線性代數(shù)必記的結(jié)論

1、 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax=0有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出Ax=b是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AX=B是否有解；（矩陣方程）矩陣A與B行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax=0和Bx=0同解；（P例14）mxnlxn101r（ATA）=r（A）；（P例15）101n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、a線性相關(guān)a=0；、,卩線性相關(guān),卩坐標(biāo)成比例或共線(平行)；、,卩,y線性相關(guān),卩,y共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若,線性相關(guān)，則,必線性相關(guān)；12s12ss1若,線性無關(guān)，則,必線性無關(guān)；(向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶)12s12s-1若r維向量組

2、A的每個(gè)向量上添上nr個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B：若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減)簡(jiǎn)言之：無關(guān)組延長(zhǎng)后仍無關(guān)，反之，不確定；向量組A(個(gè)數(shù)為尸)能由向量組B(個(gè)數(shù)為s)線性表示，且A線性無關(guān)，則rs(二版P定理747)；向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)r(B)；(P定理3)86向量組A能由向量組B線性表示,AX=B有解；,r(A)=r(A,B)(P定理2)85向量組A能由向量組B等價(jià)，尸(A)=r(B)=r(A,B)(P定理2推論)85方陣A可逆,存在有限個(gè)初等矩陣P,P,p，使A=ppp；12l12l、矩陣行等價(jià)：AB,PA=B(

3、左乘，P可逆),Ax=0與Bx=0同解、矩陣列等價(jià)：AB,AQ=B(右乘，Q可逆)；、矩陣等價(jià)：AB,PAQ=B(P、Q可逆)；對(duì)于矩陣A與B：mxnlxn、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價(jià)，則Ax=0與Bx=0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；若AB=C，貝I：mxssxnmxn、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，At為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)齊次方程組Bx=0的解一定是ABx=0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、ABx=0只有零

4、解Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解nABx=0一定存在非零解；設(shè)向量組B:b,b，,b可由向量組A:a,a，,a線性表示為：(P題19結(jié)論)nxr12rnxs12s110(b,b，,b)=(a,a，,a)K(B=AK)12r12s其中K為sxr，且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān),r(K)=r；(B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：r=r(B)=r(AK)r(K),r(K)r,r(K)=r;充分性：反證法)注：當(dāng)r=s時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用；、對(duì)矩陣A，存在Q，AQ=E,r(A)=m、Q的列向量線性無關(guān)；(P)TOC o 1-5 h zmxnnxmm87、對(duì)矩陣A，存在P，PA=

5、E,r(A)=n、P的行向量線性無關(guān)；mxnnxmn,線性相關(guān)12s,存在一組不全為0的數(shù)k,k，,k，使得kkk=0成立；(定義)12s1122ss(x)1x2=0(x)1x2=0有非零解，即Ax=0有非零解；r(,)s，12s系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；設(shè)mn的矩陣A設(shè)mn的矩陣A的秩為r，則n兀齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩為：r(S)=n-r；若耳*為Ax=b的一個(gè)解，,為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則耳*,線性無關(guān)；(P11112n-r12n-r111題33結(jié)論)5、相似矩陣和二次型正交矩陣AtA=E或A，1=At(定義)，性質(zhì)：、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aTa=?i

6、j0、若A為正交矩陣，則A-1=At也為正交陣，且A|=1；、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；施密特正交化：(a,a,a)12rb=a；11i=j.(i,j=1,2,n)；i豐jb=a22Cbb1,b11b,ab,ab,ab=a一1Lb一2rLberLb;rrb,b1b,b2b,br一11122r-1r-13.對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；3.對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；、A與B等價(jià)A經(jīng)過初等變換得到B；PAQ=B，P、Q可逆；r(A)=r(B)，A、B同型；、A與B合同CtAC=B，其中可逆；xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)；、A與B相似P，1AP=B；相似一定合同、合同未必相似；若C為正交矩陣，則CtAC=BAB，(合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格);A為對(duì)