常微分方程 第五章 線性微分方程組

1、關(guān)于常微分方程 第五章 線性微分方程組第1頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三例如，已知在空間運(yùn)動的質(zhì)點的速度與時間及點的坐標(biāo)的關(guān)系為且質(zhì)點在時刻t經(jīng)過點求該質(zhì)點的運(yùn)動軌跡。第2頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三因為,所以這個問題其實就是求一階微分方程組滿足初始條件的解（1.12）第3頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三中,令就可以把它化成等價的一階微分方程組注意，這是一個含n個未知函數(shù)的一階微分方程組。另外，在n階微分方程第4頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三含有n個未知函數(shù)的一階微分方程組的一般形式

2、為：此方程組在上的一個解，是這樣的一組函數(shù)使得在上有恒等式第5頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三含有n個任意常數(shù)的解稱為方程組的通解. 如果通解滿足方程組第6頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三則稱后者為(1)的通積分.如果已求得(1)的通解或通積分，要求滿足初始條件的解，可以把此初始條件代入通解或通積分之中，得到關(guān)于的n個方程式，如果從其中解得再代回通解或通積分中，就得到所求的初值問題的解.第7頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三為了簡潔方便，經(jīng)常采用向量與矩陣來研究一階微分方程組(1)令n維向量函數(shù)并定義則(1)可記成向量

3、形式第8頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三初始條件可記為 其中這樣，從形式上看，一階方程組與一階方程式完全一樣了。進(jìn)一步，對n維向量Y和矩陣,第9頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三定義易于證明以下性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng)Y = 0(0表示零向量，下同);第10頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三對任意常數(shù)有對任意常數(shù)有稱Y和A分別為向量Y和矩陣A的范數(shù)。進(jìn)而還有如下性質(zhì)第11頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三有了以上準(zhǔn)備，完全類似于第三章定理3.1，我們有如下的關(guān)于初值問題(1)的解的存在與唯一性定理.定理5.

4、1 如果函數(shù)F(x,Y)在n+1維空間的區(qū)域上滿足：1) 連續(xù)；2) 關(guān)于Y滿足李普希茲條件，即存在N0,使對于R上任意兩點有則初值問題(1)的解在上存在且唯一，其中 第12頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三如果在一階微分方程組(1)中，函數(shù)方程組（1）是線性的。為線性的。5.2 一階線性微分方程組的一般概念關(guān)于第13頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三則稱(1)為一階線性微分方程組。我們總假設(shè)(1)的系數(shù)及在某個區(qū)間上連續(xù)。向量形式：記：第14頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三向量形式如果在I上，,方程組變成（5.2) 我

5、們把(5.2)稱為一階線性齊次方程組。如果(5.2與(5.1)中A(x)相同，則稱(5.2)為(5.1)的對應(yīng)的齊次方程組.與第二章中關(guān)于一階線性微分方程的結(jié)果類似，我們可以證明如下的關(guān)于(5.1)的滿足初始條件(5.3)的解的存在與唯一性定理. （5.1) （5.3)第15頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三定理5.1 如果(5.1)中的A(x)及F(x)在區(qū)間I =上連續(xù)，則對于上任一點x以及任意給定的方程組(5.1)的滿足初始條件(5.3)的解在上存在且唯一.它的結(jié)論與定理3.1的不同之處是： 定理3.1的解的存在區(qū)間是局部的，而定理5.1則指出解在整個區(qū)間上存在.

6、第16頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三5.2 一階線性齊次方程組的一般理論1一階線性齊次微分方程組解的性質(zhì)本節(jié)主要研究一階線性齊次方程組(5.2)的通解結(jié)構(gòu).為此我們首先從(5.2)的解的性質(zhì)入手.（5.2) 第17頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三是方程組(5.2)的m個解，則 也是(5.2)的解，其中是任意常數(shù).換句話說，線性齊次方程組(5.2)的任何有限個解的線性組合仍為(5.2)的解. 若(5.4)第18頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三定理5.2告訴我們，一階線性齊次微分方程組(5.2)的解集合構(gòu)成了一個線性空

7、間.為了搞清楚這個線性空間的性質(zhì)，進(jìn)而得到方程組(5.2)的解的結(jié)構(gòu)，我們引入如下概念. 定義5.1，使得 在區(qū)間I上恒成立，則稱這m個向量函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)；否則稱它們在區(qū)間I上線性無關(guān).顯然，兩個向量函數(shù)的對應(yīng)分量成比例是它們在區(qū)間I上線性相關(guān)的充要條件.另外，如果在向量組中有一零向量， 則它們在區(qū)間I上線性相關(guān). 若有函數(shù)組第19頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三例3中兩個向量函數(shù)的各個對應(yīng)分量都構(gòu)成線性相關(guān)函數(shù)組.這個例題說明，向量函數(shù)組的線性相關(guān)性和由它們的分量構(gòu)成的函數(shù)組的線性相關(guān)性并不等價.下面介紹n個n維向量函數(shù)組 在其定義區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)

8、的判別準(zhǔn)則.我們考察由這些列向量所組成的行列式通常把它稱為向量組(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式. (5.10) 第20頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三 定理5.3 如果向量組(5.10)在區(qū)間I上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.證明 依假設(shè)，存在不全為零的常數(shù),使得把上式寫成純量形式，有這是關(guān)于的線性齊次代數(shù)方程組，且它對任一都有非零解根據(jù)線性代數(shù)知識，它的系數(shù)行列式都為零.故在I上有W(x)0.證畢.W (x)對任一第21頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三對于一般的向量函數(shù)組,定理3.3的逆定理未必成立.例

9、如向量函數(shù)的朗斯基行列式恒等于零，但它們卻是線性無關(guān)的.然而，當(dāng)所討論的向量函數(shù)組是方程組(5.8)的解時，我們有下面的結(jié)論.定理5.4 如果是方程組(5.8)的n個線性無關(guān)解，則它的朗斯基行列式W(x)在I上恒不為零.第22頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三由定理5.3和定理5.4立即得到如下的推論.推論5.1 如果向量組(5.10)的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上的某一點處不等于零，即,則向量組(5.10)在I上線性無關(guān).實際上，這個推論是定理5.3的逆否命題.推論5.2 如果方程組(5.8)的n個解的朗斯基行列式W(x)在其定義區(qū)間I上某一點x0等于零，即則該解組

10、在I上必線性相關(guān).第23頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三實際上，這個推論是定理5.4的逆否命題.推論5.3 方程組(5.2)的n個解在其定義區(qū)間I上線性無關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式W(x)在I上任一點不為零.條件的充分性由推論5.1立即可以得到必要性用反證法及推論5.2證明是顯然的證畢2一階線性齊次微分方程組解空間的結(jié)構(gòu) 我們把一階線性齊次方程組(5.2)的n個線性無關(guān)解稱為它的基本解組.例4 易于驗證向量函數(shù)第24頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三是方程組的基本解組.定理5.5 方程組(5.2)必存在基本解組.第25頁，共40頁，202

11、2年，5月20日，23點47分，星期三 定理5.6 如果是齊次方程組(5.2)的基本解組，則其線性組合是齊次方程組(5.2)的通解,其中為n個任意常數(shù).推論5.4 線性齊次方程組(5.2)的線性無關(guān)解的個數(shù)不能多于n 個.第26頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三3劉維爾公式齊次方程組(5.2)的解和其系數(shù)之間有下列聯(lián)系.定理5.7 如果是齊次方程組(5.2)的n個解，則這n個解的朗斯基行列式與方程組(5.2)的系數(shù)有如下關(guān)系式 這個關(guān)系式稱為劉維爾(Liouville)公式.第27頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三在代數(shù)學(xué)中，稱為矩陣的跡，記作，

12、因此劉維爾公式可表為從劉維爾公式可以看出，齊次方程組（5.2）的幾個解所構(gòu)成的朗斯基行列式W(x) 或者恒為零，或者恒不為零第28頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三54 一階線性非齊次方程組的一般理論本節(jié)研究一階線性非齊次方程組 的通解結(jié)構(gòu)與常數(shù)變易法.5.4.1 通解結(jié)構(gòu)定理3.8 如果是線性非齊次方程組(5.1)的解，而是其對應(yīng)齊次方程組(5.2)的解，則是非齊次方程組(5.1)的解.定理5.9 線性非齊次方程組(5.1)的任意兩個解之差是其對應(yīng)齊次方程組(5.2)的解.第29頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三是對應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個

13、基本解組，則方程組(5.1)的通解為這里是任意常數(shù). 定理5.10 線性非齊次方程組(5.1)的通解等于其對應(yīng)的齊次方程組(5.2)的通解與方程組(5.1)的一個特解之和.即若是非齊次方程組(5.1)的一個特解， 第30頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三 5.4.2 拉格朗日常數(shù)變易法 在第一章我們介紹了對于一階線性非齊次方程，可用常數(shù)變易法求其通解.現(xiàn)在，對于線性非齊次方程組，自然要問，是否也有常數(shù)變易法求其通解呢?事實上，定理5.10告訴我們，為了求解非齊次方程組(5.1)，只需求出它的一個特解和對應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個基本解組.而當(dāng)(5.2)的基本解組已知時

14、，類似于一階方程式，有下面的常數(shù)變易法可以求得(5.1)的一個特解. 為了計算簡潔，我們定義(5.2)的基本解矩陣如下： 第31頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三其中每一列均為(5.2)的解，且是(5.2)的一個基本解組.因此.由定理5.6知，齊次方程組(5.2)的通解可表為 ,其中C為列向量第32頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三現(xiàn)在求(5.1)的形如的解，其中 為待定向量函數(shù). 將(5.17)代入(5.1)有其中(5.17) 第33頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三因為是(5.2)的基本解矩陣，所以有從而，上式變?yōu)橛捎谑欠瞧娈惥仃?，故存在，于是積分得代入(5.17)得到于是得到非齊次方程組(5.1)的通解公式 (5.18) 中任一點 (5.19）第34頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三例1 求解方程組解 向量函數(shù)組 是對應(yīng)齊次方程組的基本解組.現(xiàn)在求非齊次方程組形如 的特解，此時(5.18)的純量形式為解之得第35頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三從而最后可得該方程組的通解為第36頁，共40頁，2022年，5月20日，23點47分，星期三是方程組(3.20)的一個基本解組.例1 試求方程組的通解.解 它的系數(shù)矩陣是特征方