智能制造-機(jī)器人第2講-課件

1、2022/10/131自由度計(jì)算自由度(Degree of Freedom, DOF) ： 物體能夠?qū)ψ鴺?biāo)系進(jìn)行獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的數(shù)目。 剛體在三維空間中有6個(gè)自由度，顯然機(jī)器人要完成任一空間作業(yè)，也需要6個(gè)自由度。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)是由手臂和手腕的運(yùn)動(dòng)組合而成的。通常手臂有3個(gè)關(guān)節(jié)，用以改變手腕的位置，稱為定位機(jī)構(gòu)；手腕也有3個(gè)關(guān)節(jié)，通常這3個(gè)關(guān)節(jié)軸線相交，用來改變末端件（手爪）的姿態(tài)，稱為定向機(jī)構(gòu)。機(jī)器人可以看成是定位機(jī)構(gòu)連接定向機(jī)構(gòu) 2022/10/111自由度計(jì)算自由度(Degree of 2022/10/132自由度計(jì)算自由度(Degree of Freedom, DOF) ： 對于6自由度并聯(lián)機(jī)

2、器人，其結(jié)構(gòu)是閉環(huán)結(jié)構(gòu)，主要優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)剛度大，由6個(gè)油缸驅(qū)動(dòng)，決定末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。油缸的1端與基座相連（2自由度虎克鉸），另1端與末端執(zhí)行器相連（3自由度球鉸），該機(jī)器人將手臂和手腕的自由度集成在一起。主要特點(diǎn)為：剛度大，但運(yùn)動(dòng)范圍十分有限，運(yùn)動(dòng)學(xué)反解特別簡單，而運(yùn)動(dòng)方程的建立特別復(fù)雜，有時(shí)還不具備封閉的形式2022/10/112自由度計(jì)算自由度(Degree of 2022/10/133自由度計(jì)算自由度(Degree of Freedom, DOF) ： 其自由度的計(jì)算不如開式鏈明顯，根據(jù)機(jī)構(gòu)自由度公式可以確定并聯(lián)機(jī)器人的自由度l連桿數(shù)，包括基座；n關(guān)節(jié)總數(shù)；fi第i個(gè)關(guān)節(jié)的自由度數(shù)

3、2022/10/113自由度計(jì)算自由度(Degree of 2022/10/134自由度計(jì)算自由度(Degree of Freedom, DOF) ： Stewart平臺有18個(gè)關(guān)節(jié)，14個(gè)連桿，18個(gè)關(guān)節(jié)有36個(gè)自由度，代入上式得2022/10/114自由度計(jì)算自由度(Degree of 2022/10/135 第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué) 2-1概 述機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系。機(jī)器人關(guān)節(jié)由驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)，關(guān)節(jié)的相對運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致連桿 的運(yùn)動(dòng)，使手爪到達(dá)所需的位姿機(jī)器人可以看成開式運(yùn)動(dòng)鏈，由一系列連桿通過轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成。機(jī)器人的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是一個(gè)多剛體系統(tǒng)2022/10/115 第二章

4、 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué) 2-1概2022/10/136 2-2 研究的問題和方法本章研究的問題：機(jī)器人的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)當(dāng)已知所有的關(guān)節(jié)變量時(shí)，可以用正運(yùn)動(dòng)學(xué)來確定機(jī)器人末端手的位姿；如果要使機(jī)器人的末端手放在特定的點(diǎn)上并且具有特定的姿態(tài)，可用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)來計(jì)算出每一關(guān)節(jié)變量的值。本章研究的方法：首先用矩陣建立物體位姿以及運(yùn)動(dòng)的表示，然后研究直角、圓柱及球坐標(biāo)等不同構(gòu)型機(jī)器人的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，最后利用DH表示法推導(dǎo)機(jī)器人所有可能構(gòu)型的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)2022/10/116 2-2 研究的問題和方法本章研究的問2022/10/1372-3 空間點(diǎn)的表示 空間點(diǎn)P可以用三個(gè)坐標(biāo)來表示空間點(diǎn)的位置 可以用向量表示：用矩陣表示：

5、2022/10/1172-3 空間點(diǎn)的表示 可以用向量表示：2022/10/1382-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 1剛體位置和方向的矩陣表示 對于一個(gè)剛體，若給定了其上某一點(diǎn)的位置和該剛體在空間的姿態(tài)，則這個(gè)剛體在空間完全得到定位。 剛體在O系中的坐標(biāo)可用一個(gè)列矩陣表示： （2-1） 2022/10/1182-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 1剛體位置和方向2022/10/1392-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 1剛體位置和方向的矩陣表示 剛體在固定坐標(biāo)系內(nèi)的方向可用由 三個(gè)矢量組合起來的3階矩陣C表示 （2-2）2轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一般形式 剛體的運(yùn)動(dòng)由轉(zhuǎn)動(dòng)和平移組成，而運(yùn)動(dòng)的描述可以用上述O系和O系的關(guān)系來表達(dá)，因此我們首先看反映剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的

6、坐標(biāo)系變換矩陣轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，這是研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的基礎(chǔ)。 2022/10/1192-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 1剛體位置和方向2022/10/13102-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一般形式設(shè)有兩個(gè)共原點(diǎn)的右手坐標(biāo)系 OXiYiZi和 OXjYjZj 空間有一點(diǎn)P，該點(diǎn)在i、j系內(nèi)的坐標(biāo)分別為 P點(diǎn)從j系變換到i系的坐標(biāo)變換關(guān)系為： 2022/10/11102-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一2022/10/13112-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一般形式(23) （24） （25）2022/10/11112-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一2022/10/13122-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一般形式即為一般形式的轉(zhuǎn)

7、動(dòng)矩陣，也稱為從j系向i系變換的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。對i系來說， 描述了j系的姿態(tài)，故也稱其為姿態(tài)矩陣，又因 內(nèi)各元素皆為坐標(biāo)軸之間的方向余弦，所以也可稱之為方向余弦矩陣，也可用 表示。 當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系無相對轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 若取j系為參考系，則P點(diǎn)從i系到j(luò)系的坐標(biāo)變換關(guān)系為： （26）2022/10/11122-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的一2022/10/13132-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為正交陣 （27）2022/10/11132-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為正交陣2022/10/13142-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 繞X、Y、Z坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)（圖23）變換矩陣是最基本的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，它們是一般轉(zhuǎn)動(dòng)

8、矩陣的特例，故可直接由一般轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣得到。 2022/10/11142-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13152-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 由式（25）可得到繞x軸旋轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為： （28）2022/10/11152-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13162-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 （29） （210）2022/10/11162-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13172-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 從上述三個(gè)矩陣可以總結(jié)出轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的若干特點(diǎn)：1)主對角線上有一個(gè)元素為1，其余均為轉(zhuǎn)角的余弦；2)繞

9、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的次序與元素1所在的行、列號對應(yīng)； 3)元素1所在的行列，其它元素為零； 4)以元素1所在的行為準(zhǔn)，至上而下，先出現(xiàn)的正弦為負(fù)，5)后出現(xiàn)的為正。這四個(gè)特點(diǎn)可以幫助我們有效地記憶。 2022/10/11172-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 3繞一個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13182-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 4繞兩個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 設(shè)坐標(biāo)系 先繞Zi旋轉(zhuǎn)角形成坐標(biāo)系 ，再繞Xm軸旋轉(zhuǎn)角，形成坐標(biāo)系 如圖24， （211） （212） 2022/10/11182-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 4繞兩個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13192-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 4繞兩個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 （213）此式表明，運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的連乘可以進(jìn)行坐標(biāo)系

10、的連續(xù)變換，此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為： （214） 2022/10/11192-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 4繞兩個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13202-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 三次旋轉(zhuǎn)的方式很多，機(jī)器人學(xué)中多采用歐拉角（Euler）旋轉(zhuǎn)，所謂歐拉角即對繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角規(guī)定一個(gè)序列，由于歐拉角的不同取法，轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣有不同的表達(dá)式。 1) 用歐拉角 、 、 表示 （215）2022/10/11202-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13212-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 此式右邊表示三次連續(xù)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。反之，右邊三個(gè)矩陣從右向左連乘，表示各次旋轉(zhuǎn)均繞參考系i的有關(guān)軸進(jìn)行，即

11、先繞Z軸旋轉(zhuǎn) 角，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)角，最后再繞Z軸旋轉(zhuǎn) 角，如此可同樣得到j(luò)系對i系的姿態(tài)?？梢姸鄠€(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣連乘時(shí)，次序不同則含義不同，右乘的次序說明連續(xù)繞新的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，往左乘的次序則表明繞固定參考系坐標(biāo)軸依次轉(zhuǎn)動(dòng)。 2022/10/11212-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13222-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 （216） 2022/10/11222-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13232-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2) 用橫滾角 、俯仰角、側(cè)擺角 表示 這三個(gè)角是導(dǎo)航專業(yè)中常用的，如圖26所示，j系開始時(shí)與i系重合，橫滾（Rol

12、l）是繞Zi軸旋轉(zhuǎn) 角，俯仰（Pitch）是繞Yi軸旋轉(zhuǎn)角，側(cè)擺（Yaw）是繞Xi軸旋轉(zhuǎn) 角。我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)次序?yàn)橄壤@Xi軸、再繞Yi軸、最后繞Zi軸，則三次轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為： 2022/10/11232-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 5繞三個(gè)坐標(biāo)軸2022/10/13242-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2022/10/11242-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 2022/10/13252-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 （217） 2022/10/11252-4 轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 （217） 2022/10/13262-5 齊次坐標(biāo)變換 剛體的運(yùn)動(dòng)是由轉(zhuǎn)動(dòng)和平移組成的，純轉(zhuǎn)動(dòng)變換陣如上節(jié)所述用33矩陣來表示，顯然此三階矩陣內(nèi)的元素均與轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)，已不可能反映平移，為了能讓同

13、一矩陣表示轉(zhuǎn)動(dòng)和平移，有必要引入44的齊次坐標(biāo)變換矩陣。 1 齊次坐標(biāo)在三維直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)可以表示為 ，若用4個(gè)數(shù)組成一個(gè)列向量： 2022/10/11262-5 齊次坐標(biāo)變換 剛體的2022/10/13272-5 齊次坐標(biāo)變換來表示上述點(diǎn) ，且令它們的關(guān)系為： 則稱 稱為三維空間點(diǎn) 的齊次坐標(biāo)，如 是點(diǎn) 的齊次坐標(biāo)。 2022/10/11272-5 齊次坐標(biāo)變換來表示上述點(diǎn) 2022/10/13282-5 齊次坐標(biāo)變換坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的表示2022/10/11282-5 齊次坐標(biāo)變換坐標(biāo)系在固定參考2022/10/13292-5 齊次坐標(biāo)變換坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系中的表示20

14、22/10/11292-5 齊次坐標(biāo)變換坐標(biāo)系在固定參考2022/10/13302-5 齊次坐標(biāo)變換例：如圖所示，F(xiàn)坐標(biāo)系原點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（3，5，7），它的n軸與x軸平行，o、a分別相對于y、z軸的角度均為45度，求該坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系的齊次變換矩陣2022/10/11302-5 齊次坐標(biāo)變換例：如圖所示，F(xiàn)2022/10/13312-5 齊次坐標(biāo)變換剛體的表示2022/10/11312-5 齊次坐標(biāo)變換剛體的表示2022/10/13322-5 齊次坐標(biāo)變換空間的一個(gè)剛體有六個(gè)自由度；上式給出了12條信息，其中9條為姿態(tài)信息，3條為位置信息；表達(dá)式中必定存在一定的約束條件將上述信息數(shù)

15、限制為6。因此，需要用6個(gè)約束方程將12條信息減少到6條信息2022/10/11322-5 齊次坐標(biāo)變換空間的一個(gè)剛體有2022/10/13332-5 齊次坐標(biāo)變換三個(gè)向量 ， ， 相互垂直 ；每個(gè)單位向量的長度必須為1 。這些約束條件可轉(zhuǎn)換為六個(gè)約束方程：2022/10/11332-5 齊次坐標(biāo)變換三個(gè)向量 ，2022/10/13342-5 齊次坐標(biāo)變換前三個(gè)方程也可以換用如下三個(gè)向量的叉積來代替： 例：對于下列坐標(biāo)系，求解所缺元素的值，并 用矩陣來表示這個(gè)坐標(biāo)系。 2022/10/11342-5 齊次坐標(biāo)變換前三個(gè)方程也可以2022/10/13352-5 齊次坐標(biāo)變換解：將數(shù)值代入上式，得

16、2022/10/11352-5 齊次坐標(biāo)變換解：將數(shù)值代入上2022/10/13362-5 齊次坐標(biāo)變換解這個(gè)方程組得：2022/10/11362-5 齊次坐標(biāo)變換解這個(gè)方程組得：2022/10/13372-5 齊次坐標(biāo)變換 2 齊次變換（H變換） 1 )平移的齊次變換 （218） （219）2022/10/11372-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13382-5 齊次坐標(biāo)變換 2 齊次變換（H變換） 1 )平移的齊次變換 例21 向量U=3i+4j+6k沿向量P=2i+5j-k平移，求平移后生成的新向量V2022/10/11382-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13392-5 齊

17、次坐標(biāo)變換如果一坐標(biāo)系(它也可能表示一個(gè)物體)在空間以不變的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，那么該變換就是純平移。在這種情況下，它的方向單位向量保持同一方向不變。所有的改變只是坐標(biāo)系原點(diǎn)相對于參考坐標(biāo)系的變化，相對于固定參考坐標(biāo)系的新的坐標(biāo)系的位置可以用原來坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩陣形式，新坐標(biāo)系的表示可以通過坐標(biāo)系左乘變換矩陣得到。由于在純平移中方向向量不改變，變換矩陣T可以簡單地表示為： 2022/10/11392-5 齊次坐標(biāo)變換如果一坐標(biāo)系(它2022/10/13402-5 齊次坐標(biāo)變換2022/10/11402-5 齊次坐標(biāo)變換2022/10/1341平移的齊次變換新的坐標(biāo)系位置

18、為：這個(gè)方程也可用符號寫為：2022/10/1141平移的齊次變換新的坐標(biāo)系位置為：這個(gè)2022/10/1342平移的齊次變換例：坐標(biāo)系F沿參考坐標(biāo)系的x移動(dòng)9，沿z 移動(dòng)5，求新的坐標(biāo)系位置2022/10/1142平移的齊次變換例：坐標(biāo)系F沿參考坐標(biāo)2022/10/1343平移的齊次變換解：2022/10/1143平移的齊次變換解：2022/10/13442-5 齊次坐標(biāo)變換 2 齊次變換（H變換） 1 )平移的齊次變換 平移變換不改變向量之間，向量與平面之間的關(guān)系2)旋轉(zhuǎn)的齊次變換 （220）2022/10/11442-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13452-5 齊次坐標(biāo)變換 2

19、齊次變換（H變換） 2)旋轉(zhuǎn)的齊次變換 （221） （222）2022/10/11452-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13462-5 齊次坐標(biāo)變換 2 齊次變換（H變換） 2)旋轉(zhuǎn)的齊次變換 例22 已知齊次坐標(biāo)系一點(diǎn)U7 3 2 1T，將此點(diǎn) 繞Z旋轉(zhuǎn)90度，再繞Y轉(zhuǎn)90度，求旋轉(zhuǎn)后的 點(diǎn)W。 2022/10/11462-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13472-5 齊次坐標(biāo)變換 2 齊次變換（H變換） 2)旋轉(zhuǎn)的齊次變換 解：2022/10/11472-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13482-5 齊次坐標(biāo)變換 2 齊次變換（H變換） 3) 平移加旋轉(zhuǎn)的齊次變換 例23

20、如果W再沿矢量4i3j7k平移，得到最后矢量E解： 2022/10/11482-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13492-5 齊次坐標(biāo)變換 2 齊次變換（H變換） 3) 平移加旋轉(zhuǎn)的齊次變換 2022/10/11492-5 齊次坐標(biāo)變換 22022/10/13502-5 齊次坐標(biāo)變換變換圖說明：第一次變換后第二次變換后第三次變換后2022/10/11502-5 齊次坐標(biāo)變換變換圖說明：第一2022/10/13512-5 齊次坐標(biāo)變換上例中，如果變換順序?yàn)椋?）繞z軸旋轉(zhuǎn)90度，接著平移【4，3，7】，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn)90度，求該點(diǎn)相對于基坐標(biāo)系的坐標(biāo)。2022/10/11512-5 齊次

21、坐標(biāo)變換上例中，如果變換2022/10/13522-5 齊次坐標(biāo)變換圖表說明2022/10/11522-5 齊次坐標(biāo)變換圖表說明2022/10/13532-5 齊次坐標(biāo)變換 3 桿件空間位姿的描述 用齊次變換描述機(jī)器人的空間位姿，一般采用兩個(gè)坐標(biāo)系： 固定在基座上的固定坐標(biāo)系，不隨桿件運(yùn)動(dòng)，叫基準(zhǔn)參考 坐標(biāo)系；一個(gè)為固連在桿件上，隨桿件運(yùn)動(dòng)，叫桿件坐標(biāo) 系或桿系 例24 一個(gè)棱柱體原始位置如圖（a），變換前固定 系OXYZ與動(dòng)系OXYZ重合，棱柱體在動(dòng)系中的姿態(tài)可 用6個(gè)點(diǎn)描述： 2022/10/11532-5 齊次坐標(biāo)變換 32022/10/13542-5 齊次坐標(biāo)變換 3 桿件空間位姿的描

22、述 2022/10/11542-5 齊次坐標(biāo)變換 32022/10/13552-5 齊次坐標(biāo)變換 3 桿件空間位姿的描述 若讓棱柱體繞Z旋轉(zhuǎn)90度，再繞Y轉(zhuǎn)90度，再沿X平移4，則變換為 2022/10/11552-5 齊次坐標(biāo)變換 32022/10/13562-5 齊次坐標(biāo)變換 2022/10/11562-5 齊次坐標(biāo)變換 2022/10/13572-5 齊次坐標(biāo)變換 由于動(dòng)系與桿件的關(guān)系是固定不變的，動(dòng)系與固定系的相對位姿可以用變換矩陣來表示，只要?jiǎng)酉档奈蛔舜_定了，則桿件在空間中的位姿也就可以確定，也就是說，我們可以用齊次變換來描述物體在空間的位置和方向。 2022/10/11572-5

23、齊次坐標(biāo)變換 由2022/10/13582-5 齊次坐標(biāo)變換4 齊次變換的性質(zhì)4.1 變換過程的相對性 本節(jié)所講的齊次變換都是對固定坐標(biāo)系而言的，如前面例子中： 其變換過程如右圖所示，動(dòng)系先繞固定系Z軸旋轉(zhuǎn)90度，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90度，最后平移4i3j+7k，變換從右往左進(jìn)行。 如果按相反順序變換，即從左往右進(jìn)行，變換過程如圖左所示 最后結(jié)果是一樣的 一般說來，當(dāng)變換矩陣左乘時(shí)，產(chǎn)生的變換是相對于固定系進(jìn)行的，變換矩陣右乘時(shí)，所產(chǎn)生的變換是相對于動(dòng)系的。2022/10/11582-5 齊次坐標(biāo)變換4 齊次變換的性2022/10/13592-5 齊次坐標(biāo)變換4.2 變換過程的可逆性 齊次坐標(biāo)變換是

24、可逆的，逆變換就是使被變換的動(dòng)系回到固定系中以例24中的齊次變換為例： 若從逆方向看圖（b），固定系的X軸與動(dòng)系的Z軸方向一致，故X軸在動(dòng)系中可表示為0,0,1,0T 同樣固定系的Y軸可表示為1, 0,0, 0TZ軸為0, 1, 0, 0T，原點(diǎn)可表示為0,0,4,1T于是逆變換表示為: 可通過HH1I檢驗(yàn)?zāi)孀儞Q的正確性2022/10/11592-5 齊次坐標(biāo)變換4.2 變換過程2022/10/13602-5 齊次坐標(biāo)變換4.3 變換過程的封閉性 為了說明封閉性，見下圖，機(jī)器人的手部的中心點(diǎn)在固定系中的位姿可以用兩種變換來表示。一種是通過固定系原點(diǎn)機(jī)器人機(jī)座機(jī)器人胸部手部中心點(diǎn)的變換來表示，即

25、Z一T6一E。另一種是通過固定系原點(diǎn)被夾持物體的角點(diǎn)機(jī)器人手部中心的變換來表示，即BG。由于兩個(gè)變換的起終點(diǎn)相同，故兩個(gè)變換相同，即 2022/10/11602-5 齊次坐標(biāo)變換4.3 變換過程2022/10/13612-5 齊次坐標(biāo)變換 此式叫變換方程，該方程可以用一個(gè)有向變換圖來表示，見圖，圖中每一個(gè)弧段表示一個(gè)變換，從變換的起點(diǎn)向外指，封閉于共同的終點(diǎn)，組成一個(gè)封閉的圓形。 利用此變換圖，可以求出變換方程（223）中的任意一個(gè)變換，只需要從所要求的變換的弧段的尾部出發(fā)，沿著圓周轉(zhuǎn)一圈到該變換的頭部，凡順著箭頭的為正變換，反之為逆變換，這樣就可以寫出變換的結(jié)果。如要列出G變換，可從G弧段的尾部出發(fā)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)到G的頭部，于是可得到 可見使用變換圖簡化了變換方移的求解。 2022/10/11612-5 齊次坐標(biāo)變換 此式2022/10/13622-6 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換討論繞通過坐標(biāo)系原點(diǎn)的任意向量K的旋轉(zhuǎn)變換1 一般旋轉(zhuǎn)變換 K為某坐標(biāo)系C的Z軸單位向量，而K向量在基準(zhǔn)坐標(biāo)系A(chǔ)中，設(shè)2022/10/11622-6 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換討