2000u2=(1.0000, 0.7500, -0.1111)Tv3=(6.5000, 4.7500, -1.2222)Tmu3=6.5000u3= (1.0000, 0.7308, -0.1880)Tv1=(10, 8,1)T, 第九章 常微分方程初值問題數(shù)值解法關(guān)鍵詞：歐拉法、后退歐拉法、梯形法、顯式法、隱式法、（2、3、4階）龍格庫塔法、單步法、線性多步法、AD

13、AMS法、預測-校正法、相容性、收斂性、穩(wěn)定性（判別法）、收斂階、局部截斷誤差、全局截斷誤差、剛性方程本章討論形如的初值問題的數(shù)值解法，其中f（x,y）是已知連續(xù)函數(shù)，為給定的初值，假設(shè)該初值問題的解存在唯一。 第九章 常微分方程初值問題數(shù)值解法本章討論形如為給定的初值，單步法歐拉（Euler）法及其改進形式向前歐拉公式（歐拉折線法或歐拉顯格式） 其中h為步長，該方法的局部截斷誤差階為O（h2），是一階方法。2.向后歐拉公式（后退歐拉公式） 單步法其中h為步長，該方法的局部截斷誤差階為O（h2），3. 梯形公式（歐拉公式的改進） 這是二階隱格式方法。實用中常按下述爹帶進行求解： 該方法是二階方法；如果關(guān)于k僅迭代一步，并換則稱該方法為歐拉預估校正方法。3. 梯形公式（歐拉公式的改進） 這是二階隱格式方法。實用中2.顯式龍格-庫塔方法（Runge-Kutta）方法,一般形式為： 其中Ci為待定權(quán)因子，滿足m為所使用的f值的個數(shù)，a1=0，ai（i1），bij均是待定參數(shù)，隨著m取不同的正整數(shù)值